數(shù)學(xué)三大核心思維

史寧中教授，東北師范大學(xué)前校長(zhǎng)、前中國(guó)教育學(xué)術(shù)委員會(huì)主任委員、義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng)、教育部中小學(xué)教材審查委員，在他的著作《數(shù)學(xué)基本思想18講》中把數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個(gè)核心要素：抽象、推理、模型。

通過(guò)抽象，人們把現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，思維特征是抽象能力強(qiáng)；

通過(guò)推理，人們從數(shù)學(xué)的研究對(duì)象出發(fā)，在一些假設(shè)條件下，有邏輯地得到研究對(duì)象的性質(zhì)以及描述研究對(duì)象之間關(guān)系的命題和計(jì)算結(jié)果，促進(jìn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，思維特征是邏輯推理能力強(qiáng)；

通過(guò)模型，人們用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造的語(yǔ)言、符號(hào)和方法，描述現(xiàn)實(shí)世界中的故事，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，思維特征是表述事物規(guī)律的能力強(qiáng)。

數(shù)學(xué)基本思想的三大核心要素，可以總結(jié)為：

1）從現(xiàn)實(shí)進(jìn)入數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)抽象

2）數(shù)學(xué)自身的推導(dǎo)：數(shù)學(xué)推理

3）從數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)：數(shù)學(xué)模型

這三大核心要素也是人類認(rèn)識(shí)世界、理解世界和改變世界的思想武器。

關(guān)于數(shù)學(xué)基本思想的三大核心要素的詳細(xì)內(nèi)容，推薦大家閱讀史教授的《數(shù)學(xué)基本思想18講》。

而落實(shí)到小學(xué)階段，你和娃需要把握的是三大核心思維：

1）數(shù)學(xué)的抽象 => 數(shù)形結(jié)合思維

2）數(shù)學(xué)的推理 => 推理思維

3）數(shù)學(xué)的模型 => 模型思維

從現(xiàn)實(shí)進(jìn)入數(shù)學(xué)：數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。

從現(xiàn)實(shí)進(jìn)入數(shù)學(xué)，我們需要把生活中的事物和現(xiàn)象抽象為：

• 數(shù)量和數(shù)量關(guān)系
• 圖形與圖形關(guān)系

例如，對(duì)數(shù)和數(shù)量關(guān)系的抽象：

我們把現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量抽象為數(shù)，形成自然數(shù)，并且用十個(gè)符號(hào)和數(shù)位進(jìn)行表示，得到了自然數(shù)集。

在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)量關(guān)系的核心是多與少，人們又把這種關(guān)系抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，這就是數(shù)的大與小。后來(lái)，人們又把大小關(guān)系推演為更一般的序關(guān)系。

由大小關(guān)系的度量，產(chǎn)生了自然數(shù)的加法，由加法的逆運(yùn)算產(chǎn)生了減法，由加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算產(chǎn)生了乘法，由乘法的逆運(yùn)算產(chǎn)生了除法。因此，數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)是四則運(yùn)算，這些運(yùn)算都是基于加法的。

然而這種抽象，對(duì)于小學(xué)階段的娃來(lái)說(shuō)往往難以理解。我們必須用形象化的方式，幫助娃建立現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁。

用史教授的話來(lái)說(shuō)：

為了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，現(xiàn)代數(shù)學(xué)逐漸走向了符號(hào)化、形式化和公理化，但數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程卻應(yīng)當(dāng)反其道而行之：雖然概念的表達(dá)是符號(hào)的，但對(duì)概念的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)是有具體背景的；雖然證明的過(guò)程是形式的，但對(duì)證明的理解應(yīng)當(dāng)是直觀的；雖然邏輯的基礎(chǔ)是基于公理的，但思維的過(guò)程應(yīng)當(dāng)是歸納的。

而為了讓娃實(shí)現(xiàn)形象化地理解，我們就需要把握數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的思維：數(shù)形結(jié)合思維。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：

數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休。

在小學(xué)階段，把握數(shù)形結(jié)合，作為家長(zhǎng)我們要抓住兩個(gè)核心工具：數(shù)位筒和線段。

數(shù)位筒的應(yīng)用主要是幫助娃形象化地理解數(shù)、位、十進(jìn)制、進(jìn)位加法、退位減法等核心概念難點(diǎn)，在前面的文章小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什么？如何學(xué)好數(shù)學(xué) (3) 數(shù)與運(yùn)算 (下)，已經(jīng)進(jìn)行了分享。

而另一個(gè)重要的形象化工具就是：線段。

萬(wàn)能工具：線段應(yīng)用

在小學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合思想的落實(shí)有一個(gè)萬(wàn)能工具，這就是「線段」。

如果你發(fā)現(xiàn)娃有不能理解的概念、關(guān)系、題目等，第一反應(yīng)就是能否用線段來(lái)幫助娃理解。

在實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)線段的應(yīng)用符合80/20法則，這一個(gè)工具可以解決小學(xué)數(shù)學(xué)80%以上的理解問(wèn)題。

下面介紹三個(gè)線段的應(yīng)用場(chǎng)景：

1）用線段圖求剩余

娃剛上一年級(jí)時(shí)，學(xué)完20以內(nèi)數(shù)的加減法計(jì)算之后，遇到了求剩余的問(wèn)題。比如：

樹上有20只鳥，飛走了一些，樹上現(xiàn)在有15只鳥，問(wèn)飛走了幾只鳥？

遇到這個(gè)問(wèn)題，娃就有點(diǎn)蒙。

如果說(shuō)：

樹上有20只鳥，飛走了5只，樹上現(xiàn)在還剩幾只鳥？

這個(gè)她就馬上能理解了。

上面那個(gè)問(wèn)題，她就很費(fèi)力，解釋半天也很難理解。

后來(lái)，我就畫了線段幫助她理解：

她一看這個(gè)圖，理解了整體和部分的關(guān)系，就很清楚了。

接下來(lái)，為了幫助她更清楚地理解加減法各部分的關(guān)系。我又進(jìn)一步用這個(gè)圖形幫她做了拓展。

由部分求整體：

接下來(lái)，在部分上繼續(xù)做文章，從兩個(gè)部分拓展到三個(gè)部分，由整體求部分：

這樣一來(lái)，就解決了「求剩余」的一系列問(wèn)題。

2）用線段圖理解倍份關(guān)系

對(duì)娃來(lái)說(shuō)，一年級(jí)理解求剩余問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)。

到了二年級(jí)，理解倍份關(guān)系又是一個(gè)難點(diǎn)。

例如：

有5個(gè)蘋果，梨的數(shù)量差2個(gè)是蘋果的3倍。問(wèn)梨有幾個(gè)？

娃看到這個(gè)題，就容易暈。感覺非常抽象，沒法理解。

后來(lái)，我們用線段圖畫出蘋果和梨的數(shù)量關(guān)系：

畫出圖，這個(gè)問(wèn)題也就解決了。

對(duì)于這種復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，我們就需要借助線段圖建立形象化的理解。

3）用線段圖理解復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

小學(xué)學(xué)習(xí)越到后面，題目越來(lái)越復(fù)雜，數(shù)量關(guān)系越來(lái)越隱蔽，線段圖的作用也就越明顯。

例如下面的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題：

小紅看一本書，第一天看了總頁(yè)數(shù)的1/5多20頁(yè)，第二天比第一天多看1/2，還剩50頁(yè)沒看，這本書共多少頁(yè)？

這道題讀完之后，我們會(huì)感到很暈。題目中的數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，靠直覺很難梳理清楚。

如果我們畫出線段圖：

從線段圖上可以清楚地看到，(20+20+20x1/2+50)與(1-1/5-1/5-1/5x1/2)相對(duì)應(yīng)，這樣解題思路也就自然出來(lái)了。

前面我們看到了線段圖作為數(shù)形結(jié)合的重要工具，如何幫助娃理解的幾個(gè)場(chǎng)景。

線段圖的價(jià)值不僅是在戰(zhàn)術(shù)層面幫助娃分析理解具體問(wèn)題，更重要的是在戰(zhàn)略層面作為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的統(tǒng)一萬(wàn)能工具。

在小學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合思維落地有兩大難題：

• 數(shù)形結(jié)合不足
• 數(shù)形結(jié)合過(guò)渡

數(shù)形結(jié)合不足，是指家長(zhǎng)和娃沒有一個(gè)基本的工具來(lái)實(shí)現(xiàn)有效地?cái)?shù)形結(jié)合分析。

數(shù)形結(jié)合過(guò)度，是指教材中使用了大量不同的事物幫助娃形象化理解概念。

例如，對(duì)一百以內(nèi)加減法的理解，教材上用到了圓點(diǎn)、小方塊、數(shù)射線等不同的形象化工具。這樣也加重了娃的理解負(fù)荷，同時(shí)，娃可能還沒有真正掌握一個(gè)高效普遍的形象化工具。

回顧娃最早的數(shù)字學(xué)習(xí)，我們是有一套完整的、統(tǒng)一的、可靠的形象化工具——我們的雙手。一旦娃在學(xué)習(xí)中對(duì)數(shù)字、計(jì)算缺乏理解時(shí)，就回本能地回到自己的手指。這套工具，有效地幫助娃理解和掌握了10以內(nèi)的數(shù)和加減法。

而在20-100以內(nèi)的數(shù)、位、進(jìn)位、退位、加減運(yùn)算，我們用數(shù)位筒，幫助娃建立了形象化地理解。

而線段則承接了此后小學(xué)階段理解概念、數(shù)量關(guān)系的統(tǒng)一形象化工具。

這樣，從幼兒園到小學(xué)6年級(jí)，我們就有了三大形象化工具：

• 10以內(nèi)統(tǒng)一形象化工具：雙手手指
• 100以內(nèi)統(tǒng)一形象化工具：棍筒法
• 小學(xué)階段統(tǒng)一形象化工具：線段圖

這三大工具，高效落實(shí)了小學(xué)階段的數(shù)形結(jié)合思想，支持我們對(duì)抽象概念的形象化理解。從而，實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)入到數(shù)學(xué)世界。