流形與微分幾何學(xué)

以前的人們很自然地會以為地球是平坦的。他們相信最好的描述宇宙的幾何學(xué)是3維歐幾里得幾何學(xué)。然而，這是錯誤的，和相信2維歐幾里得幾何學(xué)是地球表面最好的模型同樣錯誤?，F(xiàn)在我們知道了地球表面其實是球面，看起來像一個平面，是因為它很大。

即使沒有相對論，也沒有理由認(rèn)為宇宙是歐幾里得幾何學(xué)的最好的模型。因為我們何以肯定，4維球體的3維表面不會給出更好的宇宙模型呢？說不定如果你坐著火箭飛上足夠遠(yuǎn)而不改變航向，最后也會回到原地。數(shù)學(xué)上描述一個“正常的”空間是容易的。只要對空間的一點按通常的方法給以坐標(biāo)的三元組（x，y，z）就行了。但是怎樣來描述一個巨大的“球形”空間呢？這要稍微難一點，但也不太難，可以對每一點給出四個坐標(biāo)（x，y，z，w），但是加上一個條件，即對于一個固定的R，它們要滿足方程

我們把這個R 看成是宇宙的“半徑”，這樣就把3維空間描述為一個4維球體的表面。

會有一些反對的聲音，就是它依賴的是一個很不可能的思想，即宇宙是生活在一個更大的未曾觀測到的4維空間里面。作為回應(yīng)， 我們剛才定義的對象，即3維球面S^3也可以用所謂內(nèi)蘊的方式來定義，就是不需要參照任何包含的空間?？闯鲞@一點的最容易的方法是先看2維球面，然后再作類比。

所以，讓我們先想象一個行星，上面是平靜的水面。如果在北極丟一塊大石頭到水里，就有水波作為半徑越來越大的圓傳播開去（在任意時刻，這個圓都是一個緯圈）。然而到了一個適當(dāng)?shù)臅r刻，這個緯圈達(dá)到了赤道，在這以后，它就會“收縮”，一直到最后，波到達(dá)南極，立刻成為能量的突然爆發(fā)。

現(xiàn)在假想在3維空間里突然發(fā)出光波（例如可以是打開一盞明亮的燈）。現(xiàn)在波前不再是一個圓，而是一個不斷擴(kuò)展的球面。它可能擴(kuò)展得很大很大，然后又開始收縮，但是不是收縮到原來的起點，而是“從里翻到外地”收縮到另外一點。從邏輯上說，這是可能的。

只要注意2維情況的類比就可以看到這種可能性，當(dāng)上面說的緯圈擴(kuò)展到赤道以前，北半球算是緯圈的內(nèi)面，而南半球算是外面；但是一旦擴(kuò)展越過赤道，南半球就算是內(nèi)面，而北半球就“從里翻到外地”變成了外面。

要可視地看到這種可能性，要費點勁，而且這個“翻轉(zhuǎn)”的過程用不著求助于第四個維度。關(guān)鍵在于這樣的說法可以變成對于3維球面的一個數(shù)學(xué)上相容的3維的描述。

處理這個問題的一個不同的而且更加一般的途徑是使用圖冊。一本世界地圖集，是由許多平面的地圖頁訂成的。雖然一個圖冊畫的是3維宇宙中的一個對象，但是地球表面的球面幾何學(xué)卻只需從平面的圖頁上讀出。這件事做起來雖然不太方便，但確實是可能的，例如可以這樣來描述旋轉(zhuǎn)∶第17頁的某個部分要移動到第 24頁的某一部份，雖然有點扭曲，卻是相似的。

這樣做不僅是可能的，而且一個2維曲面可以這樣用2維圖冊來定義。例如，一個2維球面就可以定義如下∶這本圖冊僅有兩頁，每一頁都是一個圓形。一頁是北半球，但是稍大一點，越過赤道以便與南半球復(fù)疊起來；另一頁則是南半球，但也稍大一點，包含了北半球鄰近赤道的一小塊。因為這兩頁地圖都是平坦的平面，就必定有點扭曲，但是我們可以說得出扭曲有多大。

圖冊的概念很容易推廣到3維情況?，F(xiàn)在，每一"頁"都是3維空間的一部分。專業(yè)名詞不說是“（圖）頁”，而說是“區(qū)圖”（chart）∶一個3維圖冊就是若干3維區(qū)圖的集合，當(dāng)然還需指明，一個區(qū)圖的某一部分如何對應(yīng)于另一區(qū)圖的哪一部分。3 維球面有一個圖冊，它推廣了剛才討論的2維球面的簡單圖冊，這個圖冊包含了兩個立體的3維球體。在一個球體靠近邊緣（球面）的部分的點與另一球體靠近其邊緣部分的點之間有一個對應(yīng)，這樣就可以來描述其幾何學(xué)了∶當(dāng)你來到某個球體邊緣附近時，就會發(fā)現(xiàn)已經(jīng)走到了重疊的區(qū)域，同時走到了另一個球體里去了。如果再往前走，就一個球體而言，您已經(jīng)離開了它的地圖，但是第二個球體把你接過去了。

2維和3維球面都是流形的基本例子，其他的例子還有環(huán)面和射影平面。非正式地說，一個d維流形，或簡稱為d流形M，就是一個具有以下性質(zhì)的幾何對象∶它的每一點的某個鄰域，我們都感到像是d維歐幾里得空間的一部分包圍了這個點。

因為球面、環(huán)面、射影平面的很小一部分都非常接近于平面，所以它們都是2流形，雖然在2維情況下，更常用“曲面”這個詞以代替流形一詞（但是“曲面”并不一定是某個什么東西的“表面”，記住這一點很重要）。類似地，3維球面就是一個3流形。

流形的正式定義使用了圖冊的概念。有人說∶圖冊就是一個流形。這是“是”這個字的典型的數(shù)學(xué)用法，請勿與通常的用法混淆。在實踐上，把流形想作區(qū)圖的集合，連帶著還有區(qū)圖各個部分如何互相對應(yīng)的規(guī)則，這種做法也不少見。如果你想對流形作一般的推理，而不是考慮特定的例子，那么，用圖冊和區(qū)圖來定義它最為方便。

這里，用我們開始時考慮3維球面的“外包”（extrinsic）方法來考慮d流形可能會更好，就是把一個d流形看作一個生活在更高維空間里的d維“超曲面”。納什定理指出，所有的流形都是這樣產(chǎn)生的。但是要注意，想找出一個簡單的公式來定義這個超曲面并不總是易事。例如，2維球面可以用簡單的公式

而環(huán)面則要用一個稍微復(fù)雜的公式

要想找到有兩個洞的環(huán)面的公式就不容易了。商也可以用來定義兩個洞的環(huán)面，而我們深信所得的結(jié)果是一個流形，其理由還在于每一點都有一個小鄰域，看起來就像歐幾里得平面的一小部分。一般說來，任意一種構(gòu)造方式，只要是給出了一個“局部地像一個d維歐幾里得空間”的對象，就可以認(rèn)為這個構(gòu)造就是一個d流形。

流形的一個極為重要的特性在于對定義于其上的函數(shù)可以做微分。粗略地說，設(shè)M是一個流形，f是由M到R的函數(shù)，要看f是否在M上一點x處可微，首先要取M的一個包含x點的區(qū)圖，并認(rèn)為f是定義在此區(qū)圖上的函數(shù)。因為區(qū)圖是d維歐幾里得空間R^d的一部分，而我們可以在這樣的集合上做微分，所以可微性概念對于f也就有意義了。

當(dāng)然，要使這個定義在流形上也能用，重要的是，如果f屬于兩個重疊的區(qū)圖，則它應(yīng)該對于這兩個區(qū)圖同為可微或不可微。如果給出兩個重疊區(qū)圖的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)（稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)）本身就是可微的，則同為可微或不可微就有了保證。具有這個性質(zhì)的流形就稱為微分流形，轉(zhuǎn)移函數(shù)僅為連續(xù)而不一定可微的流形稱為拓?fù)淞餍??？梢赃M(jìn)行微分這件事使得微分流形的理論與拓?fù)淞餍卫碚摯鬄椴煌?/strong>

上述思想很容易從實數(shù)值函數(shù)推廣到從M到R^d的函數(shù)，或者從M到另一流形M'的函數(shù)。然而，判定定義在一個流形上的函數(shù)是否可微，比求它的導(dǎo)數(shù)要容易得多。一個從R^n到R^m的函數(shù)在一點x處的導(dǎo)數(shù)是一個線性映射，定義在一個流形上的函數(shù)也是一樣。然而這個線性映射的定義域并不是流形本身，而是在所討論的點 x 處的切空間。

黎曼度量（度規(guī)）

設(shè)有球面上兩點P，Q，怎樣確定它們的距離？答案依賴于如何定義球面。如果定義它為所有使得

那么P，Q就是R^3中的點。所以可以用畢達(dá)哥拉斯定理算出它們的距離，例如（1，0，0）和（0，1，0）的距離就是根號2。

然而，我們真的想計算直線段PQ的長度嗎？這個直線段并不完全落在球面上，所以用直線段來定義長度就與流形作為內(nèi)蘊的有定義的對象這一思想完全不相容了。幸而前面在討論球面幾何學(xué)時就知道有一個自然的定義可以避開這個問題∶可以定義P，Q之間的距離為連接這兩點，而且完全位于球面上的最短的路徑的長度。

現(xiàn)在假設(shè)我們想要更一般地討論流形上的點的距離。如果流形是作為一個更大的空間的超曲面給予我們的，就可以像在球面的情況那樣定義此距離為最短路徑的長度。但是若流形是用別的方法給予我們的，而我們僅僅知道的就是有一個方法可以證明每一點都包含在一個區(qū)圖里面 — 就是有一個鄰域可與 d 維歐幾里得空間的一部分聯(lián)系起來。這時，定義距離的方法之一就是采用區(qū)圖中的相應(yīng)點的距離作為定義。但是這樣做，至少引起了三個問題。

第一個問題是我們想要考慮的P，Q可能屬于不同的區(qū)圖。然而這不是一個太大的問題，因為我們真正想要計算的是路徑的長度，而只要能夠定義充分接近的點之間的距離，就可以算出路徑之長，而我們可以找出一個區(qū)圖，使得這兩個充分接近的點都在其內(nèi)。

第二個問題要嚴(yán)重多了，那就是對于同一個流形有許多不同方法選擇區(qū)圖，所以我們的想法并不一定引到流形的單個距離的概念。更糟的是，即使我們決定了一組區(qū)圖，它們還可能互相重疊，當(dāng)有重疊發(fā)生時，無法使得各個區(qū)圖里的距離相容。

第三個問題與第二個有聯(lián)系。球的表面是彎曲的，而一個圖冊（不論是數(shù)學(xué)意義下的還是日常生活意義下的）里的區(qū)圖是平坦的。所以區(qū)圖里的距離不可能精確地相應(yīng)于球面本身的最短路徑的長度。

從以上問題能得到的最重要的啟發(fā)就是∶如果想在一個給定的流形上定義距離的概念，怎樣去做這件事，總有多種選擇。非常粗略地說，黎曼度量（度規(guī)）就是進(jìn)行選擇的方法。

一個度量意味著一個合理的距離概念。一個黎曼度量就是決定無窮小距離的一種方法。這些無窮小距離可以用來計算路徑的長度，而兩點的距離就可以定義為它們之間的最短距離。為了看清怎樣做這件事，先考慮普通的歐幾里得平面上路徑的長度。設(shè)（z，y）屬于一條路徑，而（x＋δx，y＋δg）是路徑上另一點，但非常接近于（x，y）點。這時，這兩點之間的距離是

要計算充分光滑的路徑的長度，就在此路徑上取許多點，而相鄰兩點都非常接近。把它們之間的距離加起來，就給出了一個很好的逼近。取的點越多，這個逼近就越好。

然而，這只是應(yīng)用這個公式作為開始，這個例子也還沒有顯示出黎曼度量真正的用處。為了顯示出它的作用，我們要對討論過的雙曲幾何學(xué)的圓盤模型再次給出更準(zhǔn)確的定義。

當(dāng)接近圓盤邊緣時，雙曲距離比歐幾里得距離就會越來越大。一個更精確的說法就是∶

更一般地說，在平面的一部分上，黎曼度量就是以下形式的表達(dá)式∶

我們就是要利用它來計算無窮小距離以及路徑的長度。使得這些距離均為正是很重要的，而

當(dāng)然也需要E，F(xiàn)和G滿足一些光滑性條件。

這個定義可以直截了當(dāng)?shù)赝茝V到高維情況。在n維情況。必須用以下形式的表達(dá)式∶

最后，我們既然已知道在歐幾里得空間的一部分上面如何定義許多不同的黎曼度量，就有了許多潛在的可能來在定義一個流形的區(qū)圖上定義度量。流形上的黎曼度量就是在各個區(qū)圖上選擇相容的黎曼度量的方法。所謂"相容"就是指當(dāng)兩個區(qū)圖重疊時，在重疊的部分上距離一定要相同。前面說過，一旦做到了這一點，就可以定義其上兩點的距離為連接它們的最短路徑的長度。

在一個流形上定義了黎曼度量以后，就有可能來定義許多其他概念，例如角度和體積。還可以定義重要的曲率概念，這個概念在里奇流中會討論。另一個重要的定義是測地線的定義，它是歐幾里得幾何學(xué)里的直線概念在黎曼幾何學(xué)里的類比。所謂一條曲線C是測地線，就是指若在其上任意給定兩個相當(dāng)接近的點，曲線C的弧段總是給出它們之間的最短路徑，例如，球面上的測地線。

從上面的討論現(xiàn)在就應(yīng)該清楚了，在任意給定的流形上，總有許多可能的黎曼度量。黎曼幾何學(xué)的一個重大主題，就是從其中選擇在某方面“最好”的黎曼度量。例如，如果在球面上選用那個顯然的路徑長度，則得到的黎曼度量特別對稱，而這是一個很好的性質(zhì)。特別是用了這一個度量后，球面的曲率是處處相同的。更一般地說，要找出外加的條件附加在黎曼度量上。理想的情況是這些條件要足夠強(qiáng)，使得只有這一個黎曼度量能夠滿足它，至少是要使得滿足這個條件的黎曼度量族會很小。