黎曼

　　1826年9月17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開始上學(xué)，14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，以便將來繼承父志也當(dāng)一名牧師。

　　由于從小酷愛數(shù)學(xué)，黎曼在學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)的同時(shí)也聽些數(shù)學(xué)課。當(dāng)時(shí)的哥廷根大學(xué)是世界數(shù)學(xué)的中心之一，—些著名的數(shù)學(xué)家如高斯、韋伯、斯特爾都在校執(zhí)教。黎曼被這里的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究的氣氛所感染，決定放棄神學(xué)，專攻數(shù)學(xué)。

　　1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年的學(xué)生。

　　l851年，黎曼獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位；l854年被聘為哥廷根大學(xué)的編外講師；1857年晉升為副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。

　　因長年的貧困和勞累，黎曼在1862年婚后不到一個(gè)月就開始患胸膜炎和肺結(jié)核，其后四年的大部分時(shí)間在意大利治病療養(yǎng)。1866年7月20日病逝于意大利，終年39歲。

　　黎曼是世界數(shù)學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對(duì)概念的創(chuàng)造與想象。黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學(xué)建立了豐功偉績。

　　復(fù)變函數(shù)論的奠基人

　　19世紀(jì)數(shù)學(xué)最獨(dú)特的創(chuàng)造是復(fù)變函數(shù)理論的創(chuàng)立，它是18世紀(jì)人們對(duì)復(fù)數(shù)及復(fù)函數(shù)理論研究的延續(xù)。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾、維爾斯特拉斯已對(duì)單值解析函數(shù)的理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，而對(duì)于多值函數(shù)僅有柯西和皮瑟有些孤立的結(jié)論。

　　1851年，黎曼在高斯的指導(dǎo)下完成題為《單復(fù)變函數(shù)的一般理論的基礎(chǔ)》的博士論文，后來又在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了四篇重要文章，對(duì)其博士論文中思想的做了進(jìn)一步的闡述，一方面總結(jié)前人關(guān)于單值解析函數(shù)的成果，并用新的工具予以處理，同時(shí)創(chuàng)立多值解析函數(shù)的理論基礎(chǔ)，并由此為幾個(gè)不同方向的進(jìn)展鋪平了道路。

　　柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認(rèn)的復(fù)變函數(shù)論的主要奠基人，而且后來證明在處理復(fù)函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質(zhì)的，柯西和黎曼的思想被融合起來，維爾斯特拉斯的思想可以從柯西—黎曼的觀點(diǎn)推導(dǎo)出來。

　　在黎曼對(duì)多值函數(shù)的處理中，最關(guān)鍵的是他引入了被后人稱“黎曼面”的概念。通過黎曼面給多值函數(shù)以幾何直觀，且在黎曼面上表示的多值函數(shù)是單值的。他在黎曼面上引入支點(diǎn)、橫剖線、定義連通性，開展對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究獲得一系列成果。

　　經(jīng)黎曼處理的復(fù)函數(shù)，單值函數(shù)是多值函數(shù)的待例，他把單值函數(shù)的一些已知結(jié)論推廣到多值函數(shù)中，尤其他按連通性對(duì)函數(shù)分類的方法，極大地推動(dòng)了拓?fù)鋵W(xué)的初期發(fā)展。他研究了阿貝爾函數(shù)和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到著名的黎曼—羅赫定理，首創(chuàng)的雙有理變換構(gòu)成19世紀(jì)后期發(fā)展起來的代數(shù)幾何的主要內(nèi)容。

　　黎曼為完善其博士論文，在結(jié)束時(shí)給出其函數(shù)論在保形映射的幾個(gè)應(yīng)用，將高斯在1825年關(guān)于平面到平面的保形映射的結(jié)論推廣到任意黎曼面上，并在文字的結(jié)尾給出著名的黎曼映射定理。

　　黎曼幾何的創(chuàng)始人

　　黎曼對(duì)數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)還在于幾何方面，他開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場(chǎng)深刻的革命，他建立了一種全新的后來以其名字命名的幾何體系，對(duì)現(xiàn)代幾何乃至數(shù)學(xué)和科學(xué)各分支的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響。

　　1854年，黎曼為了取得哥廷根大學(xué)編外講師的資格，對(duì)全體教員作了一次演講，該演講在其逝世后的兩年(1868年)以《關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》為題出版。演講中，他對(duì)所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱為黎曼幾何。

　　為競(jìng)爭巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)金，黎曼在1861年寫了一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的文章，這篇文章后來被稱為他的“巴黎之作”。文中對(duì)他1854年的文章作了技術(shù)性的加工，進(jìn)一步闡明其幾何思想。該文在他死后收集在1876年他的《文集》中。

　　黎曼主要研究幾何空間的局部性質(zhì)，他采用的是微分幾何的途徑，這同在歐幾里得幾何中或者在高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中把空間作為一個(gè)整體進(jìn)行考慮是對(duì)立的。黎曼擺脫高斯等前人把幾何對(duì)象局限在三維歐幾里得空間的曲線和曲面的束縛，從維度出發(fā)，建立了更一般的抽象幾何空間。

　　黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個(gè)流形，維流形中的一個(gè)點(diǎn)可以用個(gè)可變參數(shù)的一組特定值來表示，而所有這些點(diǎn)的全體構(gòu)成流形本身，這個(gè)可變參數(shù)稱為流形的坐標(biāo)，而且是可微分的，當(dāng)坐標(biāo)連續(xù)變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就遍歷這個(gè)流形。

　　黎曼仿照傳統(tǒng)的微分幾何定義流形上兩點(diǎn)之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角。并以這些概念為基礎(chǔ)，展開對(duì)維流形幾何性質(zhì)的研究。在維流形上他也定義類似于高斯在研究一般曲面時(shí)刻劃曲面彎曲程度的曲率。他證明他在維流形上維數(shù)等于三時(shí)，歐幾里得空間的情形與高斯等人得到的結(jié)果是一致的，因而黎曼幾何是傳統(tǒng)微分幾何的推廣。

　　黎曼發(fā)展了高斯關(guān)于一張曲面本身就是一個(gè)空間的幾何思想，開展對(duì)維流形內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)的研究。黎曼的研究導(dǎo)致另一種非歐幾何——橢圓幾何學(xué)的誕生。

　　在黎曼看來，有三種不同的幾何學(xué)。它們的差別在于通過給定一點(diǎn)做關(guān)于定直線所作平行線的條數(shù)。如果只能作一條平行線，即為熟知的歐幾里得幾何學(xué)；如果一條都不能作，則為橢圓幾何學(xué)；如果存在一組平行線，就得到第三種幾何學(xué)，即羅巴切夫斯基幾何學(xué)。黎曼因此繼羅巴切夫斯基以后發(fā)展了空間的理論，使得一千多年來關(guān)于歐幾里得平行公理的討論宣告結(jié)束。他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，預(yù)見具有某種特定性質(zhì)的流形的存在性。這些逐漸被后人一一予以證實(shí)。

　　由于黎曼考慮的對(duì)象是任意維數(shù)的幾何空間，對(duì)復(fù)雜的客觀空間有更深層的實(shí)用價(jià)值。所以在高維幾何中，由于多變量微分的復(fù)雜性，黎曼采取了一些異于前人的手段使表述更簡潔，并最終導(dǎo)致張量、外微分及聯(lián)絡(luò)等現(xiàn)代幾何工具的誕生。愛因斯坦就是成功地以黎曼幾何為工具，才將廣義相對(duì)論幾何化?，F(xiàn)在，黎曼幾何已成為現(xiàn)代理論物理必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

　　微積分理論的創(chuàng)造性貢獻(xiàn)

　　黎曼除對(duì)幾何和復(fù)變函數(shù)方面的開拓性工作以外，還以其對(duì)l9世紀(jì)初興起的完善微積分理論的杰出貢獻(xiàn)載入史冊(cè)。

　　18世紀(jì)末到l9世紀(jì)初，數(shù)學(xué)界開始關(guān)心數(shù)學(xué)最龐大的分支——微積分在概念和證明中表現(xiàn)出的不嚴(yán)密性。波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊進(jìn)而到維爾斯特拉斯，都以全力的投入到分析的嚴(yán)密化工作中。黎曼由于在柏林大學(xué)從師狄利克萊研究數(shù)學(xué)，且對(duì)柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對(duì)微積分理論有其獨(dú)到的見解。

　　1854年黎曼為取得哥廷根大學(xué)編外講師的資格，需要他遞交一篇反映他學(xué)術(shù)水平的論文。他交出的是《關(guān)于利用三角級(jí)數(shù)表示一個(gè)函數(shù)的可能性的》文章。這是一篇內(nèi)容豐富、思想深刻的杰作，對(duì)完善分析理論產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

　　柯西曾證明連續(xù)函數(shù)必定是可積的，黎曼指出可積函數(shù)不一定是連續(xù)的。關(guān)于連續(xù)與可微性的關(guān)系上，柯西和他那個(gè)時(shí)代的幾乎所有的數(shù)學(xué)家都相信，而且在后來50年中許多教科書都“證明”連續(xù)函數(shù)一定是可微的。黎曼給出了一個(gè)連續(xù)而不可微的著名反例，最終講清連續(xù)與可微的關(guān)系。

　　黎曼建立了如現(xiàn)在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的必要充分條件。

　　黎曼用自己獨(dú)特的方法研究傅立葉級(jí)數(shù)，推廣了保證博里葉展開式成立的狄利克萊條件，即關(guān)于三角級(jí)數(shù)收斂的黎曼條件，得出關(guān)于三角級(jí)數(shù)收斂、可積的一系列定理。他還證明：可以把任一條件收斂的級(jí)數(shù)的項(xiàng)適當(dāng)重排，使新級(jí)數(shù)收斂于任何指定的和或者發(fā)散。

　　解析數(shù)論跨世紀(jì)的成果

　　19世紀(jì)數(shù)論中的一個(gè)重要發(fā)展是由狄利克萊開創(chuàng)的解析方法和解析成果的導(dǎo)入，而黎曼開創(chuàng)了用復(fù)數(shù)解析函數(shù)研究數(shù)論問題的先例，取得跨世紀(jì)的成果。

　　1859年，黎曼發(fā)表了《在給定大小之下的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文。這是一篇不到十頁的內(nèi)容極其深到的論文，他將素?cái)?shù)的分布的問題歸結(jié)為函數(shù)的問題，現(xiàn)在稱為黎曼函數(shù)。黎曼證明了函數(shù)的一些重要性質(zhì)，并簡要地?cái)嘌粤似渌男再|(zhì)而未予證明。

　　在黎曼死后的一百多年中，世界上許多最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過程中為分析創(chuàng)立了新的內(nèi)容豐富的新分支。如今，除了他的一個(gè)斷言外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。

　　那個(gè)未解決的問題現(xiàn)稱為“黎曼猜想”，即：在帶形區(qū)域中的一切零點(diǎn)都位于去這條線上(希爾伯特23個(gè)問題中的第8個(gè)問題)，這個(gè)問題迄今沒有人證明。對(duì)于某些其它的域，布爾巴基學(xué)派的成員已證明相應(yīng)的黎曼猜想。數(shù)論中很多問題的解決有賴于這個(gè)猜想的解決。黎曼的這一工作既是對(duì)解析數(shù)論理論的貢獻(xiàn)，也極大地豐富了復(fù)變函數(shù)論的內(nèi)容。

　　組合拓?fù)涞拈_拓者

　　在黎曼博士論文發(fā)表以前，已有一些組合拓?fù)涞牧闵⒔Y(jié)果，其中著名的如歐拉關(guān)于閉凸多面體的頂點(diǎn)、棱、面數(shù)關(guān)系的歐拉定理。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促使了人們對(duì)組合拓?fù)鋵W(xué)(當(dāng)時(shí)被人們稱為位置幾何學(xué)或位置分析學(xué))的研究。但拓?fù)溲芯康淖畲笸苿?dòng)力來自黎曼的復(fù)變函數(shù)論的工作。

　　黎曼在1851年他的博士論文中，以及在他的阿貝爾函數(shù)的研究里都強(qiáng)調(diào)說，要研究函數(shù)，就不可避免地需要位置分析學(xué)的一些定理。按現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)術(shù)語來說，黎曼事實(shí)上已經(jīng)對(duì)閉曲面按虧格分類。值得提到的是，在其學(xué)位論文中，他說到某些函數(shù)的全體組成(空間點(diǎn)的)連通閉區(qū)域的思想是最早的泛函思想。

　　比薩大學(xué)的數(shù)學(xué)教授貝蒂曾在意大利與黎曼相會(huì)，黎曼由于當(dāng)時(shí)病魔纏身，自身已無能力繼續(xù)發(fā)展其思想，把方法傳授給了貝蒂。貝蒂把黎曼面的拓?fù)浞诸愅茝V到高維圖形的連通性，并在拓?fù)鋵W(xué)的其他領(lǐng)域作出杰出的貢獻(xiàn)。黎曼是當(dāng)之無愧的組合拓?fù)涞南绕陂_拓者。

　　代數(shù)幾何的開源貢獻(xiàn)

　　19世紀(jì)后半葉，人們對(duì)黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數(shù)所創(chuàng)造的雙有理變換的方法產(chǎn)生極大的興趣。當(dāng)時(shí)他們把代數(shù)不變量和雙有理變換的研究稱為代數(shù)幾何。

　　黎曼在1857年的論文中認(rèn)為，所有能彼此雙有理變換的方程(或曲面)屬于同一類，它們有相同的虧格。黎曼把常量的個(gè)數(shù)叫做“類模數(shù)”，常量在雙有理變換下是不變量。“類模數(shù)”的概念是現(xiàn)在“參模”的特殊情況，研究參模上的結(jié)構(gòu)是現(xiàn)代最熱門的領(lǐng)域之一。

　　著名的代數(shù)幾何學(xué)家克萊布什后來到哥廷根大學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)教授，他進(jìn)一步熟悉了黎曼的工作，并對(duì)黎曼的工作給予新的發(fā)展。雖然黎曼英年早逝，但世人公認(rèn)，研究曲線的雙有理變換的第一個(gè)大的步驟是由黎曼的工作引起的。

　　在數(shù)學(xué)物理、微分方程等其他領(lǐng)域的豐碩成果

　　黎曼不但對(duì)純數(shù)學(xué)作出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)，他也十分關(guān)心物理及數(shù)學(xué)與物理世界的關(guān)系，他寫了一些關(guān)于熱、光、磁、氣體理論、流體力學(xué)及聲學(xué)方面的有關(guān)論文。他是對(duì)沖擊波作數(shù)學(xué)處理的第一個(gè)人，他試圖將引力與光統(tǒng)一起來，并研究人耳的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方程進(jìn)行定論研究得到一系列豐碩成果。

　　黎曼在1857年的論文《對(duì)可用高斯級(jí)數(shù)表示的函數(shù)的理論的補(bǔ)充》，及同年寫的一個(gè)沒有發(fā)表而后收集在其全集中的一個(gè)片斷中，他處理了超幾何微分方程和討論帶代數(shù)系數(shù)的階線性微分方程。這是關(guān)于微分方程奇點(diǎn)理論的重要文獻(xiàn)。

　　19世紀(jì)后半期，許多數(shù)學(xué)家花了很多精力研究黎曼問題，然而都失敗了，直到1905年希爾伯特和Kellogg借助當(dāng)時(shí)已經(jīng)發(fā)展了的積分方程理論，才第一次給出完全解。

　　黎曼在常微分方程理論中自守函數(shù)的研究上也有建樹，在他的1858～1859年關(guān)于超幾何級(jí)數(shù)的講義和1867年發(fā)表的關(guān)于極小正曲面的一篇遺著中，他建立了為研究二階線性微分方程而引進(jìn)的自守函數(shù)理論，即現(xiàn)在通稱的黎曼——許瓦茲定理。

　　在偏微分方程的理論和應(yīng)用上，黎曼在1858年～1859年論文中，創(chuàng)造性的提出解波動(dòng)方程初值問題的新方法，簡化了許多物理問題的難度；他還推廣了格林定理；對(duì)關(guān)于微分方程解的存在性的狄里克萊原理作了杰出的工作，……

　　黎曼在物理學(xué)中使用的偏微分方程的講義，后來由韋伯以《數(shù)學(xué)物理的微分方程》編輯出版，這是一本歷史名著。

　　不過，黎曼的創(chuàng)造性工作當(dāng)時(shí)未能得到數(shù)學(xué)界的一致公認(rèn)，一方面由于他的思想過于深邃，當(dāng)時(shí)人們難以理解，如無自由移動(dòng)概念非常曲率的黎曼空間就很難為人接受，直到廣義相對(duì)論出現(xiàn)才平息了指責(zé)；另一方面也由于他的部分工作不夠嚴(yán)謹(jǐn)，如在論證黎曼映射定理和黎曼—羅赫定理時(shí)，濫用了狄利克雷原理，曾經(jīng)引起了很大的爭議。

　　黎曼的工作直接影響了19世紀(jì)后半期的數(shù)學(xué)發(fā)展，許多杰出的數(shù)學(xué)家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數(shù)學(xué)許多分支取得了輝煌成就。