1854年，28歲的黎曼在哥廷根大學發(fā)表就職演講。這個職位是所謂無薪講師，他的收入完全來自于聽課的學生所繳納的學費。即使是爭取這樣一個職位， 也需要提供一篇就職論文以及發(fā)表一個就職演講。1853年他提交了就職論文，其中討論了什么樣的函數可以展開成三角級數的問題，并導致對定積分的第一個嚴 格數學定義。之后的就職演講要求候選人準備三個演講課題，委員會從中挑選一個作為正式演講題目。黎曼選了兩個思慮多時的課題，外加一個還未及考慮的課題 ——關于幾何學的基本假設。他幾乎確信委員會將挑選前面兩個題目之一。然而，委員會的高斯偏偏就看中了第三個題目。當時黎曼正沉浸于電、磁、光、引力之間 的相互關系問題，從這樣的深沉思考中抽身轉而研究新的問題無疑是一種巨大的壓力，再加上長期的貧窮，一度讓黎曼崩潰。但不久他就重新振作起來，用 7 個星期時間準備了關于幾何學基本假設的演講。為了讓數學系以外的委員會成員理解他的演講，黎曼只用了一個公式，并且忽略了所有計算細節(jié)。盡管如此，估計在場鮮有人能理解這次演講的內容。只有高斯為黎曼演講中蘊含的深邃思想激動不已。
黎曼在演講中提出了 “彎曲空間” 的概念，并給出怎樣研究這些空間的建議。 “彎曲空間” 正是后世拓撲學研究的主要對象。在這些對象上，除了可以運用代數拓撲的工具，還可以運用微積分工具，這就形成了 “微分拓撲學”。
回到黎曼的演講。黎曼認為，幾何學的對象缺乏先驗的定義，歐幾里德的公理只是假設了未定義的幾何對象之間的關系，而我們卻不知道這些關系怎么來的， 甚至不知道為什么幾何對象之間會存在關系。黎曼認為，幾何對象應該是一些多度延展的量，體現出各種可能的度量性質。而我們生活的空間只是一個特殊的三度延展的量，因此歐幾里德的公理只能從經驗導出，而不是幾何對象基本定義的推論。歐氏幾何的公理和定理根本就只是假設而已。但是，我們可以考察這些定理成立的可能性，然后再試圖把它們推廣到我們日常觀察的范圍之外的幾何，比如大到不可測的幾何，以及小到不可測的幾何。接著，黎曼開始了關于延展性，維數，以及將延展性數量化的討論。他給了這些多度延展的量（幾何對象）一個名稱，德文寫作 mannigfaltigkeit, 英文翻譯為manifold，英文字面意思可以理解為 “多層”，中國第一個拓撲學家江澤涵把這個詞翻譯為 “流形”，取自文天祥《正氣歌》，“天地有正氣，雜然賦流形”，而其原始出處為《易經》，“大哉乾元，萬物資始，乃統(tǒng)天。云行雨施，品物流形。”這個翻 譯比英文翻譯更加符合黎曼的原意，即多樣化的形體。
黎曼定義的 “n 維流形” 大概是這個樣子的：以其中一個點為基準，則周圍每個點的位置都可以用 n 個實數來確定。后人將這種性質總結為：流形的局部與 n 維歐氏空間的局部具有相同的拓撲性質。如果進一步要求在流形的不同局部做微積分的結果可以互相聯(lián)系起來，成為 “整體微積分”，則稱此流形為 “微分流形”。一個簡單的例子就是二維球面。我們都知道，二維球面上沒有整體適用的坐標。經度和緯度是一組很好的坐標，但是在南北兩極，經度無從定義。盡管如此，球面的每個局部都可以畫在平面上，這就是地圖。把各個區(qū)域的地圖收集在一起，重疊的部分用比例尺協(xié)調一下，就得到整個球面。這樣，坐標（或地圖） 只存在于每個局部，而整個球面其實是地圖之間的重疊關系。球面是二維流形，因為球面的局部同平面（二維歐氏空間）的局部具有相同的延展性質。球面的整體結構顯然跟平面不同。沿著球面的某個方向往前走，比如，從赤道某點出發(fā)往東走，最終會回到出發(fā)點。而如果在平面上沿某個方向往前走則永不回到出發(fā)點。研究流形的整體結構，以及整體結構與局部結構之間的關系，就是 “拓撲學” 的核心課題。微分流形上可以使用微積分的工具，再輔之以前面介紹過的代數工具（同調群，同倫群），就形成了威力強大的 “微分拓撲學”。這門學問的發(fā)展使我們對 5 維以上的單連通微分流形（回憶先前介紹的 “單連通” 概念，即每條曲線可于流形內滑縮為一點）有了比較徹底的認識。
到了80年代，數學家對 4 維單連通 “拓撲流形” 也有了徹底的認識，然而 4 維 “微分流形” 卻是無比復雜的對象。比如，直觀上最簡單的四維流形，四維歐氏空間，也就是所有 (x,y,z,t) 這樣的數組組成的空間，有無窮多個“微分結構”，通俗一點說，這個流形上有無窮多種 “整體微積分” 可做，而我們通常做的四元微積分只是其中一種。這是 4 維的特殊性，因為其他維數的歐氏空間都跟我們的常識相符。也許 “4” 就是傳說中的上帝之數，我們的宇宙就是用 4 個參數來描述的（3個參數表示空間，1 個參數表示時間），我們的時空是一個四維流形。
如果我們忘掉時間，只考察我們生活的空間。它的形態(tài)會是怎樣？這是黎曼在演講結尾提出的問題。這個問題到現在還沒有答案。這個答案需要物理學家、天文學家、宇宙學家去尋找。宇宙空間會不會是一個三維球面？如果是三維球面，那我們沿著一個方向往前飛行，最終總會回到起點。
