10. 測地線和曲率張量

平行移動的概念不僅可以被用來定義曲面的曲率，也可以被用來定義測地線。

測地線是歐幾里德幾何中“直線”概念在黎曼幾何中的推廣。歐氏幾何中的直線，整體來說是兩點之間最短的連線，局部來說可以用“切矢量方向不改變”來定義它。將后面一條的說法稍加改動，便可以直接推廣到黎曼幾何中：

“如果一條曲線的切矢量關(guān)于曲線自己是平行移動的，則該曲線為測地線?！?/p>

第八節(jié)中曾經(jīng)給出矢量V平行移動時在列維-齊維塔聯(lián)絡(luò)意義下的逆變分量坐標表達式：dV^j/ds+ G^j_npVⁿdx^p/ds= 0。根據(jù)上述測地線的定義，如果將其中的V^j用切矢量的分量（dx^j/ds）代替的話，便可得到用克里斯托費爾符號表示的測地線的方程。

圖2-10-1：在緯度a的圓上以及在赤道上切矢量的平行移動有所不同

以球面為例，我們可以利用上一節(jié)中采取的方法來研究切矢量的平行移動。一般來說，沿著球面上緯度為a的圓的平行移動等效于在一個錐面“帽子”上的平行移動。然而，當a=0時（對應(yīng)于赤道），錐面變成了柱面，如圖2-10-1左圖所示。因而，可以將錐面或柱面（赤道）展開成平面來研究球面上的平行移動。圖2-10-1中圖和右圖分別是錐面和柱面展開的平面上平行移動的示意圖。。從兩個圖中可以看出，切矢量的平行移動對a=0（赤道）和a>0（非赤道）兩種情形有所不同。對于小于赤道的圓，從錐面展開的平面圖可知，點1的切矢量，平行移動到2、3、……各點后不一定再是切矢量；而赤道在柱面展開的平面圖中是一條直線，所以，點1的切矢量平行移動到2、3、……各點后仍然是切矢量。

因此，如赤道這樣的“大圓”，即圓心與球心重合的圓，符合我們剛才所說的測地線的定義：切矢量平行移動后仍然是切矢量。所有的大圓都是球面上的測地線。

測地線是否一定是短程線呢？對歐氏空間來說是如此，但對一般的黎曼空間不一定如此。比如球面上，連接兩點的測地線至少有兩條（一個大圓的兩段），那條小于180度的圓弧是短程線，而另一部分，即大于180度的圓弧，就不是短程線了。不過，測地線是局部意義上的短程線，對于充分接近的兩個點，測地線是最短曲線。

下面繼續(xù)上一節(jié)有關(guān)曲率的討論。

如前所述，2維曲面上某一點P的曲率R，被定義為“任意矢量沿曲面上無限小的閉曲線平行移動后的角度虧損對閉曲線所包圍之面積的導(dǎo)數(shù)”，即：標量曲率R = dq/dA。以上的敘述中包含了如下幾點概念：曲率R是局部的，隨點P位置的變化而變化；曲率R的定義依賴于一個2維曲面；曲率R的定義與某個角度虧損有關(guān)。所謂角度虧損，就是矢量的方向平行移動后相對于原來的方向繞某一個軸轉(zhuǎn)動的角度。

在2維曲面上的每個點，按照上面的方法，能定義一個曲率R。也就是說，定義了2維曲面上的一個標量曲率場。

現(xiàn)在，如果考慮一般的n維黎曼流形，就需要將上述的曲率概念加以推廣。首先想到的是：在維數(shù)大于2的流形上的每一點，應(yīng)該仍然可以局部地定義曲率。然而，如果按照2維曲率定義的方法，當n大于2時，不僅僅得到一個曲率值，而是可以定義多個曲率數(shù)值。其原因是因為對高維空間中的一點，通過它的二維面不止一個，另一方面，當我們考慮角度虧損的時候，也不是只有一個角度虧損值，相對于每一個可能存在的轉(zhuǎn)軸，都將有一個所謂角度虧損值。如此一來，n維流形上每一個點的曲率需要不止一個數(shù)值來描述。所以，我們便在每個點的切空間中定義一個曲率張量，或換言之，賦予黎曼流形上一個曲率張量場。

下面需要考慮的是，這個曲率張量的階數(shù)是多少？或者說，這個曲率張量應(yīng)該有幾個指標，才能表征n維黎曼流形在一個給定點的內(nèi)蘊彎曲度？

圖2-10-1：黎曼曲率張量和平行移動

可以用如下的方法將2維空間標量曲率概念推廣到n維以上的流形。首先考慮n維流形中的矢量V在P點附近的平行移動方式。矢量V可以沿著過P點的任何一個2維子流形的回路平行移動。比如說，圖2-10-1所示的是V在由坐標x^m和xⁿ表示的曲面上沿著dx^m、dxⁿ、-dx^m、-dxⁿ圍成的四邊形回路平行移動的情形。一般來說，當V繞回路一圈返回原點時將和原來矢量不一樣，得到了一個改變量dV。類比于標量曲率R的定義，矢量的這個增量應(yīng)該正比于平行移動的路徑所圍成的面積，即dx^mdxⁿ。除此之外，矢量增量dV還應(yīng)該與原矢量V有關(guān)?？紤]dV和V方向上的差異，增量dV的逆變分量dV^a可以寫成如下形式：

dV^a= dx^mdxⁿV^gR_n^a_mg，                                   （2-10-1）

這兒，將平行移動一周之后的微小變化用符號d表示，以區(qū)別于坐標的線性微分增量dx^m或dxⁿ。

公式（2-10-1）中的比例系數(shù)R_n^a_mg，便是黎曼曲率張量。如前所述，四個指標中的兩個m和n對應(yīng)于平行移動路徑所在的2維曲面，而另外兩個指標a和g分別表示矢量增量dV及原來矢量V的逆變指標。公式右邊的重復(fù)指標m、n和g是求和的意思，這是遵循以前提到過的“愛因斯坦約定”，以后用到重復(fù)指標時都是表示求和的約定，不再贅述。

黎曼曲率張量是個四階張量，對n維空間，四個指標都可以從1變化到n，因而分量數(shù)目很多。但是由于對稱性的原因，獨立分量的數(shù)目大大減少，只有n²(n²-1)/12個。按照這個公式，當n等于4時，有20個獨立分量；當n等于2時，曲率只有一個獨立分量，這便是我們曾經(jīng)介紹過的2維曲面的高斯曲率。

黎曼幾何中有多種方式來理解和定義內(nèi)在曲率的概念，下面將作一簡單介紹。本來是同一個東西，從多種不同的角度看一看可以加深理解。就像是你在觀察一座山：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，多照幾張照片才能幫助我們識得廬山真面目。上文中，用平行移動概念來定義的四階黎曼曲率張量R_n^a_mg是定義曲率最標準的形式。黎曼曲率張量就像是給某座山某處附近照的標準照片，它的4個指標獨立地變化，其取值范圍都是從1到n，因而總的變化數(shù)目就有n⁴個，在n=4的情形下，這個數(shù)等于256。好比是在這附近照了256張照片，不過由于對稱性，其中很多是重復(fù)的，不重復(fù)的只有20張。經(jīng)專家們研究后認為，將整座山的每一個“局部景觀”，都如法炮制地照出20張不重復(fù)的照片來，便能夠作為這座山的完整描述。

之前，我們也曾經(jīng)提到過“截面曲率”，它被定義為n維流形過給定點的所有2維截面高斯曲率的總和。截面曲率等效于黎曼曲率張量，與截面曲率有關(guān)的20張照片同樣也是內(nèi)蘊曲率的完整描述，但因為拍攝技術(shù)有所不同，有著更容易被人理解的直觀幾何解釋。

不過，愛因斯坦在他的引力場方程中用到的，是另外兩個稱之為里奇曲率的幾何量：里奇曲率張量R_μν和里奇曲率標量R，這兩個曲率是通過上述黎曼曲率張量的指標縮并而得到的，將指標縮并的意思是什么？繼續(xù)使用剛才的比喻，20張照片中，有些是相似的，因而可以首先挑選出更有代表性的一類，然后又將此類中的幾張照片合并起來放到一張照片中。利用這種技巧，在某種條件下，將20張標準照簡化到只用10張就夠了。

比如說，里奇曲率張量就是由原來四個指標的黎曼曲率張量R_μ^a_ρν，將其中兩個指標a和ρ縮并而成的二階張量，寫成：R_μν = R_μ^ρ_ρν。如果將原來黎曼曲率張量中4個指標中的兩個（a和ρ）看成是矩陣的行列指標的話，那么，4階黎曼曲率張量就等效于n²個2階矩陣。進一步將矩陣的兩個行列指標“縮并”：意思就是將這個矩陣只用一個數(shù)（它的trace）來表示。因而，指標縮并后，原來的n²個矩陣就變成了n²個數(shù)值，這就是所謂的里奇曲率張量。

里奇曲率標量呢，是由里奇曲率張量的兩個指標再進一步縮并而成的一個標量：R= g^μνR_μν。在2維曲面情形下，R正好是高斯曲率的2倍。

這兒最后插上一段話，重申關(guān)于對“內(nèi)蘊”的理解。高斯和黎曼的微分幾何研究，強調(diào)的也是流形的“內(nèi)蘊”性質(zhì)。遺憾的是，受限于大腦的思維能力，我們無法用直觀的圖像來表達更為高維空間的這種“內(nèi)蘊”性。唯一能加深和驗證理解的直觀工具就是想象嵌入在三維歐氏空間中的各種二維曲面。但我們務(wù)必要隨時記住，在研究這些曲面的幾何性質(zhì)時，盡量不把它們當作三維歐氏空間中的子空間，而是把自己想象成生活在曲面上、只能看見這個曲面上發(fā)生的事件的“阿扁”，當我們從阿扁的角度來進行測量、考慮問題時，涉及的幾何量便是“內(nèi)蘊”幾何量。然而，阿扁觀測到的，只是2維曲面上的內(nèi)蘊幾何，研究維數(shù)更高的黎曼流形時，還需要使用另外一個訣竅。這個方法讓我們更容易保持“內(nèi)蘊”的思考，那就是：一切都得從度規(guī)張量出發(fā)。因為度規(guī)張量決定了幾何中最基本的內(nèi)蘊量：弧長，是黎曼幾何的關(guān)鍵，有了度規(guī)張量后，便可以導(dǎo)出其它的內(nèi)蘊幾何量。

理解黎曼幾何和廣義相對論的另一個重要原則就是，物理規(guī)律要與坐標系無關(guān)。盡管任何有用處的實際計算都是在某個坐標系下面進行的，但計算結(jié)果表達的物理定律卻是獨立于坐標而存在。這也就是我們總是要將描述物理規(guī)律的方程式寫成“張量”形式的原因，因為張量的坐標分量在坐標變換下作線性齊次變換。線性表明張量屬于切空間，齊次表明張量與坐標系選擇無關(guān)。如果一個張量在某個坐標系下所有分量都是零，經(jīng)過線性齊次變換后，它在任何坐標系中都將是零。

在此也順便回顧和總結(jié)下我們介紹黎曼幾何的過程。黎曼流形（偽黎曼流形）是定義了一個對稱正定（不正定）度規(guī)張量場g_ij的微分流形。為了在黎曼流形上作微分運算，需在相鄰點的切空間之間引進“聯(lián)絡(luò)”的概念，具體地說，就是用列維-齊維塔聯(lián)絡(luò)，將不同切空間中的不同的度規(guī)張量關(guān)聯(lián)起來。而作為列維-齊維塔聯(lián)絡(luò)坐標表達式的克里斯托費爾符號，只與度規(guī)張量和度規(guī)張量的微分有關(guān)。然后，我們定義了在列維-齊維塔聯(lián)絡(luò)意義下的協(xié)變微分和平行移動。引進協(xié)變微分的目的是為了定義張量之間的微分規(guī)則，以確保張量的協(xié)變微分仍然是一個張量。因為從協(xié)變微分而定義的平行移動與空間的“不平坦”程度密切相關(guān)，從而便由平行移動定義了測地線以及各種曲率的概念。

補充：有關(guān)平行移動

“如何平行移動”及“角度的變化”都是內(nèi)蘊觀察量，與被嵌入的空間無關(guān)。但為了更為直觀的說明問題，畫出的圖只能是嵌入三維空間的二維面，比如下圖b中的球面：

上圖是在平面和球面上分別作平行移動的例子：女孩從點1到點2再到點3，一直到點7，作平行移動一圈后回到點1（1和7是同一點）。所謂‘平行移動’的意思是說，她在移動的時候，盡可能保持身體（或是她的臉）相對于身體的中心線沒有旋轉(zhuǎn)。這樣，當她經(jīng)過1、2、3……回到1的時候，她認為她應(yīng)該和原來出發(fā)時面對著同樣的方向。她的想法是正確的，如果她是在平面上移動的話（圖a）。但是，假如她是在球面上移動的話，她將發(fā)現(xiàn)她面朝的方向可能不一樣了！圖b中紅色箭頭所指示的便是她在球面上每個位置時面對的方向。從圖中可見，出發(fā)時她的臉朝左，回來時卻是臉朝右。