從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，微分幾何幾乎和微積分同時(shí)誕生，甚至可以說，微分幾何還要早一些，因?yàn)樵谠缙诘奈⒎e分中，還存在很多來自幾何的觀念。我們都知道，古典的微分幾何在高斯這里發(fā)展到了高峰，“內(nèi)蘊(yùn)幾何”自此被提出此后。我們對(duì)微分幾何有了全新的認(rèn)識(shí)，被研究的幾何對(duì)象不再被看作通常的歐式空間的一部分，而是它本身就是一個(gè)空間。高斯的“內(nèi)蘊(yùn)幾何”后來被黎曼(毫無疑問，黎曼是高斯最杰出的學(xué)生)推廣到任意維數(shù)的黎曼流形上，黎曼幾何也就此誕生。而在這一微分幾何發(fā)展過程中，“高斯絕妙定理”起到了關(guān)鍵的啟示作用。那么，“高斯絕妙定理”到底是什么？它到底奇妙在哪里？

曲面基本形式

首先，我們考慮三維空間中的參數(shù)曲面，它可以用兩個(gè)參數(shù)表示出來：

為了研究的簡便，我們往往要假設(shè)坐標(biāo)函數(shù)是參數(shù)的高次(一般大于二次)可微函數(shù)，而且沿兩個(gè)參數(shù)方向的切向量ru和rv(也即分別對(duì)u和v求導(dǎo)所得)處處線性無關(guān)。這樣的曲面具有良好的微分性質(zhì)，一般稱之為正則曲面。

有了參數(shù)表示后，就可以定義出一個(gè)曲面的“度量”，也就是第一基本形式：

Ⅰ=dr·dr.

其中dr指的是曲面r(u,v)的微分。再具體一點(diǎn)：

令E=ru·ru,F=ru·rv,G=rv·rv，

則Ⅰ=Edu2+2Fdudv+Gdv2.

實(shí)際上，這就是曲面的黎曼度量。同時(shí)，第一基本形式也是曲面上最基本的一個(gè)內(nèi)蘊(yùn)量(也就是只與度量有關(guān)的量)，例如平面和圓柱面，它們的第一基本形式都是：

Ⅰ=dx2+dy2

也就是說，平面和柱面擁有相同的度量性質(zhì)，但它們卻是形狀完全不同的曲面。相信很多人都在中學(xué)時(shí)候做過求圓柱面或者圓錐面上兩點(diǎn)之間最短距離的數(shù)學(xué)問題，我們都知道，這種問題的解決方法就是將曲面展開為平面。但那時(shí)我們都想當(dāng)然地把這種曲面可以展開為平面當(dāng)成一種顯然的事實(shí)，而實(shí)際上可以這樣做的真正原因正在于從度量性質(zhì)上來看，這些“可展曲面”和平面是沒有區(qū)別的。關(guān)于這一點(diǎn)，接下來我們還會(huì)提及。

從上面的例子我們看到，曲面的第一基本形式并不能反映它們的形狀，為了達(dá)到這種目的，還要考慮曲面的單位法向量n(由切向量ru,rv做向量外積而得)，為此，有了如下第二基本形式Ⅱ的定義：

令L=-ru·nu,M=-ru·nv=-rv·nu，N=-rv·nv

則Ⅱ=-dr·dn=

Ldu2+2Mdudv+Ndv2.

此時(shí)，對(duì)于平面而言，其第二基本形式Ⅱ=0，而圓柱面Ⅱ=(-1/a)du2,其中a為橫截圓的半徑。可以看到，第二基本形式的確反應(yīng)了它們形狀的不同。實(shí)際上，我們可以證明：

在等距意義下，曲面由其兩個(gè)基本形式完全決定.

高斯曲率

對(duì)于曲面而言，它沿其上不同曲線的彎曲程度一般是不同的，因而描述曲面的彎曲程度較曲線而言復(fù)雜許多。直觀上，我們可以感覺到，曲面法向量的變化程度和彎曲程度是正相關(guān)的，例如平面和球面，前者的法向量是不變的，而后者法向量顯然是在變化的。因此為了描述曲面彎曲程度的變化，需要考慮曲面法向量的變化，這也就有了“法曲率”的概念。定義沿曲線某點(diǎn)的法曲率為曲線的曲率向量在法向量上的投影，這樣的曲線有切方向(du,dv),經(jīng)過一番簡單的計(jì)算，沿這個(gè)切方向的法曲率k恰好等于曲面的兩個(gè)基本形式在點(diǎn)(u,v)的商，即

k=Ⅱ/Ⅰ=

(Ldu2+2Mdudv+Ndv2)/Edu2+2Fdudv+Gdv2.

為了研究曲面的微分幾何，高斯引入了“高斯映射”的概念。這個(gè)映射的定義是很簡單的，只需把曲面在每一點(diǎn)的單位法向量平移到以原點(diǎn)為心的單位球面上。接下來，高斯映射的切映射將誘導(dǎo)兩個(gè)切空間(由nu,nv構(gòu)成的線性空間和相應(yīng)球面切平面)之間的線性變換，而這個(gè)映射又被稱為Weingarten映射。這里需要提到的是，考慮高斯映射的切映射而非高斯映射本身，這是數(shù)學(xué)中常見的思想，因?yàn)榫€性的東西總是更容易把握。

由線性代數(shù)的知識(shí)，Weingarten映射將產(chǎn)生兩個(gè)特征值k1和k2，而實(shí)際上，它們恰好是在一點(diǎn)處法曲率的兩個(gè)極值。定義：

平均曲率=(k1+k2)/2，

高斯曲率=k1·k2.

高斯絕妙定理

從定義可以看到，高斯曲率是利用曲面的兩個(gè)基本形式定義出來的，那么它的數(shù)學(xué)意義到底是什么呢？首先我們可以觀察到，前面我們提到的可展曲面，無論它們的形狀如何，高斯曲率都是0，而且可以證明反過來也是正確的。那么我們就得到了一個(gè)非平凡的結(jié)果：

三維歐式空間中的(正則)曲面是可展曲面當(dāng)且僅當(dāng)它的高斯曲率處處為0.

從這個(gè)事實(shí)出發(fā)，我們似乎可以感覺到，高斯曲率和曲面的形狀沒有關(guān)系，而只與曲面的度量形式有關(guān)。偉大的高斯不僅注意到了這樣的事實(shí)，而且更進(jìn)一步，他證明了如下極其深刻的定理：

曲面的高斯曲率由第一基本形式完全決定！

顯然，高斯本人對(duì)這個(gè)結(jié)果是相當(dāng)滿意的，并用“絕妙”一詞來命名這個(gè)定理。對(duì)于古典的微分幾何而言，高斯絕妙定理無疑是最重要的結(jié)果，它深刻地揭示曲面了的內(nèi)在特征，并且讓曲面單獨(dú)成為一個(gè)空間成為可能，這使得我們對(duì)曲面的認(rèn)識(shí)將不再依賴于它的外圍空間?？梢哉f，微分幾何從此走上了“內(nèi)蘊(yùn)”的道路，面貌煥然一新。而自黎曼推廣了高斯的內(nèi)蘊(yùn)幾何思想以來，微分幾何更是擺脫了古典框架的束縛，使得我們對(duì)空間的認(rèn)識(shí)更加深刻。

最后我們還要對(duì)高斯曲率的幾何意義再多說幾句。很多地方都說高斯曲率是衡量曲面彎曲程度的，但嚴(yán)格來說，這并不準(zhǔn)確，這從圓柱面和平面的高斯曲率都為0就可以知道。實(shí)際上，從前面的討論(尤其是高斯絕妙定理)可知，高斯曲率衡量的是曲面的度量(也就是第一基本形式)，偏離標(biāo)準(zhǔn)度量(高斯曲率為0的度量，也就是Ⅰ=du2+dv2)的程度。例如我們簡單地考慮在平面一點(diǎn)相切的球面，而半徑為R的球面高斯曲率為1/R2,可以直觀地看到，高斯曲率越大(半徑越小)，與平面的偏離程度越大。(這個(gè)例子可能還不夠好，因?yàn)檫€是沒有脫離常規(guī)彎曲的幾何直觀，只是借此形象說明擁有不同大小高斯曲率的曲面之間的差別。)

關(guān)于高斯曲率，還有更為復(fù)雜的情形，那就是它為負(fù)數(shù)的情形，例如類似于薯片那種雙曲面的形狀。實(shí)際上，正負(fù)高斯曲率空間之間有著本質(zhì)上的差別，但關(guān)于這些內(nèi)容，在此就不再多說了。