清華筆記：計算共形幾何講義（7）矢量場設計

九畝荷塘一書屋 2017-07-17

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漫長的課程至此，我們終于可以應用所學的理論工具來分析解決一些實際問題了。

我們學習了曲面的代數拓撲和微分拓撲，de Rham上同調的霍奇理論，作為應用實例，我們討論如何構造曲面上光滑矢量場的問題，這一問題對于設計卡通動物的毛發(fā)具有根本的重要性；同時，這一個例子可以使我們對所學的各種概念融匯貫通。這次課程的視頻可以在【1】的后半部找到，具體算法可以在【2】中找到。

根據矢量場的Hopf指標定理，矢量場必有奇異點。假設用戶指定了奇異點的位置和指標，我們的算法應該可以自動生成光滑矢量場，具有指定的奇異點。我們的算法用到了Ricci flow，平行移動等概念工具，但最為重要的是holonomy，和用調和微分形式對holonomy的補償。

平行移動

平行移動是黎曼幾何中最為基本的概念。如圖1所示，令 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 是平面上的一條直線段。我們在起點處選擇一個平面矢量，然后將 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 的起點沿著直線移動，同時保持和直線切向量的夾角不變，這樣我們得到 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 沿著的平行移動，在直線的終點處得到平行移動的結果。假設 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 是折線段，我們可以逐段平行移動。如果是曲線，我們可以用折線來逼近曲線。我們取曲線上的采樣點

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. ,

然后用直線段連接相鄰的兩個采樣點，這樣得到折線。我們將 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 沿著這條折線平行移動得到。令趨向無窮，則折線收斂到原來曲線， This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 會趨向到一個極限向量。我們說沿著平行移動的結果是。

圖1. 平面上的平行移動。

下面我們將平行移動的概念從平面推廣到曲面情形。曲面上平行移動的定義方式和平面情形相類似，唯一的區(qū)別是將直線換成測地線。更為詳盡地，如果曲線 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 是定義在曲面上的一條測地線，我們在起點處選擇一個切矢量，然后將 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 的起點沿著測地線移動，同時保持和測地線切向量的夾角不變，這樣我們得到 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 沿著的平行移動，在測地線的終點處得到平行移動的結果。如果 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 是定義在曲面上的任意一條分片光滑曲線，則我們可以在上采樣，并用分片測地線來逼近 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. ，同時在分片測地線上逐段平行移動。當采樣密度趨于無窮的時候，分片測地線收斂到原來曲線，逐段平行移動的結果趨于一個極限切向量 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. ，則我們將定義為沿著的平行移動結果。

高斯-博內定理

平面上的平行移動只和起點和終點有關，和平行移動所經歷的路徑無關。換言之，如果 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 是平面上的一條封閉曲線，沿著平行移動矢量得到，則和重合。

圖2. 高斯-博內定理。

如果 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 是曲面上的一條分片光滑封閉曲線，如果是曲面某個區(qū)域的邊界 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. ，那么沿著平行移動矢量得到，則和不一定重合，其相差的角度等于曲面的高斯曲率在區(qū)域 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 上的積分。這可以由高斯-博內（Gauss-Bonnet）定理來精確描述：

這里是內點處的高斯曲率，是邊界點處的測地曲率， This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program. 是曲線在折角處的外角。如果曲面的高斯曲率非零，則平行移動的結果依賴于路徑的選擇。由此，我們可以提煉出和樂群的概念。

和樂群

給定帶黎曼度量的光滑曲面 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

，和其上的基點 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

，考察所有經過基點的封閉曲線 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

，我們沿著 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

平行移動切向量

得到

，則

和

之間相差一個旋轉，所有這種旋轉構成的群被稱為是曲面的和樂群（Holonomy Group）。陳省身先生非常重視和樂群的研究，因為和樂群反映了黎曼流形的幾何特性。如果曲面的黎曼度量為平直度量，高斯曲率處處為0，那么如果 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

同倫平庸（即

同倫于點），那么 This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

對應的holonomy平庸。由此推出，如果兩個封閉曲線同倫，則它們的holonomy相同。這意味著平直度量可以簡化和樂群，我們利用這一點來構造曲面上的光滑切矢量場。

圖3. 曲面基本群生成元。

給定一個虧格為的曲面，用戶選擇個點，作為切矢量場的零點，并且指定這些零點的指標，滿足龐加萊-霍普夫公式：零點的總指標等于曲面的歐拉示性數，

。

我們在曲面的每個環(huán)柄上選擇兩個封閉曲線，圍繞每個零點選擇一條封閉曲線。帶孔曲面定義為：

，

其基本群為

。

我們可以用Ricci 流的方法構造一個平直度量，使得曲面的高斯曲率集中在零點上，點處的曲率等于乘以其指標，其他各點的高斯曲率處處為0。后面我們會詳細介紹，離散曲面Ricci流方法可以計算出這樣平直度量。根據Gauss-Bonnet定理，我們可以看出，帶孔曲面上，如果兩條封閉曲線同倫，則它們對應的holonomy相同。因此，holonomy是定義在帶孔曲面的同倫群上的。

根據定義，的holonomy為0，但是的holonomy依然復雜，我們假設相應的holonomy分別是和。我們構造一個微分1-形式,滿足

在構造光滑矢量場時，用于補償平直度量誘導的holonomy。

我們在帶孔曲面上任選一點，任選一個單位切向量，對于帶孔曲面上任意一點，我們可以任選一條連接和的路徑，將沿著平行移動到點，然后再旋轉角，這里

，

這樣，可以證明我們在帶孔曲面上生成了一個光滑切矢量場，切矢量的長度處處為1。然后我們構造一個光滑函數，在零點處為0，其他各處為正，則和帶孔曲面上的光滑單位切矢量場之積是原來曲面上的一個光滑矢量場，其零點以及零點的指標由用戶指定。

圖4. 虧格為0的曲面上只有一個零點的光滑向量場。

圖5. 虧格為2的曲面上只有一個零點的矢量場。

圖4顯示了虧格為0曲面上只有一個零點的光滑矢量場。圖5顯示了虧格為2的曲面上只有一個零點的切矢量場。左幀是如上構造的用于補償holonomy的微分形式，中幀顯示的是未加補償直接由平行移動生成的切矢量場，其上存在間斷曲線，右?guī)茄a償后的光滑矢量場。

圖6. 曲面上的矢量場設計，零點由用戶指定。

圖7. 將曲面轉換成編織模型。

圖8. 將曲面轉換成編織模型。

同樣的方法，也可以用于生成曲面上的光滑標架場。如圖6所示，曲面上的標架場用于自動生成鉛筆素描畫，這可以用計算機來模擬藝術家來進行非真實感繪制。圖7和圖8顯示了將曲面自動轉換成編織模型，這為數字制造提供了新穎的思路。