奇點與奇點定理簡介 (二)

- 盧昌海 -

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二. Raychaudhuri 方程

在 上一節(jié) 中我們對廣義相對論中的奇點作了定義。 這樣定義的奇點究竟會在什么條件下出現(xiàn)？ 它是否如某些物理學家猜測的那樣來源于對稱性？ 這些都是奇點定理所要回答的問題。

由于我們對奇點的定義是建立在測地不完備性之上的， 因此為了研究奇點產生的條件， 很自然的做法就是對測地線的性質進行研究。 我們用 V 表示測地線的切矢量， 對于類時測地線來說， V 滿足兩個條件： V^aV_a=1 (歸一化條件) 及 V^aV^b_;a=0 (自平移條件， 其中 “;” 為協(xié)變導數(shù))。 我們效仿線性代數(shù)中引進投影算符的做法， 引進一個輔助張量 h_ab=g_ab—V_aV_b。 不難證明 (請讀者自行驗證)， h^a_b 是與 V 相垂直的子空間上的投影算符， 因此 h_ab 有時被稱為時空度規(guī) g_ab 的 “空間部分” (請讀者想一想， 這里所說的 “空間” 是什么含義？)。

我們知道， 時空曲率的存在會導致沿相鄰測地線運動的試驗粒子之間的距離發(fā)生變化， 這是所謂的測地偏離 (geodesic deviation) 效應， 它是引力相互作用的一種體現(xiàn)。 我們對測地線性質的研究也從這個角度入手， 考察一個測地線束中的測地偏離效應。 對一個測地線束來說， 如果我們用與切矢量 V 相垂直的基矢 S 表示測地偏離矢量， 則兩者——作為矢量場——的對易子 [S, V]=0， 即 (請讀者自行證明)： dS^a/dτ ≡ V^bS^a_;b = V^a_;bS^b (其中 τ 為固有時間)。 這表明， V^a_;b 描述了測地偏離矢量沿測地線的變化。 如果我們把沿測地線束運動的一群粒子看成一種類似于連續(xù)介質的東西， 那么 V^a_;b 描述的就是這一連續(xù)介質的形變。 由于這種形變是純 “空間” 的 (請讀者想一想這是什么含義？ 并且予以證明)， 因此我們可以仿照連續(xù)介質力學的做法， 用前面定義的時空度規(guī)的 “空間部分” h_ab 將這種形變分解為 (請讀者加以驗證)：

其中 θ， σ_ab 及 ω_ab 分別定義為：

這里 V_(a;b) 與 V_[a;b] 分別為 V_a;b 的對稱與反對稱部分。 上面這三項均有明確的物理意義： θ 被稱為膨脹標量 (expansion scalar)， 是 V_a;b 的跡， 描述的是測地線束會聚或發(fā)散的趨勢； σ_ab 被稱為切變張量 (shear tensor)， 是 V_a;b 的無跡對稱部分， 描述的是測地線束的空間截面在體積不變 (由無跡條件所保證) 的情況下產生形變的趨勢； ω_ab 被稱為渦旋張量 (vorticity tensor)， 是 V_a;b 的反對稱部分， 描述的是測地線束在空間截面形狀不變的情況下相互纏繞的趨勢^[注一]。 這其中描述測地線束會聚或發(fā)散的膨脹標量 θ 對于奇點定理的討論有著特別重要的意義， 因此我們將著重對它進行研究。

為了研究 θ， 我們注意到從物理上講， 影響 θ 的因素是時空曲率 (或者說物質分布——兩者通過 Einstein 場方程彼此聯(lián)系)。 因此我們從曲率張量的定義式 V^a_;bc — V^a_;cb = R^a_dbcV^d 出發(fā)^[注二]。 將這一表達式對指標 a 和 b 進行縮并， 與 V^c 取內積， 并利用 V_a;b 的分解式及類時切向量 V 的性質， 便可證明 θ 沿測地線的變化為：

其中 τ 為固有時間。 這個方程被稱為 Raychaudhuri 方程 (Raychaudhuri equation) ^[注三]， 是印度物理學家 Amal Raychaudhuri (1923-2005) 與俄國物理學家 Lev Landau (1908-1968) 彼此獨立地提出的。 Raychaudhuri 方程的提出恰好是在 Einstein 逝世的那一年 (1955 年)， 它與能量條件的結合將成為證明奇點定理的重要環(huán)節(jié)。

三. 測地線束與共軛點

在 Raychaudhuri 方程中， 如果所考慮的測地線束局部正比于某個梯度場， 或者說垂直于某個超曲面， 則稱該線束是超曲面垂直 (hypersurface orthogonal) 的。 可以證明， 對于這樣的測地線束來說， 渦旋張量 ω_ab 為零， 從而 Raychaudhuri 方程可以簡化為：

由于 σ_abσ^ab 總是非負的， 因此從這個方程中我們可以得到：

如果進一步假定強能量條件成立， 即 R_abV^aV^b 處處非負， 則上述不等式可以進一步簡化為：

對這個不等式進行積分可得：

其中 θ₀=θ(τ₀)。 從這個不等式我們可以得到一個重要的推論， 那就是倘若 θ₀<0， 即線束在 τ=τ₀ 時出現(xiàn)會聚效應， 則 θ 會在有限固有時間 τ—τ₀≤3/|θ₀| 內趨于負無窮。 可以證明， 這意味著測地線束在該處會聚為一點， 或者說測地偏離矢量場——也稱為 Jacobi 場 (Jacobi field)——在該處為零。 如果一個從 p 點發(fā)出的非平凡 (即各測地線不處處重合， 或者說 Jacobi 場不處處為零) 的類時測地線束在 q 點會聚， 我們就把 q 和 p 稱為該測地線束上 (即其中每一條測地線上) 的一對共軛點 (conjugate points)。 從上面的分析中我們看到， 如果從 p 點發(fā)出的一個類時測地線束在未來某一點上出現(xiàn)會聚效應 θ<0， 則在該線束上距離 p 有限遠的地方必定存在一個與 p 共軛的點 q——當然， 這里我們要假定該測地線束可以延伸到 q 點。

顯然， 在一個測地完備時空中， “測地線束可以延伸到 q 點” 這一假定是自動滿足的。 因此， 對于測地完備時空來說， 上面這個結果是所有類時測地線都滿足的普遍性質。 進一步的分析表明， 上述結果所要求的條件， 即測地線束在 “某一點上出現(xiàn)會聚效應 θ<0”， 可以轉化為一個有關曲率張量的條件。 事實上， 由 2.3.1 式和 2.3.4 式可以看到， 即便在 σ_abσ^ab 與 R_abV^aV^b 處處為零 (此時 2.3.4 式取等號形式)， 且 θ₀>0 這一對于形成 θ<0 來說最為不利的條件下， θ 仍將在 τ→∞ 時趨于零 (即幾乎就要形成 θ<0 這一結果)。 這使人想到， 上述最為不利的條件只要在某一點上 (從而由連續(xù)性條件可知在該點的一個鄰域內) 被破壞， 比如 R_abV^aV^b>0 在某一點上成立， 就足可造成當 τ 足夠大時 θ<0。 可以證明， 事實的確如此。 因此 “某一點上出現(xiàn)會聚效應 θ<0” 這一條件可以轉化為某一點上 R_abV^aV^b>0。 如果我們進一步把 σ_abσ^ab 所起的作用也考慮進去， 這一條件還可以繼續(xù)減弱， 最終可以得到這樣一個結果： 在一個測地完備的時空中， 如果強能量條件成立， 并且在每條類時測地線上至少有一個點使得 R_abcdV^bV^d≠0， 則所有類時測地線上都存在共軛點對， 簡稱共軛對。

從物理意義上講， 每條類時測地線上至少有一個點使得 R_abcdV^bV^d≠0， 意味著每條類時測地線都至少會在一個時空點上遇到由物質分布或引力波所造成的某種測地偏離效應。 這一條件——稱為類時一般性條件 (timelike generic condition)——在理論上可以被一些非常特殊的情形， 比如曲率張量與測地線切矢量形成特殊分量匹配的情形， 所違反。 但對于具有現(xiàn)實物理意義的情形來說， 由于物質及引力波的分布往往足夠彌散及隨機， 類時一般性條件被認為是得到滿足的。

上面這些結果都是針對類時測地線的。 不過可以證明， 除了一些不影響定性結果的差異 (比如固有時間 τ 變成仿射參數(shù) λ， Raychaudhuri 方程中的數(shù)值因子 1/3 因垂直子空間維數(shù)的改變而變成 1/2， 等) 外， 類光測地線也具有類似性質。 類光測地線所滿足的一般性條件為： 每條類光測地線上至少有一個點使得 k_[eR_a]bc[dk_f]k^bk^c ≠ 0。 這個條件被稱為類光一般性條件 (null generic condition)^[注四]。 類時與類光一般性條件統(tǒng)稱為一般性條件^[注五]。 把類時與類光情形合在一起， 我們前面所介紹的結果可以重新表述為： 在一個測地完備的時空中， 如果強能量條件與一般性條件成立， 則每條非類空測地線上都存在共軛對^[注六]。 這是一個不依賴于對稱性的普遍結果， 它對于奇點定理的證明及確立奇點定理的普適性都有極其重要的作用。

細心的讀者可能還記得， 在上述結果的證明伊始， 我們曾經作過一個假設， 即所考慮的測地線束是超曲面垂直的。 這個假定保證了 ω_ab=0， 從而消除了 Raychaudhuri 方程中與其它各項符號相反——因而會對我們的證明造成極大干擾——的 ω_abω^ab 項 (請讀者想一下， 這一項的符號與其它各項相反的物理意義是什么？)。 那么這個假設具有多大的普遍性呢？ 或者說， 這個假設是否會使上述結果——進而使整個奇點定理的證明——失去應有的普遍性呢？ 答案是否定的， 因為在數(shù)學上可以證明， 經過某一時空點的類時測地線束必定在該點的某個凸鄰域內具有超曲面垂直性， 因此 ω_ab 在該鄰域內必定為零。 不僅如此， 通過一個與 Raychaudhuri 方程類似的描述 ω_ab 沿測地線變化的方程可以證明， ω_ab 沿一條測地線只要在某一點上為零， 就沿該測地線處處為零。 因此， 假定測地線束為超曲面垂直不會有損結果的普遍性。

綜合上述分析， 我們看到， 在一個具有適當物質分布的測地完備時空中共軛點的存在是普遍現(xiàn)象。 假如有一個適當?shù)奈镔|粒子群沿某個非類空測地線束運動， 那么當它們運動到共軛點上時， 由于測地線的會聚， 粒子的數(shù)密度 (以及質量密度) 將趨于發(fā)散， 從而形成一個奇點。 Raychaudhuri 發(fā)表于 1955 年的原始論文就涉及了這樣的情形^[注七]。 不過， 在一般情況下顯然并沒有理由假定存在那樣的物質粒子群， 因此共軛點的存在只是一個抽象的幾何結果， 不會直接導致奇點， 上述結果也不足以作為奇點存在性的證明 (如果一定要算證明的話， 只能算是非常弱的證明， 因為它所要求的條件太過特殊)。 但是， 這一結果為十年后 Penrose 等人的工作奠定了基礎， 是證明奇點定理的第一步。 這一步所側重的是引力理論中的動力學因素， 強能量條件的引進是這種因素的體現(xiàn)。

在 下一節(jié) 中我們將會看到， 當我們把有關測地線的上述結果與看似風馬牛不相及的時空的因果性質結合起來時， 奇點在廣義相對論中的出現(xiàn)就變得幾乎不可避免了。

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注釋

1. 文獻中對這一張量的稱呼很多， 除 “渦旋” 外， 常見的叫法還有 “扭變” (twist) 與 “旋轉” (rotation)。
2. 確切地講， 這是將曲率張量的定義用于測地切矢量場所得到的關系式。
3. 需要提醒讀者注意的是， 這里介紹的只是 Raychaudhuri 方程應用于測地切矢量場的特例， 一般情況下 Raychaudhuri 方程的適用范圍并不限于測地切矢量場。 另外， 對抽象記號感興趣的讀者可以試著將我們所介紹的 Raychaudhuri 方程改寫成一個不變形式： V(trK)+tr(K²)+Ric(V,V)=0， 其中 V 為測地線的切矢量場， K=grad(V)， Ric 表示 Ricci 張量場。
4. 類時一般性條件也可以表示成這一形式， 因此有些文獻對兩類一般性條件統(tǒng)一使用這一形式。
5. 從某種意義上講， 一般性條件也是對物質分布的間接限定。 這種限定不同于我們在 能量條件簡介 的 第二節(jié)中介紹的那些能量條件， 因為平直時空滿足所有那些能量條件， 卻不滿足一般性條件。 有鑒于此， 有些文獻把一般性條件通俗地表述為 “時空中存在物質”。 不過要注意的是： 由于一般性條件涉及的是曲率張量而不是 Ricci 張量， 因此不能被簡單地約化為對物質能量動量張量的直接限制。
6. 在某些文獻中， 強能量條件與一般性條件被合稱為一般能量條件 (generic energy condition)。
7. Raychaudhuri 當時研究的是非旋轉塵埃物質的運動。 在 Raychaudhuri 之前， 奧地利邏輯學家 Kurt G?del (1906-1978) 在 1949 年發(fā)表的有關 G?del 解的著名論文中率先用到了一些在奇點定理的證明中有著重要作用的技巧及思路。 這些工作都是奇點定理的先聲。

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