一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系稱作韋達(dá)定理。韋達(dá)定理在解決與一元二次方程有關(guān)的實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。但在應(yīng)用韋達(dá)定理時，很多同學(xué)往往忽視一個重要制約條件，這就是要先保證該一元二次方程有實(shí)數(shù)根（滿足根的判別式），如果一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則也不存在根與系數(shù)的關(guān)系。因此，我們在應(yīng)用韋達(dá)定理時要牢記判別式條件。

例1　已知x、x是方程2x－2x+1－3m=0的兩個實(shí)數(shù)根，且xx+2（ x+x）＞0，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是          。

解析：⑴方程有兩個實(shí)數(shù)根，則（-2）－4×2（1－3m）≥0，∴m≥

⑵由韋達(dá)定理x+x=1，xx= ，又xx+2（ x+x）＞0

即有+2＞0   ∴m＜       ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是≤m≤

點(diǎn)撥：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提是要保證方程存在實(shí)數(shù)根。

例2　若關(guān)于x的一元二次方程3x+3（a+b）x+4ab=0的兩個實(shí)數(shù)根x、x滿足關(guān)系式x（ x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1），判斷（a+b）≤4是否正確？若正確，請加以證明；若不正確，請舉一反例。

解析：⑴由x（ x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1）， 變形得：

（x+x）－3 xx－1=0   由韋達(dá)定理有x+x=－（a+b），xx=ab

即有（a+b）－4ab－1=0   ∴（a+b）=4ab+1

⑵方程有兩個實(shí)數(shù)根，由根的判別式9（a+b）－48ab≥0，∴（a+b）≥ab

∴4ab+1≥ab，可得4ab≤3     ∴（a+b）=4ab+1≤4。

點(diǎn)撥：由根的判別式作中間條件推導(dǎo)出4ab≤3是本題的解題關(guān)鍵。

例3　設(shè)x、x是方程2x－4mx+2m+3m－2=0的兩個實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時x+x有最小值？并求出這個最小值。

解析：⑴由根的判別式16 m－8（2m+3m－2）≥0，  ∴m≤

⑵由韋達(dá)定理有x+x=2m，xx=

設(shè)y= x+x=（x+x）－2 xx=4 m－（2m+3m－2）

   =2 m－3m+2=2（m－）+

y關(guān)于m的二次函數(shù)對稱軸m=，m≤＜時，y隨m的增大而減小

∴m=時，y有最小值，即x+x有最小值。最小值為：2（－）+=

點(diǎn)撥：由根的判別式確定m的取值范圍，從而正確地確定二次函數(shù)區(qū)間上的最小值。

練習(xí)：

1．若關(guān)于x的方程2x－2x+3m－1=0有兩個實(shí)數(shù)根x、x，且xx＞x+x－4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（    ）。

A．m＞；  B。m≤；  C。m＜； D。＜m≤

2．△ABC的一邊長為5，另兩邊長恰為方程2x－12x+m=0的兩根，則m的取值范圍是          。

（1．參考答案：B；2．點(diǎn)撥：由方程兩根之差小于第三邊，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式可求得＜m≤18）