?概述

數(shù)學中的基本概念，集合論的主要研究對象。一定范圍的、確定的、可區(qū)別的事物，當作一個整體來看待，就叫作集合，簡稱集，其中各事物叫作集合的元素或簡稱元。如①北京、天津、上海三城市；②全體英文大寫字母；③《阿Q正傳》中出現(xiàn)的不同漢字;④全體自然數(shù)；⑤平面上的所有直線,都是集合的例。但池子中的水,古今著名小說就不算集合，因為不滿足確定與可區(qū)別的條件。事物m是集合S的元素有時也說成m屬于S 或S含有m，記為m∈S。如果集合只含有有限個元素，便稱為有窮集合，否則稱為無窮集合。在上面的例中，前三個是有窮集合，后兩個是無窮集合。

按照集合的定義，當一個集合的所有元素都已知時，這個集合就確定了。這時如果它是有窮集，便可將其元素全部列出，置于括弧之內(nèi)來表示(什么順序都無關系)。如①(北京、天津、上海)，②(A,B,C,…,Z)，對于③雖有困難，但原則上還是辦得到的。但是，如果集合是無窮集，那么，上面的方法就行不通了。這時只好利用能夠刻畫所有元素x的某一性質(zhì) P(x)來加以概括。如例 ④中的集合可表示為(x｜x 是自然數(shù))。這種表示也適用于有窮集，如｛北京、天津、上海｝=｛x｜x=北京或x=天津或x =上海｝=｛x｜x為中國現(xiàn)有直轄市｝。一個集合可以沒有任何元素，這種集合只有一個，叫作空集,通常用北歐字母∈集合

來記它。如果集合B的元素都是A的元素,就稱B為A的子集,或A包含B,記為B嶅A 。例如，偶數(shù)全體嶅自然數(shù)全體?？占?span>集合

被看作是任何集合的子集。任一集合A都是它自己的子集,即A嶅A 。A的異于自己的子集 B稱為 A的真子集,記為B嶅集合

A 。兩集合的相等（即含有同樣的元素）可用包含關系來表達:A=B當且僅當 A嶅B且B嶅A 。包含關系還具備傳遞性：即由 A嶅B,B嶅C可得A嶅C。要注意的是,屬于關系∈與包含關系嶅是有區(qū)別的：∈是元素對集合的關系，而嶅是集合對集合的關系?？梢杂?span>集合

集合

，但集合

集合

不成立。

從任意兩個集合A與B可以得到一些新的集合。以屬于A或?qū)儆?strong>B的元素為元素的集合稱為A與B的并(集)，記為A∪B（A與B中的相同元素在并集中出現(xiàn)一次）。以屬于A且屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的交(集)，記為A∩B。以屬于A而不屬于B 的元素為元素的集合稱為A與B的差（集），記為A\B；特別,當B嶅A時,可記為CAB，稱為B關于A的補（集）。例如A=｛0,1,3｝,B=｛0,3,5,10｝，則A∪B＝｛0,1,3,5,10｝,A∩B={0,3},A\B={1}。并與交的運算分別服從交換律，結(jié)合律且共同服從分配律，即對任意的A，B，C，有 A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

它們與差運算一起服從德·摩根定律： S\(A∪B)=(S\A)∩(S\B)，

S\(A∩B)=(S\A)∪(S\B)。

這里S為任一集合，特別當S包含A與B時，有 集合

,

集合

。

一個集合也可以以其他集合為元素。這就是所謂集合的集合，如上面例⑤就是一個集合的集合，如果把直線看做是點的集合的話。一個集合 A的所有子集組成的集合是一個很重要的集合的集合，稱為A的冪集,記為P(A)。例如,當A=｛1,2,3｝時，P(A)={集合

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。集合的集合是所謂集合族的特殊情形。一般而論,如果對于某一集合I(≠集合

)的每一個元素I∈I，都指定有一個確定的集合Ai，那么，這些Ai的全體就稱為一個集合族,記為{Ai,i∈I}。例如,當I=N即自然數(shù)全體時,{Ai,I∈N}就是集合序列：A1,A2,A3,…。集合族的成員一般允許有重復，如果沒有重復時，它就是一個集合的集合。對于集合族{Ai,I∈I},可定義它的并為｛x｜對某I∈I,x∈Ai｝，記為集合

。仿此,可定義它的交為｛x｜對一切I∈I，x∈Ai｝,記為集合

。特別當I=｛1,2,…,n｝時，通常將并寫成集合

,將交寫成集合

；當n=2時，就是上面的A1∪A2和A1∩A2。當I=N時，通常將并寫成集合

，將交寫成集合

。兩個對象α，b按一定次序（譬如α在前,b在后）排列起來,稱為一個序?qū)?，記?lt;α,b>，α稱為它的第一坐標,b稱為第二坐標。兩個序?qū)?lt;α,b>，<α′,b′>當且僅當 α= α′,b=b′即各坐標分別相等時，規(guī)定它們是相等的。因此,除非α=b,<α,b>≠<b, α>。也可直接定義<α,b>為｛｛α｝,｛α,b｝｝,雖不大自然,卻很精確。同樣可定義一般的有序n組。設A，B為兩個集合，從A，B中各取一個元素α，b所作序?qū)?lt;α,b>的全體組成一個集合,即｛<α,b>｜α∈A且b∈B｝,它稱為A與B（按這次序）的直積或笛卡兒積，記為A×B。直積概念也可從兩個因子推廣到n個因子，A1×A2×…×An，記為集合

，特別當各Ai均等于A時，稱為A的n次直冪,記為A，它相當于所有從｛0,1,…,n-1｝到A的映射全體組成的集。推而廣之，所有從B到A的映射全體組成的集可以記為A集合

。