如果不對數(shù)理邏輯深究，僅將集合論作為我們思考代數(shù)、分析方面有效地途徑，那么接下來寫一點(diǎn)對集合論的想法。

函數(shù)的一般概念，即為一個(gè)集（原象）到另一個(gè)集（象）內(nèi)的映射。映射種類很多，如果原象中不同的元素通過某種映射在象中得到與原象中元素個(gè)數(shù)相同的相異新元素，即為一一對應(yīng)的雙射。映射的性質(zhì)包括映射與逆映射作為算子對集合運(yùn)算的分配律。對于集合而言類型就很多。初等集合論討論的問題更像是把集合歸類。作為最簡單的數(shù)集。為了對數(shù)進(jìn)行比較，我們先討論其偏序性，這是集中兩個(gè)元素的二元關(guān)系，滿足自反、傳遞、反對稱性的關(guān)系為偏序，即小于等于關(guān)系的可比較。如果兩邊元素都可比較，即為有序集。兩個(gè)偏序集間的映射為保序映射，如果兩集合元素間還一一對應(yīng)，為同構(gòu)映射，這種映射保留了象的基本特征。如果原象是個(gè)連續(xù)統(tǒng)，則為同胚映射。在這里引入選擇公理，如果偏序集中的任一子集的兩元素可比較，則該子集為鏈。Hausdorff定理表示偏序集中的任何鏈必包含于它的某一極大鏈中。Zermelo的定理相當(dāng)于說，假設(shè)某集的子集是個(gè)類似數(shù)集的指標(biāo)集，如果將集的劃分為僅取一個(gè)元素的可數(shù)集合，則完成了元素的選擇，用來證明有下界的偏序集即良序集。而Hausdorff的將其推廣到了不可數(shù)的集合，因?yàn)殒溒渲杏袀€(gè)勢的概念。對于一般的集合，我們需要將其分類，原則是將具有二元關(guān)系的偶劃分類，元素間為等價(jià)關(guān)系，使得劃分好的元素形成的類僅有重合與不相交的關(guān)系。這樣話，可以將原象集合中的具有等價(jià)關(guān)系的元素形成類，該類中的元素組成子集，把本來繁雜的映射整理后縮減。從點(diǎn)對點(diǎn)的映射上升為同類集間的映射關(guān)系。這其中體現(xiàn)映射過程完全與否的問題，即集的元素個(gè)數(shù)。如果兩集間的元素可以建立一一對應(yīng)關(guān)系（個(gè)數(shù)相等），即兩集合對等。具體地說，Cantor—Bernstein定理表示互為映射成子集的兩集合對等。如果某集對等于自然數(shù)集，則該集可數(shù)，即選擇定理的依據(jù)！無限集對等于其某一非空真子集，所以[0,1]上的所有實(shí)數(shù)可以對等成整個(gè)連續(xù)統(tǒng)。如果兩集合相互對等，則具有相應(yīng)的勢。同構(gòu)即等勢，表現(xiàn)了兩集合間的內(nèi)在聯(lián)系。美麗的映射應(yīng)當(dāng)是具有對稱性的雙射，分類后的對等映射，于是促成了跟簡潔的函數(shù)關(guān)系。

分類是把元素促成集，以集為元素的集合為集族。如果將元素考慮成點(diǎn)，這樣的運(yùn)算始終在一個(gè)集合中完成。而將元素考慮成集之后，可以以一個(gè)集內(nèi)的元素的條件對另一個(gè)集的元素運(yùn)算，得到另外一個(gè)集合。選擇定理就是這種。在測度方面得到了拓廣。如果具有空集滿足交運(yùn)算封閉的集族即構(gòu)成集半環(huán)。如果將單位集分為兩兩不相交的集合類，這種過程為有限分解式。如果集半環(huán)還對對稱差滿足封閉性，即為集環(huán)。如果集族中包含最大集即單位集時(shí)，這樣的集環(huán)稱為集代數(shù)。相當(dāng)于線性代數(shù)里說的滿足線性組合封閉性的方正環(huán)稱為代數(shù)的意思。作為集環(huán)的推廣，當(dāng)集環(huán)包含各集序并時(shí)為σ環(huán)；當(dāng)集環(huán)包含各集序交時(shí)為δ環(huán)。當(dāng)然由于對偶關(guān)系兩者是等價(jià)的。數(shù)學(xué)分析中所說的Borel引理，其實(shí)是有限開覆蓋住一個(gè)在最小σ代數(shù)集。

分析上講的集合論，覺得只要在腦子想象成兩個(gè)集合的映射就夠了，有時(shí)再條件地加上另一個(gè)集合輔助。元素?zé)o論是集合還是個(gè)體，重要的是連續(xù)的，偏序的概念因?yàn)閺男【蜐B透在數(shù)學(xué)中。當(dāng)然，集合論在測度上的意義很大，一直后面作為概率論的奠基?，F(xiàn)在長大了，就該從點(diǎn)問題考慮面問題甚至更高維度的問題。

實(shí)數(shù)集不是良序，因?yàn)閷?shí)數(shù)集的子集{-無窮，0}就沒有最小元。而自然數(shù)集就是一個(gè)良序集，因?yàn)樽匀粩?shù)集有一個(gè)最小元：0。

良序可以將數(shù)學(xué)歸納法擴(kuò)展為“超限歸納法”：先假設(shè)命題對于最小元成立，然后對于按照良序排列的兩個(gè)元素，假設(shè)排在前面的那個(gè)元素所對應(yīng)的命題成立，證明排在后面的那個(gè)元素所對應(yīng)的命題也成立，于是整個(gè)命題對這個(gè)良序集每一個(gè)元素都成立。

*良序公理：任何一個(gè)非空集合上都存在一個(gè)良序。

對此的我的個(gè)人理解：

一個(gè)非空集合我可以任意指定某個(gè)元素為最小元，然后在此基礎(chǔ)上搞出一個(gè)全序。于是這個(gè)全序就必然是良序了。

比如對于整數(shù)集，按照它本身就具有的大小序關(guān)系來說，不是個(gè)良序，因?yàn)檎也坏揭粋€(gè)最小元（-無窮不是最小元）?，F(xiàn)在我規(guī)定0為最小元，規(guī)定序關(guān)系為絕對值的大小關(guān)系，這樣規(guī)定的序關(guān)系中，0的確是最小元。于是這個(gè)序關(guān)系就是個(gè)良序。（注：這個(gè)例子由拉普拉斯（某網(wǎng)友ID）提供，他還提出了一個(gè)等價(jià)公理：編號公理，即任何非空集都可以用自然數(shù)對其元素進(jìn)行編號）。

7、選擇公理

對于一組互不相交的非空集合，總可以在每一個(gè)集合中選取一個(gè)元素組成一個(gè)集合。

這個(gè)公理乍看就是一句廢話，所以才可以成為一個(gè)公理。。?？瓷先ナ菑U話的總是最基礎(chǔ)的。

存在一個(gè)與這個(gè)公理等效的“極大原理”：

若一個(gè)半序集中每一個(gè)全序子集都有上界，那么這個(gè)半序集至少有一個(gè)極大元。

函數(shù)與關(guān)系

上面俺說了一句話：映射是關(guān)系的一種特例，關(guān)系是映射的推廣。這句話之所以成立，是因?yàn)樵蹅冊诙x映射的時(shí)候，規(guī)定了映射必須是“單值”的，即對于定義域中任何一個(gè)元素，其映射過去的值域中的值，必須是單個(gè)的元素，所以映射包含了一對一的，也包含了多對一的，就是不能包含一對多或者多對多的情況。而關(guān)系則沒這個(gè)規(guī)定，所以關(guān)系可以是一對一，一對多，多對一和多對多所有的情況。于是在這個(gè)意義上說，關(guān)系是映射的推廣。

舉一個(gè)關(guān)系的例子：血緣關(guān)系。

設(shè)某個(gè)集合的元素是人的名字，比如是：

A={張三，李四，張小一，張小二，李小一}

首先，來看看AA=A×A（A與A的笛卡爾積）：

A×A=

{(張三，李四),(張三，張小一),(張三，張小二),(張三，李小一),

(李四，張小一),(李四，張小二),(李四，李小一),

(張小一，張小二),(張小一，李小一),

(張小二，李小一)}

然后我們假設(shè)，張小一和張小二是張三的孩子，李小一是李四孩子，張三和李四沒有血緣關(guān)系，張小一、張小二和李小一之間也沒有血緣關(guān)系。把所有有血緣關(guān)系的名字列出來形成一個(gè)配對表的話就是：

(張三，張小一)，(張三，張小二)，(張小一，張小二)，（李四，李小一）

括號內(nèi)的兩個(gè)人名都具有血緣關(guān)系。顯然這個(gè)表就是A×A中的一個(gè)子集。所以說，一個(gè)集合上的某個(gè)關(guān)系，就是這個(gè)集合與本身的笛卡爾積中的一個(gè)子集。最廣泛的那種關(guān)系就是笛卡爾積的全體（就是笛卡爾積本身），而最狹窄的關(guān)系就是一個(gè)配對的都沒有（也就是空集）。

而我們也知道，集合上的映射也是集合與自身的笛卡爾積中的某個(gè)子集，說到底，映射就是一張對應(yīng)表，這張對應(yīng)表是一張更大的表格的一部分，那個(gè)更大的表格就是笛卡爾積。

所以說，映射和關(guān)系在本質(zhì)上是一回事，映射就是“對應(yīng)到單個(gè)的關(guān)系”。

關(guān)于上下界、上下確界、極大小元、最大小元的問題，俺這里舉個(gè)例子：

對于一個(gè)實(shí)數(shù)集R來說，我們可以找到一個(gè)全序關(guān)系，即大小關(guān)系。所有實(shí)數(shù)都可以按照大小關(guān)系來排序。

現(xiàn)在考慮R×R（實(shí)數(shù)集與自身的笛卡爾積）這個(gè)集合，其每一個(gè)元素都是一對實(shí)數(shù)(x1,y1)，這個(gè)形式看上去很像坐標(biāo)，其實(shí)他們就是一回事。那么對于R×R這個(gè)集合中的元素來說，我也可以設(shè)置一個(gè)序關(guān)系。比如設(shè)置為：

設(shè)兩個(gè)元素E1(x1,y1)和E2(x2,y2)，當(dāng)x2>=x1 且 y2>=y1 的時(shí)候，有E2>=E1。

這個(gè)序關(guān)系是半序，不是全序，因?yàn)閷τ?2,1)和(1,2)這兩個(gè)元素，不存在這樣的序關(guān)系。

現(xiàn)在給出一個(gè)R×R的子集S為：{(0,0)，(1,1)，(2,2)，(0,3)}。于是在這個(gè)子集中，(0,0)是最小元，因?yàn)槠渌齻€(gè)元素都滿足x2>=x1和y2>=y1這個(gè)條件。但這個(gè)子集S中沒有最大元，只有兩個(gè)極大元。上下界、上下確界的直觀顯示見下圖：

集論幾何學(xué)定理：一個(gè)球變成兩個(gè)球 

2013-01-31 02:55 488人閱讀 評論(2) 收藏 舉報(bào) 

       初看上去，這個(gè)定理確實(shí)荒唐，一個(gè)球體怎么會變成兩個(gè)球體？這豈不是把一個(gè)西瓜變成了兩個(gè)西瓜？實(shí)際上，這是一條數(shù)學(xué)定理，請不要少見多怪。

           請看下圖所示：

           這條幾何學(xué)定理叫巴拿赫-塔爾斯基（Banach Tarski）定理，是1924年發(fā)表的。Tarski就是無窮小微積分作者J.Keisler的博士論文指導(dǎo)老師。

          該定理是說，可以將一個(gè)剛性球體剖分為許多小塊，使這些小塊在空間中發(fā)生旋轉(zhuǎn)（Rotation）與位移(Translation)，而保持體積、形狀不變，然后可以拼裝出兩個(gè)體積大小完全相同的剛性球。完全類似地，兩個(gè)球變4個(gè)球，......如上圖所示。這豈不怪栽？

           1904年，Ernst Zermelo為證明”良序定理“（Well ordering theorem）把選擇公理引入數(shù)學(xué)。實(shí)際上，良序定理等價(jià)于選擇公理。自然數(shù)就是良集合。由此可見，微積分離不開選擇公理?；仡櫄v史，在1908年，Zermelo首先創(chuàng)立了公理化集合論，直到1922年，經(jīng)過Abraham Fraenkel的補(bǔ)充，形成了公理化集合論的公理系統(tǒng)ZF，后來加入選擇公理，最終成為正式的集合論ZFC公理系統(tǒng)，由此建立起整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大廈。

          實(shí)際上，巴拿赫-塔爾斯基定理是選擇公理的自然推論。也就是說，將剛性球剖分為無數(shù)的碎片，形狀怪異，不可測度，然后，利用選擇公理AC（Axiom of Choice)將其拼裝成兩個(gè)同樣的剛性球。簡單地說，選擇公理保證：在一個(gè)集合族里面，從各個(gè)集合中各選取一個(gè)元素，這些元素可以構(gòu)成一個(gè)新的集合。

         在數(shù)學(xué)上，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)CH，不真也不假，而選擇公理AC，既是真的，又是假的（因?yàn)锳C能夠推出一個(gè)球變成兩個(gè)球的怪論）。有人說，我們放棄選擇公理AC行不行？不行，放棄了選擇公理AC，數(shù)學(xué)將變得更加奇怪。數(shù)學(xué)存在這種毛病，大家見怪不怪也。

          上述巴拿赫-塔爾斯基定理還可以推出更奇怪的結(jié)論：一顆豌豆可以變成碩大無比的太陽?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的這個(gè)毛病，我們不要當(dāng)眾宣傳，免得讓數(shù)學(xué)家們丟面子。在這里，我只是悄悄地說話，而不是大聲地嚷嚷。談到這里，在同學(xué)面前，我有點(diǎn)不好意思了。

          說明：A.Robinson的非標(biāo)準(zhǔn)分析（NSA）就是在ZFC大樹上發(fā)出的新樹枝，J. Keisler的無窮小微積分是更細(xì)小的嫩枝丫。我們想把中國的微積分教育移植到ZFC大道上，溯本清源，使其名正言順。

公理化集合論是對康托爾集合論的繼承與發(fā)展

 集合論的公理系統(tǒng)有許多等價(jià)的表述方式。為簡潔起見，我們采用一階邏輯符號語言來表述，即采用1980年Kunen提出的模式：

     A1外延公理:?x?y?z(z∈x?z∈y)?x=y

         以上就是ZFC公理系統(tǒng)的一階邏輯的表述方式。初看起來，一頭霧水，不知所云。但是，仔細(xì)一想，也不是什么深不可測的事情。A3分離公理，其中φ表示含有變元ω1、ω2、 、ωn的任意公式。A6替代公理，符號“?!y”存在唯一的y。A7無窮公理，其中S（y)= y?{y}，是一種縮寫方式。符號“∧”是邏輯連接詞“and”的意思。

        設(shè)想我們在思考微積分學(xué)問題，嚴(yán)格講來，思考的每一步驟都離不開以上9條ZFC公理，只是我們自己心中不知而已。在此，我們順便舉一例如下：考慮無限命題集合：0<ε<1/1,0<ε<1/2,0<ε<1/3,......,0<ε<1/n,......

     不難看出，對于前n個(gè)命題，存在一個(gè)符號εn，滿足這n個(gè)命題，這個(gè)符號εn只要取值很小即可。根據(jù)哥德爾緊致性定理，將無限命題串

                          0<ε<1/1,0<ε<1/2,0<ε<1/3,......,0<ε<1/n,......

加入ZFC公理系統(tǒng)，也必將有新模型存在。也就是說，存在一個(gè)符號ε滿足0<ε<1/1,0<ε<1/2,0<ε<1/3,......,0<ε<1/n,......

     容易看出，這個(gè)符號ε就是所謂的”無窮小“。A.Robinson的非標(biāo)準(zhǔn)分析就是由此開始的。J.Keisler的無窮小微積分只不過是跟在A.Robinson后面小跑而已。

          總之，ZFC公理化集合論是對50年前康托爾集合論的繼承與發(fā)展。沒有ZFC系統(tǒng)也就不會有非標(biāo)準(zhǔn)分析（NSA）的出現(xiàn)。

          說明：緊致性定理的意思是，命題集S有模型，充分必要條件是，命題集S的任意有限子集合有模型。從緊致性定理出發(fā)，存在無窮小是很自然的事情。

集合論的未來

Saharon Shelah

(譯注:Saharon Shelah（1945——），以色列數(shù)學(xué)家，2001年Wolf數(shù)學(xué)獎得主，1986年伯克利ICM世界數(shù)學(xué)家大會1小時(shí)報(bào)告者，是當(dāng)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)者，這篇文章的原文請見：http://shelah./E16/E16.html)

前提簡介:

Haim Judah請我做關(guān)于集合論的未來的演講，因?yàn)樾碌那з夷昃鸵絹砹?，就講講下一個(gè)千年的集合論吧。但是我們馬上就調(diào)整到講下一個(gè)世紀(jì)的集合論，后來我想我最好講下一個(gè)十年的集合論，但是我懷疑我將會講下一年我想證明的定理和解決的問題，或者更糟糕的會講在過去的一年里或20年里我所做的工作，看來我不是特別適合做這個(gè)演講，因?yàn)槲铱偸窍矚g證明定理而不是做這樣話題的演講或文章，那我為什么要在這個(gè)演講上做一次值得懷疑的努力呢？好，原因在這里：在我有道義上的義務(wù)幫助Haim Judah組織這次會議和會議文集的前提下，在我不能讓朋友失望的前提下，給我一個(gè)選擇：要么安排與會者的宿舍，寫羅嗦的文告，要么做這樣一個(gè)有可能愚弄我自己的關(guān)于集合論的未來的演講，毫無疑問我選擇后者。

Saharon Shelah

耶路撒冷希伯萊大學(xué)數(shù)學(xué)研究所

拉特格斯大學(xué)數(shù)學(xué)系

我們現(xiàn)在討論一些相關(guān)的感興趣的話題，人們對這些話題的觀點(diǎn)是不同的，對于我，下文表中感嘆號!的個(gè)數(shù)代表它推動我的工作的程度

話題 A: 對集合論興趣的來源

1. 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)/對哲學(xué)的應(yīng)用 !

2. 對數(shù)學(xué)的應(yīng)用 !!!

3. 歷史原因 !!!

4. 內(nèi)在的發(fā)展 !!!!

5. 美感 !!!!!!!!!

6. 證明的樂趣 !!!!!

7. 一般化 !!!!!!

8. 游戲娛樂 [加上流行的規(guī)則] !!!

我們也可以用這些話題對當(dāng)前集合論的工作和學(xué)者評價(jià)分類，所以下面我們將重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)它們的差異。在很大程度上我被吸引到數(shù)學(xué)然后是數(shù)理邏輯中來是因?yàn)樗鼈兊囊话慊?，我以為我這種一般化觀點(diǎn)是正確的；看來我似乎錯(cuò)了。我感到例子經(jīng)常會把你搞糊涂：特殊的性質(zhì)只是陷阱因?yàn)樗鼈冊谄胀ǖ那闆r下不成立，注意“一般化”我是指我寧愿以一般的一階完全理論為研究對象，而不是有限Morley秩的單群，但我的信條不是"不要只見樹木，不見森林“，處理每個(gè)問題都要根據(jù)它的特性，找到你自己的領(lǐng)域?qū)ζ渌I(lǐng)域的應(yīng)用意味著展示一些其他人會感興趣的東西；但是給你一個(gè)問題，為什么不做到最好，把它做最大的推廣呢，當(dāng)然，如果定理已經(jīng)被證明，而額外的推廣是平凡的，那也是沒意思的。

從另一個(gè)角度來看，我的很多同行，包括一些集合論領(lǐng)域里最優(yōu)秀的大腦，對他們自己領(lǐng)域的自卑態(tài)度讓我感到吃驚，他們很多在面對數(shù)學(xué)家時(shí)感到自卑，似乎這里有數(shù)學(xué)家，這里有邏輯學(xué)家，它們是不相干的領(lǐng)域，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)家是真正工作在更深，更難，更豐富，更有意義的領(lǐng)域，所以我們數(shù)理邏輯學(xué)家必須通過找到”數(shù)理邏輯“對”數(shù)學(xué)“的應(yīng)用來證明我們的存在。這導(dǎo)致對數(shù)學(xué)的應(yīng)用，邏輯學(xué)家做的大量工作，就像Abraham Robinson學(xué)派所做的那樣。現(xiàn)在我喜歡在很多數(shù)學(xué)領(lǐng)域證明定理，只要我能做到，但是我不喜歡這種數(shù)理邏輯領(lǐng)域里的的卑屈態(tài)度.

很多其他人在發(fā)揮集合論對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和哲學(xué)的作用做了很多工作，對此我也沒有異議，但是有疑意。我的感受和很多作家類似：他們了解批評家對文化生活的作用，但認(rèn)為墨守批評家的思想只會導(dǎo)致枯燥的作品，而這些思想本身會因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)在美永遠(yuǎn)散發(fā)光芒。還有人為集合論”美好舊時(shí)時(shí)光“的失去而抱怨，那時(shí)證明由想法組成而不像現(xiàn)在這樣具有技術(shù)性，大體來說，我不是”美好舊時(shí)時(shí)光“的支持者，因?yàn)槟菚r(shí)忽視你技術(shù)性的能力，而技術(shù)性卻是我的旗幟，很多次技術(shù)不是實(shí)現(xiàn)想法的例行事務(wù)，而是為組織，想法等等證明中的所有環(huán)節(jié)工作。這些技術(shù)是相當(dāng)困難的，往往也包含有重要的新思想。我的感受，用夸張的方式來說，就是集合論的美感是永恒的，而它的哲學(xué)價(jià)值卻受潮流引導(dǎo).并且我感到這些抱怨者的話是相互矛盾的，比如他們有的說數(shù)理邏輯現(xiàn)在比以前更數(shù)學(xué)化了，有的說數(shù)理邏輯處理的事情是有意義的，順便說一下，這些矛盾的觀點(diǎn)在實(shí)踐中卻是不矛盾的，很多人支持當(dāng)中不止一種觀點(diǎn)。

關(guān)于集合論美感，我是指在一個(gè)結(jié)構(gòu)中，定義，定理，證明和諧的占有位置的美感。但是復(fù)雜的證明我也不怕。當(dāng)我是一個(gè)本科生的時(shí)候，在Birkhoff-Maclane的書里，我發(fā)現(xiàn)Galois理論很漂亮，后來我發(fā)現(xiàn)Morley理論和它的證明很漂亮。厭煩的讀者可能會大怒：”美感？你可以在自己的臟亂中找到美感的痕跡？“，我只能說各有各的愛好，我的即是如此。

話題 B: 集合論的框架

這是一個(gè)合理但有交叉的劃分，無論如何，我們都是在ZFC的框架內(nèi)證明定理,從ZFC 框架的支持者的觀點(diǎn)來看，證明定理意味著在ZFC框架內(nèi)證明它，其它的框架是輔助的，對此，我相當(dāng)認(rèn)同。力迫法告訴我們什么時(shí)候不能證明一個(gè)定理，大基數(shù)用來做協(xié)調(diào)性證明，運(yùn)氣好時(shí)大基數(shù)也能排列成線形序比較大小，最后，內(nèi)模型用來表明大基數(shù)是必需的，或者得到更好的等價(jià)性的結(jié)果。我的感受是除了像協(xié)調(diào)性的結(jié)果外，ZFC框架已經(jīng)涵蓋了我們的直覺范圍，所以一個(gè)證明就是指ZFC框架下的一個(gè)證明，這當(dāng)然是一個(gè)認(rèn)為ZFC框架合理的強(qiáng)有力的證據(jù).強(qiáng)化的力迫法本質(zhì)上告訴我們所有的全體集合域都是同樣正當(dāng)?shù)?，因此我們?yīng)該研究有特殊的代表性的全體集合域，比如可構(gòu)成集L就沒有代表性，力迫法表明在ZFC框架下證明定理或假設(shè)廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立就是無所謂的事，這是力迫法很強(qiáng)的結(jié)論，但是我懷疑這種對力迫法的觀點(diǎn)會有人支持。從折衷的觀點(diǎn)看，力迫法框架和ZFC框架是互補(bǔ)的，一種框架給出另一種框架內(nèi)結(jié)果的否定，所以你對一種框架感興趣，你對另一種框架也會感興趣，事實(shí)上，我被迫嚴(yán)肅的處理力迫法是我想證明：在解決阿貝爾群基數(shù)的Whitehead問題中，我用阿列夫1勢集合的每個(gè)穩(wěn)定子集上的diamond定理是正確的，因?yàn)檫B續(xù)統(tǒng)假設(shè)不夠強(qiáng)（從我的感受來說，文[Sh 64]; [BD]中的力迫法太弱了）。

J. Stern 埋怨我，就在他全身心投入到力迫法前的兩年，仔細(xì)向他解釋為什么ZFC框架下的證明是最好的，為什么我喜歡ZFC框架下的證明而不是獨(dú)立性結(jié)果。我仍然認(rèn)為ZFC框架下一個(gè)干脆的答案是最好的，即使一個(gè)證明獨(dú)立性結(jié)果的新技巧可能更有趣。對于我，Cohen的力迫法比連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的一個(gè)證明要有趣得多，因?yàn)镃ohen給了我們一個(gè)一般化的方法——力迫法。

如果你對ZFC框架的興趣是認(rèn)真嚴(yán)肅的，你應(yīng)該把力氣放在下面：

問題：在ZFC框架下給出構(gòu)造性的證明

我們現(xiàn)在知道如果可構(gòu)成公理成立，在ZFC框架下更容易得出構(gòu)造性的證明。這點(diǎn)是不錯(cuò)的，如果你想表明某個(gè)定理不能被證明的話，你只要在某個(gè)全體集合域下證明這一點(diǎn)就可以了。例如在某基數(shù)真類存在的條件下，在文[GuSh 151]中證明線性序的一階理論里可以解釋二階邏輯，現(xiàn)在來看這個(gè)條件的限制是很弱的，把這么弱的限制條件去掉有多大的意義呢？我已經(jīng)在這樣的問題上做了相當(dāng)多的工作，見文[Sh 300, III], [Sh:e] 和 [Sh 284b]。當(dāng)然，在ZFC框架下不能得到構(gòu)造性的證明的話，在某個(gè)全體集合域下得到構(gòu)造性的證明是很有意義的。

早些時(shí)候，尤其是Cohen的工作以前，尤其是當(dāng)沒有廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)我們看來不能得出任何結(jié)論的時(shí)候，我們曾經(jīng)考慮把廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)采納作為一條公理，不是因?yàn)槲覀儗V義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的信心，而是因?yàn)槲覀儗ψC明定理的愿望，我們才做這樣的考慮，現(xiàn)在我認(rèn)為這種考慮沒有那么認(rèn)真了。人們有時(shí)說我們應(yīng)該”相信“或”采納“可構(gòu)成性公理V=L，我個(gè)人的意見是強(qiáng)烈反對這種做法，因?yàn)榭蓸?gòu)成集L是一個(gè)非常細(xì)小不具有代表性的案例，采納它會損失很多有趣的定理，下文我們將會回到這一點(diǎn)，無論如何我都不會認(rèn)為有人會認(rèn)真對待這種做法。不管傳聞如何，Jensen應(yīng)該不會”相信“可構(gòu)成性公理V=L，雖然這確實(shí)是他的工作的個(gè)人優(yōu)勢，他認(rèn)為在可構(gòu)成性公理V=L下的證明顯然比協(xié)調(diào)性的結(jié)果意義更大，對此我同意，但是和馬丁公理MA下的證明比起來呢？和sharp不存在下的證明比起來呢？？和大基數(shù)下的證明比起來呢？？？下面的表會告訴我們一些事情（范圍0－100的數(shù)字是憑我的印象得出的代表的心目中的價(jià)值）

Jensen Magidor 我自己 

協(xié)調(diào)性 40 40 30 

在可構(gòu)成性公理V=L下 65 50 35 

在大基數(shù)下 50 60 40 

在ZFC下 100 100 100

我認(rèn)為對可構(gòu)成集L的研究是ZFC框架下工作的一個(gè)很好的靈感來源，可構(gòu)成集L是一個(gè)處在第二極端位置的個(gè)例，就像diamond定理和square定理的個(gè)例一樣，舉例來說，從廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的個(gè)例可以證明diamond定理，學(xué)習(xí)了Jensen的覆蓋引理后，我想根據(jù)sharp是否存在，通過dichotomy或其他的性質(zhì)證明組合性的定理是件奇妙的事（見下文話題 C），這點(diǎn)在文[Sh 71]有暗示，在文[Sh 111]、[ShSt 419]中實(shí)現(xiàn)，但是迄今為止我的這些工作沒有發(fā)揮特別的影響力，從ZFC框架的角度來看對內(nèi)模型的理論形成了很高的期望，但是我最近了解到，Jensen有更高的期望：找到一些不存在sharp的內(nèi)模型，從這些內(nèi)模型我們可以得到集合論的終極理論，通過兩步可以理解集合論的一切——首先分析內(nèi)模型，然后把真正的集合論簡化到內(nèi)模型，看起來很好，但我不相信這樣行的通。

從大基數(shù)的角度來看，大基數(shù)的存在性的陳述是“半公理”的，大基數(shù)的支持者可能會說：看看累積的層次是怎樣形成的，我們?yōu)槭裁匆诘玫搅怂欣^承有限集后在可數(shù)階段停下來呢？我們也不該停在Zermelo集合論的階段，停在第OMEGA個(gè)基數(shù)的階段，所以我們?yōu)槭裁匆诘谝粋€(gè)不可達(dá)基數(shù)，第一個(gè)馬洛基數(shù)，第一個(gè)弱緊致基數(shù)，第一個(gè)可測基數(shù)的地方停下來？我們?nèi)栽诶^續(xù)尋找正確的公理，它們對集合甚至實(shí)數(shù)有很深的影響，這些公理是讓人迷惑的，至少這些半公理是這樣。

一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，這些大基數(shù)公理，比如那些自然出現(xiàn)的，是線性排序的，這證明它們是自然的，雖然我們從各種組合變形法則，從各種簡單陳述的協(xié)調(diào)性得到這些大基數(shù)公理，但從某種范圍看來所有這些自然的法則和陳述和一些大基數(shù)是等價(jià)協(xié)調(diào)的的，所有這些證明了它們的自然性。這樣就提出了一個(gè)問題：

問題：是否有定理可以解釋我們想象的這些性質(zhì)是比我們已經(jīng)理解的性質(zhì)更加一致？

直覺告訴我，除了一些人造的全體集合域外，冪集公理和置換公理像選擇公理一樣是成立的，然而直覺卻沒有告訴我多少關(guān)于不可達(dá)基數(shù)存在性的信息，根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)很好但沒有集合論背景的人非正式的提到ZFC框架的時(shí)候是接受這個(gè)框架的。包括選擇公理，但不包括大基數(shù)。你可以用從一些復(fù)雜的域到它自身映射的函數(shù)的集合組成的類，承認(rèn)笛卡兒集的非空性，沒有人會注意這些，沒有人會為一個(gè)可數(shù)迭代形成冪集的算子感到不安，因此大基數(shù)的存在性是一個(gè)很自然也很有趣的陳述，并且大基數(shù)上的定理作為推論也很引人注目，雖然定理本身并不如此，所以我對用比ZFC框架更少的條件證明大基數(shù)上的理不那么感興趣。對于我上面的意見足以使我把大基數(shù)放在比內(nèi)模型更高的位置，完全認(rèn)可大基數(shù)在協(xié)調(diào)性證明中的作用，并且把大基數(shù)和決定性公理AD周圍的觀點(diǎn)陳述做比較，比如：從“ZFC+超緊致基數(shù)”的協(xié)調(diào)性得到的協(xié)調(diào)性證明，怎么把條件的協(xié)調(diào)性小心的弱化，而結(jié)果卻沒有實(shí)質(zhì)性的變化？我認(rèn)為這是可行的。比如，從”ZF+依賴選擇公理+決定性公理+正則性“開始怎樣？不，對于我它只是一個(gè)推論，而Woodin或多或少持有和我相反的觀點(diǎn)。既然我自己的直覺沒有超出ZFC框架或ZFC＋大基數(shù)協(xié)調(diào)性框架，我認(rèn)為這些定理都是大基數(shù)非常有趣的推論。

可能下文的類比可以解釋我的觀點(diǎn)，我們用標(biāo)準(zhǔn)的美國公民做類比，因?yàn)榇蠹叶际煜?，因此一個(gè)典型的集合論全體集合域和典型的美國人約翰史密斯先生對應(yīng)，我的典型的全體集合域是很有趣的，它有廣泛的區(qū)間在它里面廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立，但其他的定理卻嚴(yán)重沖突，例子很多，比如——很多基數(shù)的Souslin樹是存在的，很多基數(shù)上的每個(gè)Aronszajn樹是special的，很多可測基數(shù)和一個(gè)邊緣個(gè)例的非超緊致的巨基數(shù)是存在的，這些定理和約翰史密斯先生的事一樣合理：在紐約北部長大，在加利福利亞接收高等教育，在大學(xué)的第三年肆業(yè)，住在中西部的郊區(qū)，大部分英國撒克遜血統(tǒng)，兼有少些愛爾蘭、意大利、西班牙、黑人血統(tǒng)，和妻子分居有2.4個(gè)小孩。“得了，你怎么能沒有連續(xù)統(tǒng)假設(shè)？你不能有的地方說對有的地方又說錯(cuò)！”，是的，但是約翰史密斯先生也不能有2.4個(gè)小孩，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和2.4個(gè)小孩一樣不自然。虛構(gòu)的美國標(biāo)準(zhǔn)公民約翰史密斯的情況和典型的全體集合域是很匹配的。受到這種類比的啟發(fā)，可構(gòu)成集L像是3K黨章程某個(gè)章節(jié)的標(biāo)題——一個(gè)值得研究的個(gè)例，但是可能不具有代表性。你也許會問：”這是否意味著你是個(gè)形式主義者而不是以前暗示的那樣是個(gè)理想主義者？“，不，我是一個(gè)集合世界里的虔誠的理想主義者，但是我不能放棄對獨(dú)立性現(xiàn)象的研究。

對于決定性公理，我們在下文話題C討論：

話題 C

1. 組合的, 語義的 !!!!! 

2. 語法的 !

在我看來，對n階存在量詞定義的實(shí)數(shù)集非常感興趣的決定性公理學(xué)派完全站在語法這一面，根據(jù)洛杉磯學(xué)派（譯注：加州大學(xué)洛杉磯分校UCLA,加州理工學(xué)院CALTECH一批活躍的集合論學(xué)家，有Martin,Kechris等人），決定性公理加上依賴選擇公理在實(shí)數(shù)集的可構(gòu)成集合里確實(shí)是正確的，當(dāng)真實(shí)的全體集合域用符合直覺的方式滿足這條解決所有大問題的漂亮的公理的時(shí)候，我們?yōu)槭裁催€要在如此弱的ZFC框架下證明定理呢？好，我不是對問題的語法方面感興趣，但是嚴(yán)肅的來說，我同意決定性公理是一條漂亮的公理，在力迫法中有一席之地，并且從大基數(shù)可以推出它在”測度為正“的全體集合域集合上成立，但也僅此而已。

問題：是否有有趣的適合描述集合論的全體集合域？

我認(rèn)為可構(gòu)成集L是一個(gè)，K也是一個(gè)，但是洛杉磯學(xué)派認(rèn)為這些答案是錯(cuò)的，沒有管它們，當(dāng)然，爭論不會平息，但是給出這個(gè)問題具體的帶有啟發(fā)性的答案卻是有趣且可行的。自然我會去考慮其他回答這個(gè)問題的全體集合域。注意，精細(xì)結(jié)構(gòu)（fine structure）也是語法的，它的不少推論卻不是語法的，因此：

問題：在應(yīng)用中需要多大的語法成分？比如可構(gòu)成集L中的組合性質(zhì)需要精細(xì)結(jié)構(gòu)嗎？

對Jensen而言，精細(xì)結(jié)構(gòu)是主要要點(diǎn)，diamond定理和square定理只是副產(chǎn)品，也許精細(xì)結(jié)構(gòu)最容易向忽視它的人證明它的價(jià)值。就我個(gè)人而言，我寧愿不用精細(xì)結(jié)構(gòu)去得到精細(xì)結(jié)構(gòu)的這些推論，但不是喜歡去找另外的所謂純粹證明。問題是，當(dāng)我們想走得更遠(yuǎn)，哪一條道路是更好的？當(dāng)然，對于語法性的陳述，你需要精細(xì)結(jié)構(gòu)。

問題：這些組合性質(zhì)是否是徹底的？比如，足以得出可構(gòu)成集L里的組合性推論。

當(dāng)然不是，在這個(gè)方向仍然可能會有正面的結(jié)果。

問題：真理會處在下面兩個(gè)極端情況之間的什么位置？

1.可構(gòu)成集L中的每個(gè)組合性的陳述都是可判定的。

2.我們應(yīng)該有一種類似力迫法的技術(shù)，在ZFC＋可構(gòu)成公理框架下或皮亞諾算術(shù)等框架下，來得到像孿生素?cái)?shù)猜想之類問題的獨(dú)立性的結(jié)果。

這兩種情況我都很喜歡，但我這方面知識卻不多，組合意味的不是語法而是語義，組合會令協(xié)調(diào)性的強(qiáng)度減弱，即使它的變形版本也是如此。

話題 D：感興趣的集合論對象

我對自然數(shù)也有理想化的強(qiáng)烈興趣，但不是作為一個(gè)集合論學(xué)家。我將在話題D.2(實(shí)數(shù))討論關(guān)于射影集的問題，在話題D.3(實(shí)數(shù)集)討論關(guān)于連續(xù)統(tǒng)基數(shù)不變量的問題，在話題D.4(特殊集合)討論關(guān)于匈牙利學(xué)派一般劃分關(guān)系和基數(shù)算術(shù)法則，在話題D.5(大基數(shù))討論大基數(shù)的劃分關(guān)系，對于模型論，我將在話題D.1(自然數(shù))討論一些邏輯結(jié)構(gòu)上的句子上的0-1律，在話題D.3(實(shí)數(shù)集)討論有理數(shù)可構(gòu)成集等的阿列夫1勢模型的研究，在話題D.4(特殊集合)討論模型分類理論，在話題D.5(大基數(shù))討論某些框架下的語句的Los問題，在話題D.2(實(shí)數(shù))討論波萊爾線性序和波萊爾點(diǎn)。如果你和我一樣對這次會議的主題實(shí)數(shù)集非常感興趣，那么下面的問題是核心的：

問題：如果連續(xù)統(tǒng)的勢等于阿列夫3會得到什么結(jié)果？大于等于阿列夫3會得到什么結(jié)果？

根據(jù)有限支持迭代，所有大于阿列夫1的正則基數(shù)都是相同的大小。而可數(shù)支持迭代只對連續(xù)統(tǒng)勢小于等于阿列夫2的情況有用，根據(jù)我們這方面的工作，真力迫(proper forcing)的保持性（見[Sh:b, III]）和其他的性質(zhì)（見[Sh:b, VI]）會加深連續(xù)統(tǒng)勢等于阿列夫2的個(gè)例的多樣性，我們有連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的很多推論、從連續(xù)統(tǒng)勢小于等于阿列夫2證明獨(dú)立性結(jié)果的合理方法、還有不少的定理，但是對于連續(xù)統(tǒng)勢等于阿列夫3我們還知之甚少，更確切的說，可數(shù)鏈條件力迫的有限支持迭代告訴了我們很多連續(xù)統(tǒng)勢的信息，但連續(xù)統(tǒng)勢等于阿列夫1和阿列夫2情況下的有利結(jié)果令我們不思進(jìn)取。

L. Harrington曾經(jīng)在多年以前問我：你知道了所有那些獨(dú)立性結(jié)果有什么好處呢？我的答案是：挑選可能存在的定理——當(dāng)把所有不成立的關(guān)系扔掉后，你就沒有多少相互獨(dú)立的問題了，垃圾被扔掉了，剩下的當(dāng)中你可以找到金子，這是一個(gè)獨(dú)立性結(jié)果很重大的意義。這在一個(gè)精彩的領(lǐng)域：基數(shù)算術(shù)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)，而在Cohen 和 Easton的工作以前，誰會考慮第OMEGA1個(gè)基數(shù)的冪的勢是多少？現(xiàn)在考慮連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)不變量的問題， ZFC框架內(nèi)可以證明這些不變量之間可能存在關(guān)系，當(dāng)連續(xù)統(tǒng)的勢極端時(shí)這些關(guān)系變得平凡，就像一個(gè)量總等于其它的兩個(gè)量中的一個(gè)一樣，而處理這些關(guān)系，當(dāng)前的獨(dú)立性結(jié)果方法太弱。

如果你對D.4特殊集合感興趣，那么下面的問題看來是重要的：

問題：基數(shù)算術(shù)的法則是什么？

目前我對這個(gè)問題相當(dāng)投入（見專著[Sh:g]），所以我目前的看法可能沒有平常的時(shí)候那么客觀，但這個(gè)方向是集合論傳統(tǒng)的中心課題。策梅洛的良序公理是說每個(gè)基數(shù)是一個(gè)阿列夫，哥德爾的可構(gòu)成集L表明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)可以成立，Cohen發(fā)現(xiàn)的力迫法表明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)也可以不成立，Jensen的覆蓋引理用來回答單基數(shù)問題。

注意有時(shí)觀點(diǎn)不同的各方只是莫比烏斯帶的兩面：也就是我們沒有理解不同的觀點(diǎn)只是表達(dá)同樣的事物的不同途徑。比如專著[Sh:g]表明從連續(xù)統(tǒng)的勢下面看事情并不會使基數(shù)算術(shù)多余而削弱基數(shù)算術(shù)的影響力。相反的，甚至在布爾代數(shù)領(lǐng)域的人和非連通緊致拓?fù)淇臻g拓?fù)漕I(lǐng)域的人還有這種不同的觀點(diǎn)：你是作為一個(gè)布爾代數(shù)學(xué)家對自由集感興趣還是作為一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)家對獨(dú)立集感興趣？

未來——讀者可能會提醒我——集合論的未來會是什么呢？我生性樂觀，證明定理在我看來是相當(dāng)?shù)臐M足，所以我一點(diǎn)也不對集合論的未來感到悲觀?；厥走@過去的100年，集合論古老的問題總是被深邃的答案所闡明，間歇的黑暗總是被新思想的出現(xiàn)所征服，集合論的一些方向需要大量的背景知識，而另外的方向需要的就很少，集合論這門古老的學(xué)科風(fēng)采依舊。

讓我們重新思考這篇演講的目的，首先，不想被批評為”個(gè)人偏見“，”意識形態(tài)偏見“，”斯大林主義“，”王婆賣瓜自賣自夸“，我聲明這里給出的只是我個(gè)人觀點(diǎn)。我可能是愚蠢的，但是要證明我是錯(cuò)的也不容易，無論如何我有20世紀(jì)的歷史趨勢支持我，這些觀點(diǎn)已經(jīng)存在了，不是我的原創(chuàng)，事實(shí)上我假定認(rèn)為每個(gè)人想的和我是一樣的，一些事表明我在這里表達(dá)的觀點(diǎn)得到了不少的贊同，他們不會去把這些觀點(diǎn)寫下來，所以在集合論的文化里是沒有他們的聲音的，比如，在我的口頭演講后，Gitik說他的觀點(diǎn)和我是一樣的，除了他還要再想想約翰史密斯先生的類比外。

第二，我的這些觀點(diǎn)本身實(shí)際上是對我所了解的數(shù)理邏輯來說的，我遞歸論的知識不多，證明論的知識更少，所以我談的這些觀點(diǎn)更多是針對模型論和集合論而言的。

第三，既然你心里已經(jīng)知道什么是重要的，什么是好的數(shù)學(xué)品味這些了，那你為什么要讀我這篇演講？一個(gè)可能的答案就是：你對我為什么要做這個(gè)問題，我的觀點(diǎn)是什么，還有我和我的同行的一些事感興趣。

一個(gè)職業(yè)的哲學(xué)家會說把一致放在優(yōu)先的位置，但是理論和實(shí)踐總是有距離，大家都不清楚一致怎樣和數(shù)學(xué)家的工作聯(lián)系起來，洛克的書不是邱吉爾放棄詹姆斯二世的最好解釋，同樣盧梭的書也不是羅伯斯庇爾把丹東送上斷頭臺的原因。因此讀者可能會問，一致怎樣和作者自己的工作聯(lián)系起來呢？我認(rèn)為答案就是歷史原因，因?yàn)槲覀円幸恍┛陀^的衡量標(biāo)準(zhǔn)，我認(rèn)為好的問題對于數(shù)學(xué)的發(fā)展通常是至關(guān)重要的。很大程度上新一代數(shù)學(xué)家的職責(zé)就是解決前輩們的問題?；叵氘?dāng)年我是在努力解決Keisler 和 Morley的問題時(shí)發(fā)展模型分類理論的，問題是首先啟動我的研究的，在很長的時(shí)間里我對某種飽和模型的結(jié)構(gòu)/非結(jié)構(gòu)定理不滿意，因?yàn)樗幚砦乙氲囊活惤Y(jié)構(gòu)，看來像行騙，引入一類結(jié)構(gòu)然后解決這類結(jié)構(gòu)里的問題，這也是我為什么要為持懷疑態(tài)度的Thomas寫專著[Sh:c]第14章的原因。雖然我一直認(rèn)為主縫隙定理（the main gap theorem）是主要要點(diǎn)，但我想我也應(yīng)該解決Morley猜想，因?yàn)橹骺p隙是我自己的猜想，我不想最后我像一個(gè)國王，首先把劍射出去，然后以劍射中的地方為靶心。盡管如此，主縫隙定理仍是我的專著[Sh:c]的主定理。

我懷疑我有強(qiáng)調(diào)集合論游戲和競爭價(jià)值的壞名聲，我不是指以練習(xí)為目的的游戲，事實(shí)上，我對為了練習(xí)忽視已經(jīng)存在的證明，而去證明已經(jīng)證明了的定理是不以為然的。因?yàn)槲蚁矚g搞數(shù)學(xué)，所以我認(rèn)為解決一個(gè)問題比爭論它可能的意義更愉快?？仗摳惺刮覙芬饨鉀Q僅僅是別人認(rèn)為困難或重要的問題，即使我知道沒人會注意我這方面的工作，甚至在某些方面對我有害，我一般也不會拒絕這種誘惑，比如，``Solovay不可達(dá)性”的工作的開始完全是游戲：我很少聽說過它，然后在1978年1月，在伯克利，Harvey Friedman告訴我：“你如果解決了它，你得到的回報(bào)不會讓你失望”，Harvey Friedman的猜測是正確的，說老實(shí)話我那時(shí)對隨機(jī)實(shí)數(shù)一無所知。Harvey Friedman向我保證說它帶有Baire性質(zhì)的版本和它是一樣的，通過仔細(xì)研讀會發(fā)現(xiàn)這也是對的，這就是要我在不帶選擇公理的全體集合域和3階存在量詞定義的實(shí)數(shù)集中作出研究對象的選擇，我選擇了后者。這個(gè)問題我做了幾次直到它的解決。這項(xiàng)工作改善了我對描述集合論的理解，我的關(guān)于等價(jià)類的個(gè)數(shù)的工作(見文[HrSh 152], [Sh 202],)，和我的關(guān)于“如果大基數(shù)存在，那么每個(gè)集合都是勒貝格可測”（見文[ShWd 241]）的工作也是如此，雖然在某種程度上這些帶有騙局色彩：這些工作是在力迫法或者模型論的框架下而不是真正的描述集合論的框架下。根據(jù)行勝于言的格言，帶著好奇心我看了Fuchs關(guān)于阿貝爾群的書，我這樣做不僅是因?yàn)榘⒇悹柸翰恍枰芏啾尘爸R，看起來像有趣的數(shù)學(xué)，也是因?yàn)槲蚁胝业侥Ｐ头诸惱碚摰膽?yīng)用。而當(dāng)應(yīng)用找到的時(shí)候，大部分卻是集合論的應(yīng)用，這鞏固了我如下的信念：

通常你應(yīng)該從問題開始而不是從方法開始。

要是我的學(xué)生Mati Rubin沒有放棄他，通過特殊個(gè)例布爾代數(shù)上的工作的解釋能力，來對一階理論飽和模型的自同構(gòu)群分類的任務(wù)，我就不會被牽引到文[RuSh 84]中的工作和對布爾代數(shù)的自同構(gòu)的量詞的長期的研究。沒有Cherlin,可數(shù)模型的非同構(gòu)超集就不會被我發(fā)現(xiàn)（見文[Sh 326] 和文[Sh 405]），F(xiàn)uchs的書和很多優(yōu)秀友好的阿貝爾群專家鼓勵(lì)我寫了很多關(guān)于阿貝爾群的文章，Haim Judah引導(dǎo)我做了很多關(guān)于實(shí)數(shù)的工作，與此相反的是如果Yuri Gurevich沒有離開Beer-Sheva，沒有離開數(shù)學(xué)，我們可能又有關(guān)于一元邏輯和分叉理論另外的一兩卷書。關(guān)于集合論游戲，我還有些要說，請不要嘲笑我，我有一點(diǎn)“鄰居的草坪更綠”似的綜合癥，憑感覺你“知道”鄰居的草坪更綠，我知道你不知道，對此我寧愿去弄個(gè)究竟，一些自大的鄰居也強(qiáng)化了我的愿望，舉例來說因此我也帶著好奇心在描述集合論領(lǐng)域里一展身手，讀者也許會問：我有多喜歡鄰居的草坪呢？通常鄰居的草坪不僅很綠，而且有趣，但也僅此而已。

你有新的觀點(diǎn)對你的舊問題當(dāng)然有好處，一個(gè)側(cè)面的問題會推動你認(rèn)為重要的問題的例子就是：一個(gè)關(guān)于布爾代數(shù)的基數(shù)不變量的問題啟動了我目前關(guān)于基數(shù)算術(shù)的系列工作(見文[Sh 345].)

從我關(guān)于Morley猜想的工作開始，只要我感到課題本身重要或喜歡這些課題，我就會多年專注于這些課題而很少旁騖。事實(shí)上我的大部分時(shí)間都花在這樣的課題上，結(jié)果往往是一本專著，因此我的專著是和我的計(jì)劃對應(yīng)起來的，不是隨意證明一些定理的偶然性。對于模型分類理論，專著[Sh:a]和專著[Sh:c]在我看來是徹底的，從一般化的程度和遵循ZFC框架來說，都是如此。在專著[Sh:b]中，一般化的程度是可以的，但是它是不在ZFC框架下，上文我們已經(jīng)解釋了原因。專著[Sh:g]在遵循ZFC框架方面是做得很好的，但是它的一般化不夠。也許隨著年齡的增長，我的數(shù)學(xué)能力會退化，而這看來是相當(dāng)正常的。

曾經(jīng)有人告訴我太多的工作必然導(dǎo)致糟糕的數(shù)學(xué)品味，但是我從來不給一個(gè)定理一個(gè)負(fù)面的評價(jià)。此外我不介意某些工作是否適合我因?yàn)樗肋h(yuǎn)都會適合我的觀點(diǎn)，因?yàn)槲因\的認(rèn)為：

論點(diǎn)：永遠(yuǎn)不要讓意識形態(tài)或者所謂的品味阻止你證明一個(gè)好的定理。

因?yàn)橐粋€(gè)定理的美感不是由所有以前對它的了解來定義的，它更像是藝術(shù)品的美感一樣，也就是雖然我們目前的知識可以啟發(fā)我們?yōu)槭裁次覀兿矚g它，為什么它重要等等，但是我們對美感沒有一個(gè)精確的定義。蒙娜麗莎是一件偉大的藝術(shù)品，但從未被證明是如此，不同時(shí)代的評論家對它有不同的觀點(diǎn)，但是至今我們?nèi)匀恍蕾p它。

參考文獻(xiàn)

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