本文介紹兩個(gè)結(jié)構(gòu)相似的積分不等式：維爾丁格(Wirtinger)不等式和龐加萊(Poincaré)不等式。

維爾丁格不等式

設(shè)函數(shù)f(x)在[-π,π]上連續(xù)可微，f(-π)=f(π)，且

則

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=a·cos(x)+b·sin(x)時(shí)等號成立，其中a和b為任意常數(shù)。

龐加萊不等式

設(shè)函數(shù)f(x)在[0,π]上連續(xù)可微，f(0)=f(π)，則

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c·sin(x)時(shí)等號成立，其中c為任意常數(shù)。

以上兩個(gè)不等式都可以用傅里葉級數(shù)(傅里葉級數(shù)；傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式)和帕塞瓦爾恒等式(從勾股定理到帕塞瓦爾(Parseval)等式)證明。