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龐加萊 李醒民 (中國科學院科技政策與管理科學研究所) 龐加萊，J． H．(Poincaré， Jules Henri)1854年4月29日生于法國南錫；1912年7月17日卒于巴黎．數(shù)學、物理學、天體力學、科學哲學． 龐加萊的父親萊昂(Léon，Poincaré)是一位第一流的生理學家兼醫(yī)生、南錫醫(yī)科大學教授，母親是一位善良、聰明的女性．龐加萊的叔父安托萬(Antoine，Poincaré)曾任國家道路橋梁部的檢查官．龐加萊的堂弟雷蒙(Raymond，Poincaré)曾于1911年、1922年、1928年幾度組閣，出任總理兼外交部長．1913年1月至1920年初，擔任法蘭西第三共和國第九屆總統(tǒng)． 龐加萊的童年是不幸的，也未表現(xiàn)出什么超人的天才．在幼兒時，他的運動神經(jīng)共濟官能就缺乏協(xié)調(diào)，寫字畫畫都不好看．5歲時，白喉病把他折磨了9個月，從此就留下了喉頭麻痹癥．疾病使他長時期身體虛弱，缺乏自信．他無法和小伙伴作劇烈的游戲，只好另找樂趣，這就是讀書．在這個廣闊的天地里，他的天資通過家庭教育和自我鍛煉逐漸顯露出來．讀書增強了他的空間記憶(視覺記憶)和時間記憶能力．他視力不好，上課看不清老師在黑板上寫的東西，只好全憑耳朵聽，這反倒增強了他的聽覺記憶能力．這種“內(nèi)在的眼睛”大大有益于他后來的工作，他能夠在頭腦中完成復雜的數(shù)學運算，他能夠迅速寫出一篇論文而無需大改． 15歲前后，奇妙的數(shù)學緊緊地扣住了龐加萊的心弦，他曾在沒有記一頁課堂筆記的情況下贏得了一次數(shù)學大獎．1873年底，龐加萊進入綜合工科學校深造．1875年，他到國立高等礦業(yè)學校學習，打算做一名工程師，但一有閑空就鉆研數(shù)學，并在微分方程一般解的問題上初露鋒芒．1878年，他向法國科學院提交了關于這個課題的“異乎尋?！钡恼撐?，并于翌年8月1日得到數(shù)學博士學位．由于工程師的職業(yè)與他的志趣不相投，他又想做一個職業(yè)數(shù)學家．在得到博士學位后不久(1879年12月1日)，他應聘到卡昂大學作數(shù)學分析教師．兩年后，他提升為巴黎大學教授，講授力學和實驗物理學等課程．除了在歐洲參加學術(shù)會議和1904年應邀到美國圣路易斯科學和技藝博覽會講演外，龐加萊一生的其余時間都是在巴黎度過的． 龐加萊的寫作時期開始于1878年，直至他1912年逝世——這正是他創(chuàng)造力的極盛時期．在不長的34年科學生涯中，他發(fā)表了將近500篇科學論文和30本科學專著，這些論著囊括了數(shù)學、物理學、天文學的許多分支，這還沒有把他的科學哲學經(jīng)典名著和科普作品計算在內(nèi)．由于他的杰出貢獻，他贏得了法國政府所能給予的一切榮譽，也受到英國、俄國、瑞典、匈牙利等國政府的獎賞．早在33歲那年，他就被選為法國科學院院士，1906年當選為院長；1908年，他被選為法蘭西學院院士，這是法國科學家所能得到的最高榮譽． 龐加萊被認為是19世紀最后四分之一和本世紀初期的數(shù)學界的領袖人物，是對數(shù)學和它的應用具有全面了解、能夠雄觀全局的最后一位大師．他的研究和貢獻涉及數(shù)學的各個分支，例如函數(shù)論、代數(shù)拓撲學、阿貝爾函數(shù)和代數(shù)幾何學、數(shù)論、代數(shù)學、微分方程、數(shù)學基礎、非歐幾何、漸近級數(shù)、概率論等，當代數(shù)學不少研究課題都溯源于他的工作． 1．函數(shù)論．如果說18世紀是微分學的世紀，那么19世紀則是函數(shù)論的世紀．龐加萊是因發(fā)明自守函數(shù)而使函數(shù)論的世紀大放異彩的，他本人也因此在數(shù)學界嶄露頭角． 所謂自守函數(shù)，就是在某些變換群的變換下保持不變的函數(shù)．自守函數(shù)是圓函數(shù)、雙曲函數(shù)、橢圓函數(shù)以及初等分析中其他函數(shù)的推廣，它不僅對其他各種應用是重要的，而且在微分方程理論中也扮演著主要的角色． 自守函數(shù)的名稱今天已用于包括那些在變換群z′=(az+ b)/(cz+d)或這個群的某些子群作用下的不變函數(shù)，其中a，b， c，d可以是實數(shù)或復數(shù)，而且ad-bc=1．此外，在復平面的任何有限部分上，這個群完全是不連續(xù)的．更一般的自守函數(shù)則是為研究二階線性微分方 1880年以前，F(xiàn)．克萊因(Klein)在自守函數(shù)方面作了一些基本的工作，后來他在1881年至1882年與龐加萊合作．龐加萊在受到I．L．富克斯(Fuchs)有關工作的吸引而注意到這件事后，對這個課題已作了先行的工作．他以橢圓函數(shù)理論為指導，發(fā)明了一類新的自守函數(shù)，即他所謂的富克斯函數(shù)，這是比橢圓函數(shù)更為普遍的一類自守函數(shù)．后來，龐加萊把分式變換群擴充到復系數(shù)的情況，并考慮了這種群的幾種類型，他把這種群叫克萊因群．對這些克萊因群，龐加萊得到了新的自守函數(shù)，即在克萊因群變換下不變的函數(shù)，龐加萊把它叫做克萊因函數(shù)．這些函數(shù)有類似于富克斯型函數(shù)的性質(zhì)，但基本域比圓要復雜．此后，龐加萊指出如何借助于克萊因函數(shù)表示僅有正則奇點的代數(shù)系數(shù)的n階線性方程的積分．這樣，整個這類線性微分方程都可以用龐加萊的這些新的超越函數(shù)來解了． 自守函數(shù)理論只是龐加萊對于解析函數(shù)論的許多貢獻之一，他的每項貢獻都是拓廣的理論的出發(fā)點．他在 1883年的一篇短文中首先研究整函數(shù)的格與其泰勒展開的系數(shù)或者函數(shù)的絕對值的增長率之間的關系，它與皮卡(E．Picard)定理結(jié)合在一起，通過J．阿達瑪(Hadamard)和 E．波萊爾(Borel)的結(jié)果，導致了整函數(shù)和亞純函數(shù)的龐大理論，這個理論在80年之后仍然尚未研究完． 自守函數(shù)提供了具有某種奇點的解析函數(shù)的頭一批例子，它們的奇點構(gòu)成非稠密的完備集或奇點的曲線．龐加萊給出另外一個一般方法構(gòu)成這種類似的函數(shù)，即通過有理函數(shù)的級數(shù)，這導致后來被波萊爾和A．當儒瓦(Denjoy)所提出的單演函數(shù)理論．代數(shù)曲線的參考化定理也是自守函數(shù)論的一個結(jié)果，它促使龐加萊在1883年導出一般的“單值化定理”，這等價于存在由任意連通、非緊致黎曼面到復平面或開圓盤的共形映射． 尤其是，龐加萊是多復變解析函數(shù)的創(chuàng)始人，這理論在他之前實際并不存在．他得到的第一個結(jié)果是這樣的定理：兩個復變量的亞純函數(shù)F是兩個整函數(shù)的商．在1898年，他針對“多重調(diào)和函數(shù)”對于任意多復變函數(shù)進行了深入的研究，并在阿貝爾函數(shù)論中加以應用．他還在1907年指出了全新的問題，導出兩個復變函數(shù)的“共形映射”概念的推廣，這就是現(xiàn)在眾所周知的、給人以深刻印象的解析流形的萌芽．龐加萊也對多復變函數(shù)的重積分的“殘數(shù)”概念給出滿意的推廣，這是在其他數(shù)學家早期對這個問題作了多次嘗試而揭示出嚴重困難之后進行的．多年后，他的思想在J．勒雷(Leray)的工作中產(chǎn)生了完滿的結(jié)果． 2．代數(shù)拓撲學(組合拓撲學)．龐加萊最先系統(tǒng)而普遍地探討了幾何學圖形的組合理論，人們公認他是代數(shù)拓撲學的奠基人．可以毫不夸張地說，龐加萊在這個課題上的貢獻比在其他任何數(shù)學分支上的貢獻都更為使他永垂不朽． 龐加萊先在1892年和1893年的科學院《通報》(Comptes Re－ndus)中發(fā)表了一些短文，然后于1895年發(fā)表了一篇基本性的論文，接著是一直到1904年在幾種期刊上發(fā)表的五篇長的補充，這都是論述近代代數(shù)拓撲學的方法的．龐加萊認為，他在代數(shù)拓撲學方面的工作與其說是拓撲不變性的一種研究，不如說是研究n維幾何的一種系統(tǒng)方法．我們現(xiàn)在稱之為單形的同調(diào)論的一整套方法完全是龐加萊的發(fā)明創(chuàng)造：其中有流形的三角剖分、單純復合形、重心重分、對偶復合形、復合形的關聯(lián)系數(shù)矩陣等概念以及從該矩陣計算貝蒂(E．Betti)數(shù)的方法．籍助這些方法，龐加萊發(fā)現(xiàn)歐拉多面體定理的推廣(現(xiàn)在稱之為歐拉-龐加萊公式)以及關于流形的同調(diào)的著名的對偶定理；稍后他引進了撓率的概念．在這些論文中，他還定義了基本群(第一個同倫群)并證明它與一維貝蒂數(shù)的關系，給出兩個流形具有相同的同調(diào)但具有不同的基本群的例子，他還把貝蒂數(shù)和微分形式的積分聯(lián)系在一起，敘述了G．德拉姆(de Rham)直到1931年才證明了的定理．有人這樣正確地說過：直到1933年發(fā)現(xiàn)高階同倫群之前，代數(shù)拓撲學的發(fā)展完全基于龐加萊的思想和方法． 此外，龐加萊還指出如何把這些新工具用于那些促使發(fā)現(xiàn)它們的問題．在兩篇論文中，他定出了復代數(shù)曲面的貝蒂數(shù)，以及形如Z2=F(x，y)(F是多項式)的方程定義的曲面的基本群，從而為后來S．萊夫謝茨(Lefschetz)和W．V．D．霍奇(Hodge)的推廣鋪平了道路． 3．阿貝爾函數(shù)和代數(shù)幾何學．當龐加萊一接觸到G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)關于阿貝爾函數(shù)和代數(shù)幾何學的工作之后，他立即對這個領域發(fā)生了濃厚的興趣．他在這個課題上論文的篇幅在他的全集里和自守函數(shù)的論文篇幅差不多，時間是從1881年到1911年．這些文章的主要思想之一是關于阿貝爾函數(shù)的“約化”．龐加萊把J．雅可比、魏爾斯特拉斯和皮卡研究過的特殊情形加以推廣，證明了一般的“完全可約性定理”．并注意到對應于可約的簇的阿貝爾函數(shù)，這是推廣某些已有結(jié)果和研究某些函數(shù)特殊性質(zhì)的出發(fā)點． 龐加萊在代數(shù)幾何學方面的最突出貢獻是他在1910年至1911年間關于代數(shù)曲面F(x，y，z)=0中所包含的代數(shù)曲線的幾篇論文．他所運用的卓有成效的方法使他證明了皮卡和F．塞韋里(Severi)的深刻結(jié)果，并首次正確地證明了由G．卡斯特爾諾沃(Castelnuovo)、F．恩里格斯(Enriques)所陳述的著名定理．在其他問題上，他的方法也極有價值，看來它的有效性還遠遠沒有窮盡． 4．數(shù)論．在這個領域，龐加萊首次給出整系數(shù)型的虧格的一般定義．他的最后一篇數(shù)論論文(1901年)最有影響，是我們現(xiàn)在所謂的“有理數(shù)域上的代數(shù)幾何學”的頭一篇論文．這篇論文的主題是個丟番圖(Diophantus)問題，即求一條曲線f(x，y)=0上具有有理數(shù)坐標的點，其中f的系數(shù)是有理數(shù)．龐加萊定義了曲線的“秩數(shù)”，并猜想秩數(shù)是有限的．這個基本事實由L．J．莫德爾(Mardell)在1922年予以證明，并由A．韋伊(Weil)推廣到任意虧格的曲線(1929年)．他們用的是“無限下降法”，這基于橢圓(或阿貝爾)函數(shù)的半分性質(zhì)；龐加萊在他的文章中發(fā)展了一種與橢圓函數(shù)的三分性質(zhì)有關的類似的計算，這些思想似乎是莫德爾證明的出發(fā)點．莫德爾-韋依定理在丟番圖方程論中已成為基本的定理，但是與龐加萊引入“秩數(shù)”概念的許多問題仍然尚未得到解答，更深入地鉆研他的論文也許會導出新的結(jié)果． 5．代數(shù)學．龐加萊從未出于代數(shù)學本身的需要而去研究代數(shù)學，只是當在算術(shù)或分析問題中需要代數(shù)結(jié)果時才去研究它．例如，他關于型的算術(shù)理論的工作使他研究次數(shù)≥3的型，其上作用著連續(xù)自同構(gòu)群．與此有關，他注意到超復系和由超復系的可逆元素乘法定義的連續(xù)群之間的關系；他在1884年就這個問題所發(fā)表的短文后來引起E．施圖迪(Study)和E．嘉當(Cartan)關于超復系的文章．龐加萊在1903年關于線性微分方程的代數(shù)積分的文章又回到交換代數(shù)的研究上來．他的方法使他引進一個方程的群代數(shù)，并把它分解為C上的單代數(shù)(即方陣代數(shù))．他首次把左理想和右理想的概念引入代數(shù)，并證明方陣代數(shù)中的任何左理想是極小左理想的直和． 龐加萊是當時能夠理解并欣賞S．李(Lie)及其后繼者關于“連續(xù)群”工作的少數(shù)數(shù)學家之一，尤其是，他是早在20世紀初就能認識到嘉當論文的深度和廣度的唯一數(shù)學家．1899年，龐加萊對于用新方法證明李的第三基本定理以及現(xiàn)在所謂的坎貝爾(Campbeel)-豪斯多夫(Hausdorff)公式感興趣；他實際上第一次定義了現(xiàn)在所說的(復數(shù)域上的)李代數(shù)的“包絡代數(shù)”，并由李代數(shù)已給的基對包絡代數(shù)的“自然的”基加以描述，這個定理在近代李代數(shù)理論中成為基本的定理． 6．微分方程．微分方程及其在動力學上的應用顯然處于龐加萊數(shù)學思想的中心地位，他從各種可能的角度研究這個問題，他把分析中的全套工具應用到微分方程理論中．幾乎每年都要就此發(fā)表論文．事實上，整個自守函數(shù)理論一開始就是由求積具有代數(shù)系數(shù)的線性微分方程的思想引起的．他同時研究了一個線性微分方程在一個“非正則”奇點的鄰域中的局部問題，首次證明了怎樣得到積分漸進展開．他還研究了如何決定(復數(shù)域中)所有一階微分方程關于y和y′是代數(shù)的且有固點的奇點，這后來被皮卡推廣到二階方程，并在20世紀初期導致P．潘勒韋(Painlevé)及其學派的成果． 龐加萊在這個領域中的最杰出貢獻是微分方程定性理論，它是在其創(chuàng)造者手中立即臻于完善的．他發(fā)現(xiàn)在分析微分方程可能解的類型時，奇點起著關鍵性的作用．他把奇點分為四類——焦點、鞍點、結(jié)點和中心，并闡述了解在這些點附近的性態(tài)．在1885年后，他關于微分方程的論文大都涉及到天體力學，特別是三體問題． 對于物理學問題的持久興趣肯定把龐加萊引向數(shù)學物理學的偏微分方程所導出的數(shù)學問題，在這方面他從未忽略他所用的方法和他所得到的結(jié)果可能存在的物理意義．他在1890年的一篇文章中討論了狄利克雷(Dirichlet)問題，發(fā)明了“掃散方法”，這種極其富于獨創(chuàng)性的方法在20世紀20年代和30年代出現(xiàn)的位勢理論上起著重要作用． 此外，龐加萊還在非歐幾何、漸近級數(shù)、概率論(例如，他最先使用了“遍歷性”的概念，這成為統(tǒng)計力學的基礎)等數(shù)學分支中也有所建樹．龐加萊在物理學、天體力學、科學哲學方面的工作請見《世界著名科學家傳記·物理學家Ⅰ》．——編者注. 1911年，龐加萊覺得身體不適、精力減退，他預感到自己活在世上的日子不會很長了．可是，他不愿放下手頭的工作去休息，他頭腦蘊育的新思想太多了，他不愿讓它們和自己一起埋葬．在索爾維會議之后，他投身于量子論的研究，并撰寫論文，發(fā)表講演．同時，他還在思考一個新的數(shù)學定理，即把狹義三體問題的周期解的存在問題歸結(jié)為平面的連續(xù)變換在某些條件下不動點的存在問題． 臨終前三周，龐加萊抱病在法國道德教育聯(lián)盟成立大會上發(fā)表了最后一次公開講演．他說：“人生就是持續(xù)的斗爭”，“如果我們偶爾享受到相對的寧靜，那正是因為我們先輩頑強斗爭的結(jié)果．假使我們的精力、我們的警惕松懈片刻，我們就會失去先輩們?yōu)槲覀冓A得的斗爭成果．”龐加萊本人的一生就是持續(xù)斗爭、永遠進擊的一生． 1912年7月17日，龐加萊因血管栓塞突然去世．當時他正處在科學創(chuàng)造的高峰時期．V．沃爾泰拉(Volterra)中肯地評論道：“我們確信，龐加萊一生中沒有片刻的休息．他永遠是一位朝氣蓬勃的、健全的戰(zhàn)士，直至他的逝世．” |
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來自： l1hf > 《數(shù)學家》
