你必須警惕的，正是那些最簡(jiǎn)單的假設(shè)。因?yàn)檫@些假設(shè)最有可能神不知鬼不覺地蒙混過關(guān)?！嫾尤R 龐加萊?越來越多的個(gè)人投身于數(shù)學(xué)的研究和教學(xué)，這意味著再也不能挑選出少數(shù)幾個(gè)突出的人物，代表某個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的狀況，一個(gè)人再也找不到一條清晰的路徑穿過壯闊而鮮活的數(shù)學(xué)風(fēng)景。事實(shí)上，當(dāng)高斯在1855年去世的時(shí)候，人們普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)領(lǐng)域再也不會(huì)有這樣的通才了———精通數(shù)學(xué)的所有分支，無論是純數(shù)學(xué)還是應(yīng)用數(shù)學(xué)。打那之后，如果說有人證明了這個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)的，那么，這個(gè)人就是龐加萊，因?yàn)樗颜麄€(gè)數(shù)學(xué)作為自己的領(lǐng)域。龐加萊的博士論文是論述微分方程（不是論述解法，而是論述存在定理），這導(dǎo)致了他對(duì)數(shù)學(xué)的最著名的貢獻(xiàn)———自守函數(shù)的屬性；事實(shí)上，他是自守函數(shù)理論實(shí)際上的創(chuàng)立者。一個(gè)復(fù)變量為z的自守函數(shù)f（z）是一個(gè)這樣的函數(shù)：它在域D內(nèi)是解析的（除了極點(diǎn)之外），在線性分式變換的可數(shù)無限群下是不變的。這樣的函數(shù)是三角函數(shù)和橢圓函數(shù)的一般化。埃爾米特針對(duì)有限制的實(shí)例研究過這種變換，在這樣的實(shí)例中，系數(shù)a、b、c、d是整數(shù)，且ad-bc=1，并發(fā)現(xiàn)了一類在這些變換下不變的橢圓模函數(shù)。龐加萊的一般化揭示了一個(gè)更加寬泛的函數(shù)類別，被稱作澤塔富克斯函數(shù)，龐加萊證明，這種函數(shù)可以用來解有代數(shù)系數(shù)的二次線性微分方程。這只是龐加萊對(duì)微分方程理論所做出的很多重要貢獻(xiàn)的開始。這一課題就像一根紅線一樣貫穿了他的大多數(shù)作品。龐加萊在一篇他自己的作品的提要中評(píng)論道，自微積分創(chuàng)立以來，分析學(xué)家面對(duì)了三個(gè)主要問題：代數(shù)方程的解，代數(shù)微分的求積，以及微分方程的求積。他注意到，在所有這三種情況下，歷史表明，要想取得成功，并不在于試圖把它們簡(jiǎn)化為更簡(jiǎn)單問題的傳統(tǒng)努力，而在正面進(jìn)攻解的性質(zhì)。這是解決伽羅華提出的代數(shù)問題的關(guān)鍵。在第二種情況下，對(duì)代數(shù)微分的攻克，幾十年來被那些不再試圖向基本函數(shù)化簡(jiǎn)、而是利用新的超越函數(shù)的人成功實(shí)現(xiàn)了。龐加萊確信，類似的方法，對(duì)于解微分方程中先前遇到的那些難以對(duì)付的問題，將會(huì)有所幫助。這一觀點(diǎn)已經(jīng)出現(xiàn)在他的博士論文中。這篇論文的標(biāo)題是《論偏微分方程所定義的函數(shù)的屬性》。他在19世紀(jì)80年代初期發(fā)表一系列論文中致力于解決這個(gè)主要的問題，著手提供解法的定性描述。他首先處理一般方程：式中f和g都是實(shí)多項(xiàng)式。為了處理無窮分支的問題，他把xy平面投射到一個(gè)球上。在仔細(xì)檢查他的方程之后，他特別注意到某些點(diǎn)，在這些點(diǎn)上多項(xiàng)式消失了。利用布里奧和布凱在柯西的基礎(chǔ)上所作的分類，即把這樣的奇點(diǎn)分為節(jié)點(diǎn)、鞍點(diǎn)、焦點(diǎn)和中心點(diǎn)，他得以能夠確立解的一般屬性，這些解完全取決于某種特殊類型的奇點(diǎn)存在還是不存在。例如，他證實(shí)了，類型T（x，y）=C（T是解析的，C是不變的）的傳統(tǒng)解只有當(dāng)沒有節(jié)點(diǎn)或焦點(diǎn)的時(shí)候才會(huì)存在。在四篇論文當(dāng)中的第三篇論文中，龐加萊把他的分析擴(kuò)大到了形如F（x，y，y'）=0（F是個(gè)多項(xiàng)式）的高次方程。他通過考量F（x，y，y'）=0所定義的曲面來研究這樣的方程。設(shè)該曲面的虧格是p，焦點(diǎn)數(shù)是F，節(jié)點(diǎn)數(shù)是N，鞍數(shù)是S。龐加萊證明了：龐加萊在探索了這個(gè)結(jié)果及其他結(jié)論之后，繼續(xù)研究高次方程。盡管不能證實(shí)像他對(duì)二維所得出的結(jié)果那樣廣泛的一組結(jié)果，但他把利用超曲面的技術(shù)一般化了，并強(qiáng)化了奇點(diǎn)與超曲面的貝蒂數(shù)之間的關(guān)系。在研究微分方程的很多其他成果當(dāng)中，我們僅援引幾例。他最早的成果之一涉及到線性方程和非正則奇點(diǎn)的鄰域；在這方面，他提供了把方程展開為漸近級(jí)數(shù)的一個(gè)開拓性的實(shí)例。1884年，他轉(zhuǎn)向了在復(fù)數(shù)域上有固定奇點(diǎn)的一階微分方程的研究。皮卡在他的二階方程研究中利用了這一工作。龐加萊在這方面的工作，也是保羅·潘勒韋對(duì)有或沒有（活動(dòng)）奇點(diǎn)的非線性二階方程所作的深度研究的基礎(chǔ)。龐加萊后來在常微分方程和偏微分方程領(lǐng)域的工作大多跟物理應(yīng)用有關(guān)，尤其是在天體力學(xué)和n體問題中。數(shù)學(xué)物理學(xué)及其他應(yīng)用一位同時(shí)代人這樣說他：“他是個(gè)征服者，不是個(gè)殖民者?！彼诎屠璐髮W(xué)的講課每個(gè)學(xué)年都會(huì)講不同的主題———毛細(xì)管作用、彈力、熱力學(xué)、光學(xué)、電學(xué)、電報(bào)學(xué)、宇宙進(jìn)化論，等等；表述極其精彩，在很多情況下，課堂上講過之后不久，講稿就被付梓印行。僅在天文學(xué)領(lǐng)域，他就出版了6大卷———《天體力學(xué)新方法》和《天體力學(xué)教程》。尤為重要的是他解決三體問題及其一般化時(shí)所使用的方法。對(duì)于宇宙進(jìn)化論來說，1885年的一篇論文也很重要，在這篇論文中，他證明了，一個(gè)梨形，通過一個(gè)服從于牛頓引力并繞一根軸勻速旋轉(zhuǎn)的均質(zhì)流體來呈現(xiàn)，就可以是一個(gè)相對(duì)均衡的圖形，梨形地球的問題至今依然在引發(fā)測(cè)地學(xué)家的興趣。有趣的是，龐加萊像拉普拉斯一樣，也撰寫了大量論述概率的作品。在某些方面，他的工作只是拉普拉斯和19世紀(jì)分析學(xué)家們的工作的自然繼續(xù)；但是，龐加萊是雙面的，在某種程度上預(yù)示了作為20世紀(jì)典型特征的對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的強(qiáng)烈興趣。拓?fù)鋵W(xué)不是任何一個(gè)人的發(fā)明，某些拓?fù)鋯栴}在歐拉、莫比烏斯和康托爾的作品中可以找到，就連“拓?fù)洹边@個(gè)詞，也早在1847年被J.B.利斯廷用在一本書的標(biāo)題《拓?fù)鋵W(xué)概論》中。但作為這門學(xué)科開始的日期，最恰當(dāng)?shù)哪^于1895年，龐加萊在這一年出版了他的《拓?fù)鋵W(xué)》。這本書第一次提供了系統(tǒng)的發(fā)展。拓?fù)鋵W(xué)如今是一個(gè)寬泛而重要的數(shù)學(xué)分支，有許許多多的方面；但它可以細(xì)分為兩個(gè)截然不同的子分支：組合拓?fù)鋵W(xué)和點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)。龐加萊對(duì)后者沒有多大的興趣，1908年，當(dāng)他在羅馬對(duì)國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)致辭時(shí)，把康托爾的集合論稱作是一種病，后來的幾代人會(huì)自認(rèn)為已經(jīng)治好了這種病。組合拓?fù)鋵W(xué)研究的是在連續(xù)的一一變換下保持不變的空間構(gòu)型的內(nèi)在定性方面。它常常被通俗地稱作“橡皮幾何學(xué)”，因?yàn)?，比方說，一個(gè)氣球的變形（不刺破或撕破它）就是拓?fù)渥儞Q的實(shí)例。例如，一個(gè)圓在拓?fù)渖系扔谝粋€(gè)橢圓；一個(gè)空間的維度是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞浚?jiǎn)單多面體的笛卡爾—?dú)W拉數(shù)N_0-N_1+N_2也是如此。在龐加萊對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的原創(chuàng)性貢獻(xiàn)當(dāng)中，包括笛卡爾—?dú)W拉多面體公式針對(duì)高維空間的一般化，利用了他所謂的“貝蒂數(shù)”，這個(gè)名稱為的是紀(jì)念意大利數(shù)學(xué)家恩里科·貝蒂。然而，大多數(shù)拓?fù)涮幚淼氖菙?shù)學(xué)中的定性方面，而不是定量方面，但在這方面，它跟19世紀(jì)分析學(xué)中盛行的風(fēng)格背道而馳。龐加萊似乎因?yàn)樵噲D對(duì)微分方程求積定性而把注意力對(duì)準(zhǔn)組合拓?fù)鋵W(xué)。像黎曼一樣，龐加萊也尤其擅長(zhǎng)處理拓?fù)湫再|(zhì)的問題，比如找出一個(gè)函數(shù)的屬性，而不操心它的古典意義上的形式表示，因?yàn)檫@兩個(gè)人都是有著健全判斷力的直覺主義者。假如龐加萊對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的興趣繼續(xù)下去的話，他可能搶先對(duì)這一數(shù)學(xué)分支做出更多的貢獻(xiàn)，這一領(lǐng)域是20世紀(jì)最受青睞、最有成果的研究路線。然而，他那永不停歇的頭腦不停地忙于思考世紀(jì)之交物理學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域所發(fā)生的每一件事情，從電磁波和X射線，到量子論和相對(duì)論。龐加萊聲稱，他接觸過的幾乎每個(gè)問題都把他帶向拓?fù)鋵W(xué)。我們?cè)谒麑?duì)微分方程的攻克中已經(jīng)看到過一個(gè)例證。在世紀(jì)之交前后的那十年，他發(fā)表了一系列關(guān)于拓?fù)鋵W(xué)的論文。這些論文成了20世紀(jì)組合拓?fù)鋵W(xué)或代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。在這方面，他詳細(xì)闡述了一些源自黎曼和貝蒂的概念，我們?cè)谒撌鑫⒎址匠痰淖髌分幸呀?jīng)遇到過這些概念：把一個(gè)圖形當(dāng)作n維流形來處理，并考慮連通性的階。他提出了單純同調(diào)理論的基本定義和定理；他確立了一個(gè)流形的基本群與第一貝蒂數(shù)之間的關(guān)系；他還指出了涉及貝蒂數(shù)的進(jìn)一步的關(guān)系。這些論文所包含的一些定理和猜想導(dǎo)致了20世紀(jì)拓?fù)鋵W(xué)家后來的很多探索。希爾伯特?大衛(wèi)·希爾伯特和伊曼紐爾·康德一樣，出生于東普魯士的哥尼斯堡，但有一點(diǎn)不像康德：他到處旅行，尤其是出席國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，這一盛會(huì)已經(jīng)成為20世紀(jì)的典型特征。希爾伯特除了在海德堡大學(xué)師從分析學(xué)家拉扎勒斯·富克斯度過了一個(gè)學(xué)期之外，多是在哥尼斯堡大學(xué)獲得了數(shù)學(xué)訓(xùn)練。這所大學(xué)最重要的數(shù)學(xué)教授是海因里希·韋伯，他曾在戴德金的鼓勵(lì)下轉(zhuǎn)向了代數(shù)和數(shù)論中抽象概念的研究。韋伯在19世紀(jì)80~90年代為群和域提出了一些最早的定義，是一部著名的、很有影響的三卷本代數(shù)學(xué)教科書的作者。1883年，韋伯離開了哥尼斯堡大學(xué)。他的繼任者林德曼剛剛發(fā)表了π的超越性證明。林德曼建議希爾伯特以不變量理論作為他博士論文的主題，并鼓勵(lì)了希爾伯特在這一領(lǐng)域的早期工作。希爾伯特對(duì)不變量的興趣得到了另外兩個(gè)人進(jìn)一步的激勵(lì)，這兩個(gè)人在年齡上跟他更接近，他在19世紀(jì)80年代跟他們有過大量的交往。其中一位是阿道夫·赫維茨，他曾師從費(fèi)利克斯·克萊因，并在1884年加入哥尼斯堡大學(xué)成為林德曼的同事，另一位是赫爾曼·閔可夫斯基，他在1893年4月（當(dāng)時(shí)他還是個(gè)學(xué)生）因?yàn)橐黄撌稣麛?shù)分解為5個(gè)平方數(shù)之和的論文而獲得了巴黎科學(xué)院的數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)。希爾伯特在1892年之前主要研究不變量理論；他對(duì)這一課題最重要的貢獻(xiàn)是在1890和1893年發(fā)表的。要理解它們?cè)诓蛔兞坷碚摎v史中的地位，一個(gè)很有用的方法就是讀一讀希爾伯特自己為1893年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)準(zhǔn)備的對(duì)這一理論的介紹。希爾伯特1888年的著名成果被稱作“基本定理”。它作為論文《論代數(shù)形式理論》的定理1發(fā)表在1890年的《數(shù)學(xué)年刊》上。希爾伯特把一個(gè)代數(shù)形式定義為一個(gè)某些變量的整有理齊次函數(shù)，它的系數(shù)是某個(gè)“有理域”中的數(shù)。該定理聲稱：對(duì)于任何有n個(gè)變量x1、x2、…，xn的形式所組成的無窮序列S=F1、F1、…Fn，都存在一個(gè)數(shù)m，使得該序列中的任何一個(gè)形式都可以表示為：式中，A_i是有相同n個(gè)變量的形式。希爾伯特把這個(gè)結(jié)果應(yīng)用于證明對(duì)于任意多個(gè)變量的形式所組成的系，存在一個(gè)不變量的有限完全系。他在1893年發(fā)表的一篇很有影響的論文《論不變量的完全系》中，發(fā)展出了解決不變量理論問題的新方法。他強(qiáng)調(diào)，這一方法根本上不同于他的前輩們的方法，因?yàn)樗汛鷶?shù)不變量理論當(dāng)作代數(shù)函數(shù)域的一般理論的組成部分來處理。在德國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)1893年的會(huì)議上，希爾伯特和閔可夫斯基被要求為該學(xué)會(huì)的《年報(bào)》撰寫一篇關(guān)于數(shù)論的報(bào)告。結(jié)果，希爾伯特的作品《代數(shù)數(shù)域理論》成了一部經(jīng)典，它通常被稱作《數(shù)論報(bào)告》。閔可夫斯基當(dāng)時(shí)正在埋頭撰寫《數(shù)的幾何學(xué)》，因此退出了這一計(jì)劃，不過，他在希爾伯特的手稿上提供了一些關(guān)鍵性的注釋，在閔可夫斯基1909年過早去世之前，他對(duì)希爾伯特的大多數(shù)手稿都做過同樣的事情。希爾伯特在《數(shù)論報(bào)告》的導(dǎo)論中表達(dá)了一個(gè)觀點(diǎn)，這個(gè)觀點(diǎn)后來成了他的作品和他的影響的典型特征。這個(gè)特征就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的概念和理論的抽象、算術(shù)化和邏輯發(fā)展。希爾伯特注意到，對(duì)于理解數(shù)論的真理來說，只需要極少的先決條件，但要想充分掌握算術(shù)概念和證明技術(shù)，卻需要高度的抽象，于是他表達(dá)了這樣一種觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)的其他所有分支，倘若你想讓這些分支經(jīng)受同樣嚴(yán)謹(jǐn)而徹底的研究，則至少需要同樣高度的抽象。他看到了，在他的有生之年，數(shù)學(xué)的發(fā)展都是在數(shù)的引導(dǎo)下發(fā)生的：據(jù)希爾伯特說，戴德金和魏爾斯特拉斯對(duì)算術(shù)基本概念的定義和康托爾的作品導(dǎo)致了一次“函數(shù)理論的算術(shù)化”，與此同時(shí)，關(guān)于非歐幾何的現(xiàn)代研究，連同它們對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)邏輯的發(fā)展和數(shù)的概念的清晰引入的關(guān)注，導(dǎo)致了“幾何學(xué)的算術(shù)化”。希爾伯特在這份報(bào)告的主體部分，嘗試著提出代數(shù)數(shù)域的邏輯理論。他把最近的前輩和同時(shí)代人的工作納入到了他包羅廣泛的論述中，同時(shí)還包括了他自己的一些成果。在19世紀(jì)90年代，希爾伯特又對(duì)這一課題貢獻(xiàn)了幾篇論文；這些論文是他在獲得各種數(shù)域上二次倒數(shù)的一般化法則這個(gè)方向上最成熟的努力。在進(jìn)入20世紀(jì)之后，除了一個(gè)引人注目的例外之外，希爾伯特在數(shù)論領(lǐng)域再也沒有產(chǎn)生新的成果。希爾伯特的工作往往在某個(gè)時(shí)期集中于一個(gè)課題，《數(shù)論報(bào)告》完成之后他便轉(zhuǎn)向了幾何學(xué)。1894年，他講授非歐幾何，1898~1899年間他拿出了一本篇幅很小但很有名的著作，題為《幾何基礎(chǔ)》。這部作品被翻譯成了一些主要的語言，對(duì)20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)揮了強(qiáng)有力的影響。通過對(duì)分析學(xué)和皮亞諾公理的算術(shù)化，大多數(shù)數(shù)學(xué)———除了幾何學(xué)之外———都有了嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)。19世紀(jì)的幾何學(xué)前所未有地繁榮興旺，但主要是在希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》中，才第一次努力賦予它代數(shù)學(xué)和分析學(xué)中所具有的那種純形式品格。誠(chéng)然，歐幾里得的《幾何原本》有一個(gè)演繹結(jié)構(gòu)，但它充滿了隱藏的假設(shè)、沒有意義的定義以及邏輯上的不完備。希爾伯特懂得，數(shù)學(xué)中并非所有術(shù)語都可以被定義，因此，他開始用3個(gè)未定義的對(duì)象（點(diǎn)、直線和平面）和6種未定義的關(guān)系（在上面、在里面、在之間、全等、平行和連續(xù)）來處理幾何學(xué)。希爾伯特為他的幾何學(xué)構(gòu)想了21個(gè)假設(shè)，用來取代歐幾里得的5個(gè)公理和5個(gè)公設(shè)，打那以后，這組假設(shè)被稱作希爾伯特公理。其中8個(gè)涉及到關(guān)聯(lián)，并包括了歐幾里得的第一公設(shè)，4個(gè)涉及次序?qū)傩裕?個(gè)涉及全等，2個(gè)涉及連續(xù)性（歐幾里得沒有明確提到的假設(shè)），1個(gè)是平行公設(shè)，本質(zhì)上相當(dāng)于歐幾里得的第五公設(shè)。追隨希爾伯特的開拓性工作，其他人又提出了幾套可供選擇的公理；幾何學(xué)以及其他數(shù)學(xué)分支純形式的演繹品格自20世紀(jì)初之后便完全確立了。希爾伯特通過他的《幾何基礎(chǔ)》成了“公理學(xué)派”的主要倡導(dǎo)者，這一思潮對(duì)于塑造當(dāng)代人的數(shù)學(xué)看法和數(shù)學(xué)教育上很有影響?！稁缀位A(chǔ)》開篇便是一句引自康德的格言：“一切人類知識(shí)都是從直覺開始，接下來是概念，最后終止于觀念”，但希爾伯特對(duì)幾何學(xué)的發(fā)展證實(shí)了與康德截然相反的觀點(diǎn)。這本書強(qiáng)調(diào)，幾何學(xué)中任何未定義的術(shù)語，都不應(yīng)該被假設(shè)為具有任何超出公理中所表明的屬性。直覺—經(jīng)驗(yàn)層面的古老幾何觀必須被忽略，點(diǎn)、直線和平面應(yīng)該僅僅理解為某些給定集合的元素。集合理論，在接管了代數(shù)學(xué)和分析學(xué)之后，如今開始入侵幾何學(xué)的地盤。同樣，未定義的關(guān)系應(yīng)該被視為抽象概念，僅僅表示對(duì)應(yīng)或映射。對(duì)一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的貢獻(xiàn)，最著名的大概莫過于希爾伯特在1900年巴黎舉行的第二屆大會(huì)上所發(fā)表演講。希爾伯特的演講題為《數(shù)學(xué)問題》。演講包括一篇導(dǎo)言，這篇導(dǎo)言后來成了數(shù)學(xué)修辭的經(jīng)典，接下來列出了23個(gè)問題，打算充當(dāng)某一類問題的實(shí)例，對(duì)這類問題的處理將導(dǎo)致這門學(xué)科的進(jìn)一步發(fā)展。事實(shí)上，在赫維茨和閔可夫斯基的建議下，希爾伯特刪減這篇演講的口頭版本，使得它只包含23個(gè)問題當(dāng)中的10個(gè)。盡管希爾伯特反對(duì)這樣一種觀點(diǎn)：只有算術(shù)概念才經(jīng)得起充分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶幚?。但他承認(rèn)，柯西、波爾查諾和康托爾對(duì)算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的發(fā)展是19世紀(jì)兩項(xiàng)最值得注意的成就之一（另一項(xiàng)成就是高斯、波約和羅巴切夫斯基的非歐幾何）。- 因此，23個(gè)問題中的第一個(gè)問題就涉及到實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的構(gòu)建。問題由兩個(gè)相關(guān)部分組成：（1）在一個(gè)可數(shù)集的基數(shù)與連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)之間是否存在一個(gè)超限數(shù)，（2）數(shù)值連續(xù)統(tǒng)能否被視為一個(gè)良序集？
- 希爾伯特的第二個(gè)問題也曾被19世紀(jì)嚴(yán)謹(jǐn)時(shí)代有所暗示，它問的是：是否能證明算術(shù)公理是一致的———即：基于這些公理的有限多個(gè)邏輯步驟決不可能導(dǎo)致矛盾的結(jié)果。
- 接下來的三個(gè)問題，問題三、問題四和問題五，屬于那些在實(shí)際宣讀論文時(shí)刪去了的問題。問題三是幾何問題：給出兩個(gè)等底等高的四面體，它們不可能分解為全等的四面體，不管是直接全等還是通過鄰接全等。正如希爾伯特所指出的那樣，這個(gè)問題可以追溯到高斯在他的通信中所提出的一個(gè)問題。希爾伯特的學(xué)生馬克斯·德恩在1902年給出了否定的回答，1903年被W.F.卡根清楚闡明了。
- 問題四闡述得有點(diǎn)粗略，它要求這樣的幾何學(xué)：如果保留次序和關(guān)聯(lián)的公理，弱化全等公理，忽略平行公理的等價(jià)物，其公理“最接近于”歐幾里得的幾何學(xué)。最早的回答是希爾伯特的另一個(gè)學(xué)生G.哈默爾在他的博士論文中給出的。
- 問題五被證明更有影響，也更加困難。這個(gè)問題是：是否可以避開函數(shù)可微性的假設(shè)來定義一個(gè)連續(xù)的變換群。人們把這個(gè)問題跟早期的拓?fù)淙赫摼o密聯(lián)系在一起。李氏連續(xù)變換群對(duì)于可微運(yùn)算來說局部是歐氏的。
- 第六個(gè)問題是物理學(xué)的公理化，希爾伯特本人曾在這個(gè)問題上做出過一些努力。問題七問的是：αβ這個(gè)數(shù)（α是代數(shù)數(shù)且不是0和1，β是無理代數(shù)數(shù)）是不是超越數(shù)。希爾伯特?fù)Q用幾何的形式，這樣問：在一個(gè)等腰三角形中，如果頂角與底角的比是無理代數(shù)數(shù)，則底與一邊之比是不是超越數(shù)。
- 希爾伯特的第八個(gè)問題只不過重提了一個(gè)19世紀(jì)所熟悉的問題，要求證明黎曼猜想：除了負(fù)整零點(diǎn)之外，zeta函數(shù)的零點(diǎn)的實(shí)數(shù)部分全都等于1/2。他覺得，對(duì)這個(gè)猜想的證明可能導(dǎo)致關(guān)于素?cái)?shù)對(duì)無窮性的猜想的證明；但至今尚沒有人給出證明，盡管自黎曼冒險(xiǎn)提出這個(gè)猜想以來已經(jīng)過去了一個(gè)多世紀(jì)。
- 第九個(gè)問題要求數(shù)論互反律的一般化。第十個(gè)問題是丟番圖方程的判定問題。第十一個(gè)問題要求把針對(duì)二次域所獲得結(jié)果擴(kuò)大到任意代數(shù)域。第十二個(gè)問題要求把克羅內(nèi)克的定理擴(kuò)大到任意代數(shù)域。
- 在這些數(shù)論問題之后，緊接著是第十三個(gè)問題：要求證明通過兩個(gè)變量的函數(shù)解一般七次方程的不可能性；第十四個(gè)問題關(guān)于相對(duì)整函數(shù)系的有限性；第十五個(gè)問題要求給出舒伯特的枚舉幾何的正當(dāng)理由。
- 第十六個(gè)問題是號(hào)召發(fā)展實(shí)代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)鋵W(xué)；第十七個(gè)問題要求用平方數(shù)表示具體的形式；第十八個(gè)問題對(duì)于用全等多面體構(gòu)建空間提出了挑戰(zhàn)；第十九個(gè)問題處理的是關(guān)于變分問題解法的解析性質(zhì)。跟這個(gè)問題密切相關(guān)的是第二十個(gè)問題，涉及一般邊界問題。第二十一個(gè)問題希爾伯特自己在1905年解決了，問的是有一個(gè)給定單值群的微分方程的解法。第二十二個(gè)問題是均勻化問題，最后一個(gè)，也就是第二十三個(gè)問題要求擴(kuò)展變分的方法；最近這些年，人們把這個(gè)問題跟最優(yōu)化問題的研究聯(lián)系在了一起。
希爾伯特的分析學(xué)主要圍繞積分方程的研究。然而，在他對(duì)這一課題做出貢獻(xiàn)之前，他首先“復(fù)活”了狄利克雷原理。在狄利克雷原理遭到批評(píng)之后，人們?cè)噲D證明其有效性的努力只取得了部分成功。在這方面，最后一次重要的努力是龐加萊在1890年發(fā)表的一篇論文，這篇論文包含了他匠心獨(dú)運(yùn)的“掃除”法。接下來，希爾伯特把它作為變分法中的一個(gè)問題來處理，從而就其最一般的形式證實(shí)了狄利克雷原理。首先，他概述了極小曲線存在的推定證明；然后，他展示了如何推斷出一個(gè)最小化對(duì)于平面域的狄里克雷區(qū)域的函數(shù)的存在。緊接著這篇文章之后，美國(guó)人W.F.奧斯古德在次年發(fā)表了一篇可讀性很強(qiáng)的文章，介紹魏爾斯特拉斯對(duì)這個(gè)問題的評(píng)論；1904年，希爾伯特本人在一篇更詳細(xì)的論文中闡述了他的論證。正是在這一時(shí)期，也就是在1901年，積分方程的問題吸引了希爾伯特的關(guān)注。他的一位斯堪的納維亞學(xué)生提交了一篇研討班報(bào)告，這篇報(bào)告賴以建立的基礎(chǔ)是他在斯德哥爾摩的老師伊瓦爾·弗雷德霍姆在這一領(lǐng)域所做的工作。希爾伯特的成果，最早發(fā)表于1904至1910年之間，收集在一本書中，這本書出版于1912年，旨在提出一套線性積分方程的系統(tǒng)理論。他的工作得到了愛爾哈德·施米特的簡(jiǎn)化。有趣的是，當(dāng)希爾伯特就這一課題取得的進(jìn)展中，他的很粗糙的新方法常常會(huì)與其他人所完成的精細(xì)化和一般化之間的相互作用。事實(shí)上，這項(xiàng)工作在今天的巨大價(jià)值在于下面這個(gè)事實(shí)：20世紀(jì)很多最重要的觀念就來自于它，這些觀念對(duì)于抽象的線性空間和范圍的研究是基礎(chǔ)性的。大概是為了放松一下他在積分方程領(lǐng)域有點(diǎn)繁重的工作，希爾伯特在這一時(shí)期回到了數(shù)論領(lǐng)域，并證明了華林定理：每個(gè)正整數(shù)都可以表示為最多m個(gè)n次冪之和，式中，m是n的函數(shù)。這一勝利被他的好友閔可夫斯基在1909年代意外去世給沖淡了，它標(biāo)志著希爾伯特創(chuàng)作他最關(guān)注的純數(shù)學(xué)作品的時(shí)期的終結(jié)。接下來的10年，希爾伯特的很多時(shí)間都花在了數(shù)學(xué)分析上。隨著愛因斯坦廣義相對(duì)論的發(fā)表，希爾伯特便轉(zhuǎn)向了這個(gè)課題，他的同事費(fèi)利克斯·克萊因也專注于這一課題。有趣的是，從這一努力中產(chǎn)生出來的最持久的貢獻(xiàn)來自于一個(gè)最近忙于研究微分不變式的代數(shù)學(xué)家。此人就是代數(shù)幾何學(xué)家馬克斯·諾特的女兒艾米·諾特，希爾伯特和克萊因設(shè)法讓她來到了哥廷根大學(xué)，作為他們?cè)谶@項(xiàng)研究中的助手。她的成果出版于1918年；最有名的是“諾特定理”，至今在對(duì)某些不變式與守恒定律之間的一致性的討論中依然被引用。希爾伯特在數(shù)學(xué)物理學(xué)領(lǐng)域著手他的研究，希望實(shí)現(xiàn)他在1900年所號(hào)召的公理化。在處理量子力學(xué)的最后一部物理學(xué)作品中，他最接近于這個(gè)目標(biāo)。因?yàn)榈竭@一時(shí)期希爾伯特開始出現(xiàn)嚴(yán)重的健康問題，這項(xiàng)研究是與兩個(gè)年輕人合作進(jìn)行的，他們是L.諾德海姆和約翰·馮·諾依曼。希爾伯特在算術(shù)和邏輯學(xué)的公理化上付出最后的巨大努力，其主要成果也是以他的繼任者們所賦予它們的形式傳到了我們手上。它們被收入在包羅廣泛的專著《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》和《數(shù)理邏輯基礎(chǔ)》中，它們更多地因?yàn)楹现叩拿侄环Q作希爾伯特—伯奈斯和希爾伯特—阿克曼。
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