無(wú)論是小學(xué)奧數(shù)中，還是在初中常規(guī)方程中，雞兔同籠問(wèn)題都是非常典型的.

雞兔同籠問(wèn)題，不僅是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名題，也是多種數(shù)學(xué)思想與解題方法的載體.學(xué)霸數(shù)學(xué)小編以此題開(kāi)篇，以敬先賢，也希望以此挖掘歸納出此題的思想方法，讓同學(xué)們掌握方法的同時(shí)，更多的了解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的文化內(nèi)涵.文尾也會(huì)留下相同的問(wèn)題，供同學(xué)們解答.

在中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中就有“雞免同籠問(wèn)題”：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足.問(wèn)雉兔各幾何.”翻譯成現(xiàn)代文：若干只雞與兔子同關(guān)一處，從上看有35個(gè)頭，從下看有94條腿，問(wèn)有雞兔各多少只？

古人對(duì)于“雞兔同籠”問(wèn)題早已經(jīng)給出了許多精妙解法.例如在《孫子算經(jīng)》中說(shuō)到：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭即得.此方法就是半足法.而《算法統(tǒng)宗》給出了兩種算法：一種是“置總頭倍之得七十，與總足內(nèi)減七十余二四，折半得一十二是兔，以四足乘之得四十八，總足減之余四十六足為雞足，折半得二十三”；另一種算法叫做倍頭法，就是先求雞的只數(shù).

可能多數(shù)同學(xué)看不懂上述古文表述，下面我們分析一下現(xiàn)代人們的解法：

解法一：半足法，也稱“金雞獨(dú)立”法

我們假定雞和兔子通人性，能聽(tīng)懂人話，也能服從主人的命令，主人吹個(gè)口哨，一聲令下，所有的雞抬起一條腿，而兔子抬起兩條腿，這時(shí)候我們?nèi)绻椎降厣?，一?shù)腿數(shù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)地上腿的總數(shù)變成了原來(lái)的一半，即47條腿.而雞的腿數(shù)與頭數(shù)相同，一條雞腿就代表一只雞，而兔的腿數(shù)是兔的頭數(shù)的2倍，這意味著每條多出來(lái)的腿代表著一只兔子，因此從47里頭減去頭數(shù)35，剩下來(lái)的就是兔的頭數(shù)12只，于是雞有35-12=23只.

解法二：抬腳法

此方法在以前的算學(xué)課本中很常見(jiàn)，也是我國(guó)更相減損術(shù)的一個(gè)應(yīng)用，晚清民國(guó)時(shí)的算術(shù)啟蒙基本都采用這種方法.仍然是假設(shè)雞和兔子都通人性，一聲令下，雞跟兔子都兩時(shí)抬起兩條腿，這時(shí)雞撲通一聲，坐到了地上，而兔子還有兩條腿立在地上，地上總有剩下94-35×2=24條兔子腿，故兔共12只，雞23只；當(dāng)然，此法也可進(jìn)行用“砍足法”來(lái)求解，同學(xué)們可以大膽嘗試.

解法三：極端假設(shè)法.在新中國(guó)成立后，由華羅庚等人參與編纂的數(shù)學(xué)讀物里常出現(xiàn)的解法

假設(shè)所有的兔子都變成了雞，那么如果是35只雞，就總共會(huì)有70條腿，但實(shí)際的腿數(shù)卻有94條，我們假設(shè)的比實(shí)際數(shù)目少24條腿，變少的原因在于兔子的腿少數(shù)了2條，于是兔子的只數(shù)24÷2=12只，雞23只.當(dāng)然，假設(shè)全是兔時(shí)，思路一樣,同學(xué)們可以試一試

解法四：公平設(shè)計(jì)法.

中國(guó)科學(xué)院院士張景中教授給出一種被稱為“公平設(shè)計(jì)法”的解法：兔子有4條腿，而雞卻只有兩條腿，這簡(jiǎn)直就是種族歧視，實(shí)在不公平，所以我們就將雞的兩個(gè)翅膀也看作腿，那么總共有35×4=140條腿，如果不把翅膀當(dāng)作腿時(shí)，那么腿只有94條，所以多出的140-94=46條腿，是雞翅，于是雞的只數(shù)46÷2=23只，則兔有12只.

以上解法主要對(duì)相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行改變，通過(guò)差異進(jìn)行修正和還原，最后使原問(wèn)題得到解決的思想方法，此為假設(shè)法.當(dāng)然，除了上述4種方法外，我們還可以使用方程，一元一次方程和二元一次方程組都可以輕松解決；也可非常巧妙的通過(guò)面積法來(lái)解決；

解法五：一元一次方程

設(shè)雞的數(shù)量為x只，則兔子為(35-x)只，2x+4(35-x)=94,解得x=23；

解法六：二元一次方程組

設(shè)雞的數(shù)量為x只，兔的數(shù)量為y只，則x+y=35,2x+4y=94,x=23,y=12；

解法七：面積法

李樹(shù)清在《雞兔同籠問(wèn)題的解法探討》一文中提出把雞兔同籠問(wèn)題變成一道幾何題來(lái)做，如下圖，AB=35，表示共35個(gè)頭，BC=2，表示雞的兩條腿，AF=4，表示免的4條腿，總面積為94，求AH和BH，即兔、雞各有多少只？

此法的巧妙之外在于將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，腿的總數(shù)=雞頭數(shù)2+兔頭數(shù)2，轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)寬，

S_AHEF+S_HBCD=AH?HE+BH?BC=94，延長(zhǎng)CD交AF于點(diǎn)G，S_ABCG=35×2=70，故四邊形GDEF的面積為94-70=24,FG=2,所以EF=24÷2=12，即兔子為12只，雞為23只.

綜述：雞兔同籠問(wèn)題雖易，但它可能是多數(shù)人接觸到的第一個(gè)有方程思想的古代數(shù)學(xué)名題；方法中抬腿、砍足法的應(yīng)用，天馬行空卻不失其合理性.

留下以下兩個(gè)問(wèn)題，供同學(xué)們思考：

①有雞和兔共40只，有120條腿，問(wèn)雞兔各多少只？

②小明買了鉛筆和鋼筆共30支，鉛筆2元一支，鋼筆5元一支，共花了120元，問(wèn)鉛筆和鋼筆各多少支？