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雞兔同籠問題的解法集錦- 我行我素的日志- 網(wǎng)易博客

雞兔同籠問題是中國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)問題。那是已知雞兔的總頭數(shù)和總足數(shù)，求雞兔各有多少只的一類典型應(yīng)用題（本博前面曾多次介紹，為便于閱讀在本文最后加了鏈接，有興趣可點(diǎn)擊查看）。它的題型雖然固定，但解題思路方法卻多種多樣，如假設(shè)法、削補(bǔ)法、轉(zhuǎn)化法、分組法、盈虧法、倍比法、設(shè)零法、代數(shù)法等等，且解法還在不斷創(chuàng)新。下面舉一例給出幾種解法供參考。    

例：雞兔同籠，上有40個(gè)頭，下有100只足。雞兔各有多少只？  

1、極端假設(shè)

解法一：假設(shè)40個(gè)頭都是雞，那么應(yīng)有足2×40=80（只），比實(shí)際少100-80=20（只）。這是把兔看作雞的緣故。而把一只兔看成一只雞，足數(shù)就會(huì)少4-2=2（只）。因此兔有20÷2=10（只），雞有40-10=30（只）。

解法二：假設(shè)40個(gè)頭都是兔，那么應(yīng)有足4×40=160（只），比實(shí)際多160-100=60（只）。這是把雞看作兔的緣故。而把一只雞看成一只兔，足數(shù)就會(huì)多4-2=2（只）。因此雞有60÷2=30（只），兔有40-30=10（只）。

解法三：假設(shè)100只足都是雞足，那么應(yīng)有頭100÷2=50（個(gè)），比實(shí)際多50-40=10（個(gè)）。把兔足看作雞足，兔的只數(shù)（頭數(shù)）就會(huì)擴(kuò)大4÷2倍，即兔的只數(shù)增加（4÷2-1）倍。因此兔有10÷（4÷2-1）=10（只），雞有40-10=30（只）。

解法四：假設(shè)100只足都是兔足，那么應(yīng)有頭100÷4=25（個(gè)），比實(shí)際少40-25=15（個(gè)）。把雞足看作兔足，雞的只數(shù)（頭數(shù)）就會(huì)縮小4÷2倍，即雞的只數(shù)減少1-1÷（2÷4）=1/2。因此雞有15÷1/2=30（只），兔有40-30=10（只）。

2、任意假設(shè)

解法五：假設(shè)40個(gè)頭中，雞有12個(gè)（0至40中的任意整數(shù)），則兔有40-12=28（個(gè)），那么它們一共有足2×12+4×28=136（只），比實(shí)際多136-100=36（只）。這說(shuō)明有一部分雞看作兔了，而把一只雞看成一只兔，足數(shù)就會(huì)多4-2=2（只），因此把雞看成兔的只數(shù)是36÷2=18（只）。那么雞實(shí)際有12+18=30（只），兔實(shí)際有28-18=10（只）。

解法六：假設(shè)100只足中，有雞足80只（0至100中的任意整數(shù)，最好是2的倍數(shù)），則兔足有100-80=20（只），那么它們一共有頭80÷2+20÷4=45（個(gè)），比實(shí)際多45-40=5（個(gè)）。這說(shuō)明把一部分兔足看作雞足了，而把兔足看成雞足，兔的只數(shù)（頭數(shù)）就會(huì)增加（4÷2-1）倍。因此把兔看作雞的只數(shù)是5÷（4÷2-1）=5（只），那么兔實(shí)際有20÷4+5=10（只），雞實(shí)際有40-10=30（只）。

通過(guò)比較可知：任意假設(shè)是極端假設(shè)的一般形式，而極端假設(shè)是任意假設(shè)的特殊形式，也是簡(jiǎn)便解法。

3、除減法

解法七：用腳的總數(shù)除以2，也就是100÷2=50（只）。這里我們可以設(shè)想為，每只雞都是一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著。這樣在50這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從50減去總頭數(shù)40，剩下的就是兔子頭數(shù)10只。有10只兔子當(dāng)然雞就有30只。

這種解法就是《孫子算經(jīng)》中記載的：做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡(jiǎn)單！

 4、盈虧法

解法八：把總足數(shù)100看作標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。假設(shè)雞有25只，兔則有40-25=15（只），那么它們有足2×25+4×15=110（只），比標(biāo)準(zhǔn)數(shù)盈余110-100=10（只）；再假設(shè)雞有32只，兔則有40-32=8（只），那么它們有足2×32+4×8=96（只），比標(biāo)準(zhǔn)數(shù)不足100-96=4（只）。根據(jù)盈不足術(shù)公式，可以求出雞的只數(shù)。即雞有（25×4+32×10）÷（4+10）=30（只），兔則有40-30=10（只）。

5、比例分配

解法九：40個(gè)頭一共100只足，平均每個(gè)頭有足100÷40=2.5（只）。而一只雞比平均數(shù)少（2.5-2）只足，一只兔比平均數(shù)多（4-2.5）只足。根據(jù)平均問題的“移多補(bǔ)少”思想：超出總數(shù)等于不足總數(shù)，故知：（2.5-2）×雞的只數(shù)=（4-2.5）×兔的只數(shù)。因此，

雞的只數(shù)︰兔的只數(shù)=（4-2.5）︰（2.5-2）=1.5︰0.5=3︰1

按比例分配可以求出雞兔各有多少只。即雞有40×3/（3+1）=30（只），而兔則有40×1/（3+1）=10（只）。

6、布列方程

解法十：設(shè)雞有x只，那么兔有（40-x）只。根據(jù)題意列方程：

2x+4（40-x）=100

解這個(gè)方程得：x=30  40-x=40-30=10那么雞有30只，兔有10只。

 雞兔的頭數(shù)關(guān)系除了“和”的形式外，還可以把“差”和“倍數(shù)”作為已知條件。同樣，雞兔的足數(shù)關(guān)系除了“和”的形式外，也可以把“差”和“倍數(shù)”作為已知條件。如果把雞兔頭數(shù)關(guān)系的三種條件與足數(shù)關(guān)系的三種條件交叉組合，除了上面的例題，還可以形成以下變式練習(xí)題。

1、雞兔同籠，它們一共有100只，而雞足比兔足多80只。雞兔各有多少只？

2、雞兔同籠，它們一共有84只，而雞足是兔足的3倍。雞兔各有多少只？

3、雞兔同籠，雞比兔多26只，它們一共有274只足。雞兔各有多少只？

4、雞兔同籠，雞比兔多3只，兔比雞多28只足。雞兔各有多少只？

5、雞兔同籠，雞比兔少10只，兔足是雞足的3倍。雞兔各有多少只？

6、雞兔同籠，雞的只數(shù)是兔的3倍，它們一共有120只足。雞兔各有多少只？

7、雞兔同籠，雞的只數(shù)是兔的3倍，雞足比兔足多120只。雞兔各有多少只？

8、雞兔同籠，雞比兔的3倍多6只，雞足比兔足的2倍少24只。雞兔各有多少只？

附：  雞兔同籠變式題組的參考答案

以上題組，每道題都有多種解法。下面提供的僅僅是參考答案，其思想方法，還需要讀者作進(jìn)一步的探討明晰。

1、解一：（2×100-80）÷（4+2）=20（只）----（兔）

解二：（4×100+80）÷（4+2）=80（只）----（雞）

解三：（100-80÷2）÷（4÷2+1）=20（只）----（兔）

解四：（100+80÷4）÷（4÷2+1）-80÷4=20（只）----（兔）

2、解一：84÷（4×3÷2+1）=12（只）----（兔）

   解二：2×84÷（4×3+2）=12（只）----（兔）

3、解一：（274-2×26）÷（4+2）=37（只）----（兔）

   解二：（274+4×26）÷（4+2）=63（只）----（雞）

   解三：（274÷2-26）÷（4÷2+1）=37（只）----（兔）

4、解一：（28+2×3）÷（4-2）=17（只）----（兔）

   解二：（28+4×3）÷（4-2）=20（只）----（雞）

   解三：（3+28÷2）÷（4÷2-1）=17（只）----（兔）

   解四：（3+28÷4）÷（1-2÷4）=20（只）----（雞）

5、解一：10÷（2×3÷4-1）=20（只）----（雞）

   解二：4×10÷（3-2）÷2=20（只）----（雞）

6、解一：120÷（4+2×3）=12（只）----（兔）

   解二：120÷（2×3÷4+1）÷4=12（只）----（兔）

7、解一：120÷（2×3-4）=60（只）----（兔）

解二：120÷2÷（3-2）=60（只）----（兔）

解三：120÷4×3÷（3-2）-120÷4=60（只）----（兔）

8、解一：（24÷2+6）÷（2×2-3）=18（只）----（兔）

解二：（6×2+24）÷（2-3÷2）÷4=18（只）----（兔） 

例1、 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28，問雞與兔各幾只？

分析與解答：假如再補(bǔ)上28只雞腳，也就是再有雞28÷2＝14（只），雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳4÷2＝2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.

兔的只數(shù)是：（100＋28÷2）÷（2＋1）＝38（只）.

雞是：100－38＝62（只）.

答：雞62只，兔38只.

當(dāng)然也可以去掉兔28÷4＝7（只）這時(shí)雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳4÷2＝2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍，所以原來(lái)兔的只數(shù)是（100－28÷4）÷（2＋1）＋7＝38（只）

例2、買一些4分和8分的郵票，共花6元8角。已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少?gòu)垼?/font>

   分析與解答： 如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多。

 （680－8×40）÷（8＋4）＝30（張），即余下的郵票中，8分和4分的各有30張。

  因此8分郵票有40＋30＝70（張）.

答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張.

   另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”.

   例3、古詩(shī)中，五言絕句是四句詩(shī)，每句都是五個(gè)字；七言絕句是四句詩(shī)，每句都是七個(gè)字。有一詩(shī)選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個(gè)字。問兩種詩(shī)各多少首？

   分析與解答：如果去掉13首五言絕句，兩種詩(shī)首數(shù)就相等，此時(shí)字?jǐn)?shù)相差

      5×4×13＋20＝280（字）.

      每首字?jǐn)?shù)相差：7×4－5×4＝8（字）.

      因此，七言絕句有：280÷8＝35（首）.

      五言絕句有：35＋13＝48（首）.

答：五言絕句48首，七言絕句35首.

      對(duì)于上述例1、例2和例3三個(gè)問題，我們也可以像前面兩篇博文那樣解答，假設(shè)都是兔，或者都是雞。如下面的做法：

 例1假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是（100×4－28）÷（4＋2）＝62（只）

例2假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是（680－8×40）÷（8＋4）＝30（張）.

例3假設(shè)都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是（20×13＋20）÷（28－20）＝35（首）.

 請(qǐng)大家注意觀察剛才列出的三個(gè)算式，把它們與“雞兔同籠”公式（可點(diǎn)擊本文開始列舉的兩篇查看）對(duì)照一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)非常有趣的事。這三個(gè)算式與“雞兔同籠”公式比較，只是有一處“－”成了“＋”。其奧妙何在呢？當(dāng)你繼續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)，就會(huì)明白了。

根據(jù)上面的探討，請(qǐng)你想一想，下面這道題屬于“雞兔同籠”同一類型的問題嗎？

題目：有一輛貨車運(yùn)輸2000只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運(yùn)費(fèi)，還要每只賠償1元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元，問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只？

解：如果沒有破損，運(yùn)費(fèi)應(yīng)是2000×0.2＝400元。但破損一只要減少1＋0.2＝1.2（元）.因此破損只數(shù)是（400－379.6）÷（1＋0.2）＝17（只）.

答：這次搬運(yùn)中破損了17只玻璃瓶。

玻璃廠委托運(yùn)輸公司運(yùn)2000塊玻璃,每塊0.4元,損壞1塊賠償7元,共得711.2元,損壞多少塊?

優(yōu)酷05:05

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