從古典到現(xiàn)代的數(shù)學(xué) | 菲爾茲獎(jiǎng)得主吳寶珠談平面幾何在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的意義

taotao_2016 2022-05-24 發(fā)布于遼寧

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【譯者按】本文刊發(fā)于《π 雜志》發(fā)刊號(hào)頭版專欄《從古典到現(xiàn)代的數(shù)學(xué)》。在本文中作者吳寶珠簡(jiǎn)單地解釋了如何從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的視角來(lái)觀察古老的平面幾何，或者反之，如何從古老的平面幾何“鏈接”到現(xiàn)代的幾何思想。數(shù)學(xué)史的主流是概念體系的演變，是思想的進(jìn)化，這一點(diǎn)在中國(guó)的數(shù)學(xué)教育中體現(xiàn)得非常之弱，不能不說(shuō)是個(gè)巨大的遺憾。希望這一系列精心寫作精心翻譯的短文有助于彌補(bǔ)這個(gè)缺憾。

數(shù)年前潘老師建議我將這一系列文章翻譯出來(lái)，今天終于可以交上二十分之一的差了。

平面上的變換

歐氏平面幾何的研究對(duì)象是平面上的點(diǎn)、線與圓，及其相對(duì)位置關(guān)系。19世紀(jì)末，在F. 克萊因, B. 黎曼, H. 龐加萊……的革命性思想的影響下，幾何學(xué)在形式與內(nèi)容兩方面都經(jīng)歷了深刻的轉(zhuǎn)變。幾何學(xué)的對(duì)象不再是點(diǎn)與線，而是變換群及其不變量。

歐氏幾何中那些人所熟知的直線與圓的問(wèn)題和高等數(shù)學(xué)中變換的問(wèn)題之間是有聯(lián)系的，但在高等數(shù)學(xué)教程中，這種聯(lián)系常常被人們忽視。本文旨在闡釋這種聯(lián)系。

為了理解本文，讀者需要具備線性代數(shù)的某些基本概念，知道群的定義。

1. 仿射變換

歐氏幾何的平面可以用實(shí)數(shù)域上的二維向量空間來(lái)建模。平面上的每個(gè)點(diǎn) 都由其坐標(biāo) 所確定，其中是兩個(gè)實(shí)數(shù)。原點(diǎn)記為。直線對(duì)應(yīng)于中由形如的方程所定義的子集，其中都是實(shí)數(shù)。方程定義的直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) 。

本節(jié)關(guān)心的變換是把直線變成直線的雙射。所有這樣的變換組成一個(gè)群，因?yàn)閷?duì)于給定的兩個(gè)變換和我們總有其合成變換。

根據(jù)定義，兩條平行直線不相交，因此它們?cè)谧儞Q下的像仍然是兩條平行直線。同理，每個(gè)變換都把平行四邊形變成平行四邊形。如果固定原點(diǎn)，也即，那么就必須是上的線性變換。上的線性變換形如

其中為實(shí)數(shù)，且。

如上的二階實(shí)方陣全體所成的集合關(guān)于矩陣乘法是一個(gè)群，記為。兩個(gè)變換的合成對(duì)應(yīng)于兩個(gè)矩陣的乘積。

未必固定原點(diǎn)的變換是如上所示與組成的方陣對(duì)應(yīng)的線性映射復(fù)合上沿著某個(gè)向量的平移：

仿射變換，視頻來(lái)自Leios Labs

因此，變換可以用一個(gè)矩陣與一個(gè)向量來(lái)確定，對(duì)于所有，的公式為：

如此說(shuō)來(lái)變換群就是兩個(gè)群的直積嗎？注意，中的合成法則比直積的合成法則略微復(fù)雜一些：若且，則有

以上公式表明，仿射變換群是個(gè)半直積

的每個(gè)元素可以表示為一個(gè)有序?qū)?span>，其中，，合成法則由公式

給出。

僅僅牽涉到點(diǎn)、線與平行概念的平面幾何定理，諸如泰勒斯定理、塞瓦定理、梅涅勞斯定理……都可以歸約到仿射變換群的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。

在本文中，我們略過(guò)這一部分，而直接前進(jìn)到平面幾何更有趣的部分，那里可以考慮角度與圓的概念。角度與圓的存在對(duì)應(yīng)于的一個(gè)子群：保角變換群。

2. 平面保角變換

加入距離的概念之后平面幾何變得更加有趣。從點(diǎn) 到原點(diǎn) 的距離由勾股定理給出：

除了直角坐標(biāo) ，我們也可以用極坐標(biāo) 來(lái)確定平面上的點(diǎn) ，其中，是從射線到射線的有向角。從極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)，我們有公式：

如果變換固定原點(diǎn)，保持距離與有向角，那么必然是圍繞著原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。關(guān)于原點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)角度為的旋轉(zhuǎn) 是如下的線性變換：

把旋轉(zhuǎn)的復(fù)合公式

寫成矩陣乘法的形式，算一下，我們就得到以下熟知的三角學(xué)公式：

所有旋轉(zhuǎn)矩陣組成一個(gè)群，記為，這個(gè)群同構(gòu)于單位圓上的點(diǎn)組成的群。

更一般地，固定原點(diǎn)并保持有向角的變換就是旋轉(zhuǎn) 復(fù)合上以正實(shí)數(shù) 為位似比，以原點(diǎn)為位似中心的位似變換。可見(jiàn)所有固定原點(diǎn)的保角變換所成之群是

保角變換在平面上的作用可以借助于復(fù)數(shù)得到方便的描述。對(duì)于實(shí)平面上具有坐標(biāo) 的點(diǎn)，指定為與之對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，這樣就把實(shí)平面與復(fù)數(shù)集等同起來(lái)。那么固定原點(diǎn)的保角變換所成之集合就是

其中圍繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn) 相應(yīng)于復(fù)數(shù) ，位似比為的位似變換相應(yīng)于復(fù)數(shù) ，二者的合成就相應(yīng)于復(fù)數(shù) 。在上的作用由復(fù)數(shù)乘法給出。從而全部保角變換所成之集合就是如下半直積：

每個(gè)元素都以的形式作用在上。

在將歐氏平面等同于復(fù)數(shù)集合之后，保角變換群就可以等同于群，我們就能透過(guò)不變量理論的棱鏡來(lái)重新審視平面幾何的基本性質(zhì)。

在上作用的基本不變量是單比

的確，對(duì)于任意，使用公式易見(jiàn)

直線與點(diǎn)的基本性質(zhì)都可以通過(guò)單比簡(jiǎn)明扼要地表達(dá)出來(lái)：

· 三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)單比為實(shí)數(shù)：

· 兩條射線與成直角當(dāng)且僅當(dāng)單比為純虛數(shù)：

· 三點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺帕谐梢粋€(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)

其中是三次本原單位根。易見(jiàn)，這也等價(jià)于

歐拉線，圖片來(lái)自維基百科

我們可以試著應(yīng)用以上觀察，通過(guò)復(fù)數(shù)來(lái)證明幾條簡(jiǎn)單的幾何定理。一個(gè)典型的例子是歐拉線定理：三角形的垂心、形心（譯者注：中國(guó)中學(xué)教科書(shū)中習(xí)稱“重心”，不甚妥）與外心三點(diǎn)共線（譯者注：這條線就稱為“歐拉線”，九點(diǎn)圓的圓心也在歐拉線上）。使用保角變換我們可以假定三角形的三個(gè)頂點(diǎn)落于單位圓上，分別對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù) 。那么其外接圓的圓心就是復(fù)數(shù) 。三角形的形心就是復(fù)數(shù) 。運(yùn)用直角的單比判據(jù)，可見(jiàn)三角心的垂心是復(fù)數(shù) 。我們發(fā)現(xiàn)形心，垂心，外心三點(diǎn)共線，形心位于外心與垂心之間，并且所分線段之比總是。

歐拉線，視頻來(lái)自Sipnayan

3. 復(fù)比

復(fù)比，視頻來(lái)自愛(ài)數(shù)者

比單比的概念還要重要的概念是復(fù)比（譯者注：也稱“交比”，為了與“單比”形成對(duì)稱，本譯文中采用通常較少使用的“復(fù)比”譯名），也即兩個(gè)單比之比：

可以證明，復(fù)比為實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線或共圓。事實(shí)上，取通過(guò) 與的直線，那么標(biāo)準(zhǔn)復(fù)比（譯者注：置換這四個(gè)點(diǎn)就得到復(fù)比的其他定義方式，所謂“標(biāo)準(zhǔn)復(fù)比”是指如同上述公式定義的復(fù)比，詳見(jiàn)下文）為實(shí)數(shù)就對(duì)應(yīng)于以下三種情形：

1. 落在直線上;

2. 落在直線的同一側(cè)，且與對(duì)線段所張的視角相等；

3. 落在直線的兩側(cè)，且與對(duì)線段所張的視角互補(bǔ)。

置換四個(gè)點(diǎn) ，復(fù)比就會(huì)變成以下六個(gè)復(fù)數(shù)之一：。（譯者注：4個(gè)點(diǎn)的所有置換共24個(gè)，但是復(fù)比在任意兩對(duì)點(diǎn)同時(shí)對(duì)換時(shí)保持不變，也就是說(shuō)每4個(gè)置換給出同一個(gè)復(fù)比值，于是24個(gè)置換最多給出6個(gè)不同的復(fù)比值。但這6個(gè)復(fù)比值仍有可能發(fā)生進(jìn)一步的重合，可能只有3個(gè)不同的值，也可能只有2個(gè)。）顯然，如果這6個(gè)數(shù)其中之一是實(shí)數(shù)，那么另外5個(gè)數(shù)就也都是實(shí)數(shù)。雖然這個(gè)評(píng)論是平凡的，但讀者應(yīng)當(dāng)留意到平面幾何問(wèn)題中一個(gè)相當(dāng)常用的技巧是對(duì)不同的角的對(duì)運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的判別法則。這個(gè)技巧相當(dāng)于對(duì)換點(diǎn)的位置之后計(jì)算復(fù)比。

圓反演，視頻來(lái)自Double Donut

復(fù)比是比平面保角變換更一般的一類變換的不變量，這一類變換的典型例子是初等幾何中的反演。反演把圓變成圓或直線，因此是初等幾何中極富趣味的工具。反演的特征之一是它把反演中心變到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。映射是典型的反演。

曼得博集合的反演，圖片來(lái)自維基百科

反演是莫比烏斯變換群的元素。這個(gè)群作用在復(fù)射影直線上。群可以看作群的子群，作為的子群，由中固定的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的那些元素組成，因此如同已知的那樣作用在上。

黎曼球面，視頻來(lái)自美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)

我們把中的點(diǎn)理解為復(fù)數(shù)域上二維向量空間中的一維子空間。每條這樣的復(fù)直線都是由一個(gè)非零向量生成的。因此，中的一點(diǎn)可以看作向量的一個(gè)等價(jià)類，等價(jià)關(guān)系定義為：當(dāng)且僅當(dāng)存在使得且。我們把這個(gè)等價(jià)類記作

若坐標(biāo) ，我們就有，因此的每個(gè)滿足坐標(biāo) 的點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于恰好一個(gè)復(fù)數(shù) 。還剩下一個(gè)坐標(biāo) 的點(diǎn)，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，記為。

的線性變換群是所有復(fù)系數(shù)的二階可逆矩陣關(guān)于通常的矩陣乘法所成之群

這個(gè)群按照公式

作用在上。

因?yàn)榧兞烤仃?/span>

其中，平凡地作用于，所以全體莫比烏斯變換所成之群是群

的固定無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的子群相應(yīng)于所有的矩陣，因此正是群。群是復(fù)射影直線的保角變換群。

莫比烏斯變換，視頻來(lái)自djxatlanta

4. 結(jié)論

平面上所有幾何問(wèn)題都可重述為關(guān)于單比，也即復(fù)直線的保角變換群的不變量，或者關(guān)于復(fù)比，也即復(fù)射影直線的保角變換群的不變量的問(wèn)題。原則上說(shuō)，所有幾何問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為不變量理論的問(wèn)題，因此可以運(yùn)用不變量理論得到算法式的解決。比起初等幾何方法來(lái)，這種解法有時(shí)更簡(jiǎn)單，但常常更繁瑣，也不那么有趣。事實(shí)上，初等幾何式的解答過(guò)程也可以翻譯成不變量理論，翻譯之后就是一連串多少有點(diǎn)技巧的不變量計(jì)算。這樣的解答當(dāng)然會(huì)比算法式的機(jī)器解答更加緊湊，但是可以解決所有初等幾何問(wèn)題的機(jī)器算法的存在性本身就使得這個(gè)方向失去了它的內(nèi)在魅力。

現(xiàn)代幾何學(xué)研究得更多的是關(guān)于李群，例如群，與齊性空間，例如復(fù)射影直線，以及其上李群的可遷作用。

原文刊于《π 雜志》2017年1月號(hào)

莫比烏斯變換，視頻來(lái)自Mathemaniac

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