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奇奇怪怪的方式過年，奇奇怪怪的數(shù)學(xué)之旅，我們繼續(xù)奇奇怪怪的饕餮盛宴。今日帶來的是“狄利克雷函數(shù)”，一個定義在實數(shù)范圍內(nèi)，值域不連續(xù)的函數(shù)。狄利克雷函數(shù)并非天外來物，它的基本性質(zhì)——奇偶性、周期性、值域等早已是高考的座上賓。狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，它的確很奇怪：處處不連續(xù)、處處不可導(dǎo)、黎曼不可積，但卻是可測函數(shù)。高考是大學(xué)教授命題，不滲透點高等數(shù)學(xué)的知識，怎么能檢測你是否具備深造的資質(zhì)。當(dāng)然，這里的滲透并非強行介入，而是以此為背景，考查的對象依舊是高中的內(nèi)容。給出這樣一個嚇人的名字，無非是勸退那些沒有勇氣的膽小鬼。是夜郎自大，還是目中無人？是目空一切，還是唯我獨尊？想必都不是，你要的是百折不撓、勇猛精進。好，我們開始：本題是一道有意思的題，但卻不是一道難題。多選嘛，依次逐一判斷即可。判對，嚴格推理證明；判誤，只需一個反例。約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷，十分冗長而拗口的名字，這在個人看來。他是德國數(shù)學(xué)家，對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和物理學(xué)都有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人。狄利克雷函數(shù)如同他的名字一般古怪，因此，高等數(shù)學(xué)中有一個專門的符號來表示：該函數(shù)的自變量是有理數(shù)與無理數(shù)參雜，函數(shù)值是0和1交替。因此，我們無法繪制它的圖像，也就無法直觀窺視它的芳容。如果非要一睹為快，在宏觀角度下，就是上圖那樣。但這并非它的真實面目，因為這兩條直線不是連續(xù)的，而是充滿了許多小洞。換言之，就是函數(shù)值永遠在0和1之間來回波動，所以不存在極限。狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)，打破了以往數(shù)學(xué)家研究具體函數(shù)的常規(guī)，數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻變化。數(shù)學(xué)的一些人造特征開始展現(xiàn)出來，這種思想標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究運算轉(zhuǎn)到研究概念和性質(zhì)上。因此，狄利克雷被譽為數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人。
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