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有關(guān)素數(shù)的猜想:從歐幾里得到朗道-西格爾

 老夫不請自來也 2022-12-22 發(fā)布于湖北

作者:張?zhí)烊?/a>

最近,網(wǎng)上熱傳美籍華裔數(shù)學(xué)家張益唐可能已經(jīng)攻克了與黎曼猜想相關(guān)的朗道-西格爾零點猜想,這個消息引起了數(shù)學(xué)界的震動。早前,筆者曾經(jīng)介紹過黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及張益唐對孿生素數(shù)猜想所做的工作,現(xiàn)結(jié)合朗道-西格爾猜想,再簡要總結(jié)一下這幾個“數(shù)論”猜想的來龍去脈以及它們之間的關(guān)系。

素數(shù)指的是只能被1和它自身整除的大于1的自然數(shù),它是數(shù)論的研究對象。素數(shù)是否無限多?它在自然數(shù)中是如何分布的?對數(shù)學(xué)家而言,這些貌似簡單的素數(shù)問題卻魅力無窮。這些簡單問題牽涉甚廣,研究時會涉及到許多領(lǐng)域,推動著數(shù)學(xué)研究多方面的發(fā)展。

1. 素數(shù)無限多嗎?

首先列出幾個后面要用到的、與素數(shù)有關(guān)的簡單結(jié)論或概念。

有關(guān)素數(shù)的第一個猜想應(yīng)該是2300多年前的歐幾里得提出的“素數(shù)無限多”的命題。并且,歐幾里得用反證法給出了最簡單的證明。除此之外,古希臘還有一個在n不大情況下實用的埃氏素數(shù)篩法,即可以簡單地把不大于n的所有素數(shù)的倍數(shù)剔除,從而“篩出”自然數(shù)n以內(nèi)的全部素數(shù)(見下圖)。

1:a)證明“素數(shù)無窮多”的反證法;b)埃氏篩法(n=18)

歐幾里得之后差不多過了兩千年,偉大的數(shù)學(xué)家歐拉(1707-1783)對素數(shù)問題作了很多工作,包括證明素數(shù)無限多,研究與素數(shù)分布相關(guān)的種種問題。例如,歐拉曾經(jīng)研究如下的無窮級數(shù):

                                                                 1)

這個級數(shù)實際上是s的函數(shù),后來被稱為ζ函數(shù)。歐拉一開始自然先考慮s為正整數(shù)。當(dāng)s=1時,就是我們熟悉的不收斂的調(diào)和級數(shù);若s>1,該級數(shù)收斂,比如s=2時稱為巴塞爾級數(shù),歐拉發(fā)現(xiàn)巴塞爾級數(shù)的無限項求和結(jié)果是π2/6。

歐拉將調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性與“素數(shù)無限多”的問題聯(lián)系起來,得到了一個驚人的結(jié)論:所有素數(shù)的倒數(shù)之和類似于調(diào)和級數(shù)一樣地發(fā)散。

                                                2)

歐拉證明了上面的結(jié)果,也就證明了“素數(shù)無限多”,因為有限的序列之和不可能是發(fā)散的。由此開始,歐拉又通過研究ζ函數(shù)來研究質(zhì)數(shù),竟得到兩者的神奇關(guān)系:ζ函數(shù)等于一個與所有質(zhì)數(shù)相關(guān)的乘積!即下面這個看起來有點奇怪的“歐拉乘積公式”:

                                                                 3)

等式左邊是所有自然數(shù)n的冪次倒數(shù)的無窮求和,而右邊是遍歷所有素數(shù)p的一個無窮乘積。這個公式通過復(fù)數(shù)s,將自然數(shù)n(n=1,2,3,4,5,...)與素數(shù)p(p=2,3,5,7,11,...)聯(lián)系起來。所以從歐拉乘積公式也可以間接地證實存在無窮多個素數(shù)。

如上所述,已有多種方法證明素數(shù)有無窮多個。但是,素數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律卻一直是數(shù)學(xué)家的困惑。如果一個個看素數(shù),它們在自然數(shù)中的出現(xiàn)沒有什么規(guī)律,若總體地看,素數(shù)的個數(shù)竟然有規(guī)可循。


對付素數(shù),最笨的辦法就是把它們一個一個列出來。如上圖所示,列出了比100小的所有素數(shù),雖然看不出素數(shù)之間什么規(guī)律,但我們可以采取一個笨辦法:數(shù)素數(shù)的個數(shù),看看小于某一個數(shù)的素數(shù)有多少個。如小于10的素數(shù)有4個,小于20的素數(shù)有8個,小于50的素數(shù)有15個,……。于是,數(shù)學(xué)家為此定義了一個函數(shù),叫做素數(shù)計數(shù)函數(shù),記作π(x),所以π(10)=4,π(20)=8,等等。更進(jìn)一步,可以把函數(shù)的圖像畫出來:

2:素數(shù)計數(shù)函數(shù)

根據(jù)π(x)的函數(shù)圖,數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了素數(shù)個數(shù)增長的整體規(guī)律,稱為“素數(shù)定理”:

                                                                4)

(4)式是素數(shù)定理的粗略表達(dá)式,其中 ln x 為 x 的自然對數(shù)。素數(shù)定理的意味著當(dāng)x 趨向無限時,π(x)與x/ln x的比值趨近于1,但這并不表示它們的數(shù)值隨著 x 增大而真正接近。

素數(shù)分布近似符合lnx倒數(shù)形式首先是歐拉猜想的,由勒讓德最后得到素數(shù)定理。50年后,高斯在一封信中說他在少年時代就猜出了這個結(jié)果,所以素數(shù)定理也叫勒讓德-高斯定理。

       2. 黎曼猜想

高斯要比歐拉晚生70年,黎曼(1826-1866)則是高斯的學(xué)生,可惜黎曼早逝于39歲。黎曼數(shù)學(xué)思想深刻,成果累累,據(jù)說當(dāng)年高斯想試試?yán)杪降子卸嗦斆?,便讓他從分析轉(zhuǎn)做幾何,沒想到黎曼一上手便出人意料地創(chuàng)立了黎曼幾何。黎曼猜想則是他后來繼續(xù)歐拉沒有完成的ζ函數(shù)研究所提出的。黎曼首先將歐拉的ζ函數(shù)(1)解析延拓到幾乎整個復(fù)平面(除s=1)。解析延拓就是將函數(shù)的定義域解析地擴(kuò)大到原來不能應(yīng)用的數(shù)域,即擴(kuò)大到所有的復(fù)數(shù)s,ζ函數(shù)都有定義,但在s等于1的地方有一個不解析的、留數(shù)等于1的簡單極點。解析延拓后的ζ函數(shù)叫做“黎曼ζ函數(shù)”。

黎曼ζ函數(shù)與素數(shù)有直接聯(lián)系。根據(jù)歐拉乘積公式(3),當(dāng)s的實部大于1時,它是一系列自然數(shù)冪次的倒數(shù)和,同時又是與所有素數(shù)有關(guān)的某種乘積。因此,通過對黎曼ζ函數(shù)的研究會得到很多素數(shù)方面的信息,例如素數(shù)定理(4)就是在1896年通過對黎曼ζ函數(shù)的研究而第一次被證明的(注:之后1949年有人給出了不用黎曼ζ函數(shù)的初等證明)。很多數(shù)學(xué)家意思到,關(guān)于素數(shù)更精確的信息應(yīng)該在于進(jìn)一步對黎曼ζ函數(shù)零點的研究。

黎曼發(fā)現(xiàn)素數(shù)出現(xiàn)的頻率與ζ函數(shù)的零點分布緊密相關(guān)。

1859年,黎曼當(dāng)選為柏林科學(xué)院通訊院士,他值此提交了8頁紙的論文報告《論小于某給定值的素數(shù)個數(shù)》。在論文中,他提出了黎曼猜想。這個猜想是數(shù)論中與素數(shù)相關(guān)的至今未解的重要難題。

 

3:黎曼ζ函數(shù),將歐拉ζ函數(shù)解析延拓到整個復(fù)數(shù)平面

解析延拓后的黎曼ζ函數(shù),不能完全由公式(1)描述,例如,在某些區(qū)域,可以用下式來表達(dá):

                                                 (5)

黎曼注意到ζ函數(shù)的零點有兩種。s=-2,-4,-6,-8,…,ζ函數(shù)為零,黎曼把這些稱之為平凡零點。黎曼稱其它的零點為非平凡零點,素數(shù)頻率與非平凡零點有關(guān)。非平凡零點到底在哪里?這個問題顯得復(fù)雜,黎曼也沒有準(zhǔn)確的結(jié)論,因此他提出了如下尚證明的“黎曼猜想”:

            所有的非平凡零點都在實部等于1/2的那條垂直線上!

貌似輕松平淡的一個猜想,令無數(shù)數(shù)學(xué)家們努力到如今,已經(jīng)163年過去仍未獲得解決。當(dāng)然,也有所進(jìn)展,而且從進(jìn)展過程能看出這個問題的重要性,同時也能看出黎曼的深厚功夫和超凡的能力。

黎曼論文有三個命題。1. 非平凡零點的實部大于0但小于1; 2. 所有非平凡零點幾乎都位于實部為1/2的直線上; 3. 黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點都位于實部為1/2的直線上。

數(shù)學(xué)家在46年后才對黎曼認(rèn)為是顯而易見的第一命題給出證明;黎曼表示自己證明了第二命題,但沒有簡化到可以發(fā)表,迄今為止第二第三命題都沒有被證明出來。人們也試圖尋找具體的非平凡零點同樣是十分困難,在猜想公布44年后,數(shù)學(xué)家才第一次算出了前15個非平凡零點,又過了20年,算出了前138個零點。數(shù)學(xué)家西格爾在黎曼手稿中發(fā)現(xiàn)了73年前黎曼計算非平凡零點的一個公式(后來稱黎曼-西格爾公式),西格爾找到這個公式后,4年內(nèi)算出了1000多個非平凡零點?,F(xiàn)在,數(shù)學(xué)家們用這公式借助計算機(jī),驗證了超過200億個非平凡零點,這些找到的所有零點,其實部全部都是0.5,無一例外。

3. 張益唐和孿生素數(shù)猜想

張益唐最近宣稱的進(jìn)展正是與上述黎曼猜想密切相關(guān)。此前,他在研究另一個素數(shù)問題“孿生素數(shù)猜想”做出了突破性的工作。

什么叫孿生素數(shù)?就是兩個素數(shù)相差2,例如3和5,5和7,等等。兩千年前,歐幾里得在證明素數(shù)的個數(shù)是無窮多的同時,歐幾里得也思考:孿生素數(shù)是否也是無窮多呢,但他沒有給出證明。這就是孿生素數(shù)猜想:

“有無窮個素數(shù)對(p1, p2),滿足p1-p2=2”

4:孿生素數(shù)猜想

張益唐是曾在中國受數(shù)學(xué)教育的美籍華人,他迷戀素數(shù)卓爾不群、橫空出世一鳴驚人。張益唐坎坷學(xué)術(shù)道路成為傳奇。他在美博士畢業(yè)后未得教職,打工七年歷經(jīng)艱辛,送過外賣,端過盤子,也做過會計,后來在一個小學(xué)校教數(shù)學(xué),然而唯有他那滿腦袋的奇思妙想不忘初心探索孿生素數(shù)問題。58歲時終于大器晚成,一舉成名天下知。

張益唐其實并沒有完全解決孿生素數(shù)猜想。他證明了什么呢?按理應(yīng)該證明“存在無窮多個差值等于 2  的素數(shù)對”,而張益唐證明的是:“存在無窮多個差值小于7000萬的素數(shù)對”。也就是說,張益唐證明的是比原來猜想更 “弱”一點的命題。原來命題中的差距是2,但這個差距可以放寬,張益唐的工作意味著:如果將間隔放寬到7000萬,他就證明出來了。然后呢?然后可以再減小間隔縮小包圍圈,如果能一直縮到2,就證明了原來的猜想!

讀者可能感覺到7000萬 vs 2還差十萬八千里!但在張益唐這個結(jié)論之前,這個問題是沒有上限的,即上限為無限大,張益唐將無限大用有限的7000萬 代替,這是里程碑式的進(jìn)步。后來,陶哲軒等將此上限不斷降低,張益唐提交證明之后,上限已降至246。

4. 狄利克雷L函數(shù)

研究自然數(shù)中的素數(shù)分布,也有數(shù)學(xué)家研究算術(shù)(等差)級數(shù)中所包含的素數(shù)。因為大于 2 的素數(shù)都是奇數(shù),所以,等差數(shù)列 {1+2k,k=1, 2, 3…} 中包括了除2之外的所有素數(shù),或者說這樣的等差數(shù)列中包含了無窮多個素數(shù)。德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(1805—1859)的“狄利克雷定理”,說的就是關(guān)于算術(shù)級數(shù)中的素數(shù)問題。狄利克雷最早將解析的方法用于解決數(shù)論問題,稱為解析數(shù)論。狄利克雷等在解析數(shù)論領(lǐng)域發(fā)展了一整套工具去研究某些函數(shù)的零點問題,包刮應(yīng)用于哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)猜想等,也用于關(guān)于素數(shù)分布等問題上。為了證明“狄利克雷定理”,狄利克雷1837年引進(jìn)了狄利克雷L函數(shù)。

狄利克雷L函數(shù)可以看作是黎曼ζ函數(shù)的推廣:

                

相較于黎曼ζ函數(shù)而言,狄利克雷L函數(shù)將求和中的每一項都乘了一個c (n),稱為狄利克雷特征。狄利克雷特征c (n)有下列性質(zhì):

1. 存在正整數(shù)k使得對于任意n都有χ(n) = χ(n+k);

2. 對于任意m,n,χ(mn) = χ(m) χ(n)

3. χ(1)=1

其中第1條說明c (n)是以k為周期循環(huán)的;第2條說明它是積性函數(shù);第3條給出了c (1)=1時狄利克雷L函數(shù)成為黎曼ζ函數(shù),這就保證了L函數(shù)的確是ζ函數(shù)的推廣。通俗的說:滿足這三條性質(zhì)的狄利克雷特征是一組函數(shù)c (n),函數(shù)的定義域是自然數(shù),值域可以被限制在只有三種可能:0, 1和-1。

狄利克雷L函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)不同的是,后者是一個函數(shù),前者是一組(可以有無窮多個)函數(shù),只有當(dāng)?shù)依死滋卣魅珵?時,才簡化為黎曼ζ函數(shù)。所以黎曼ζ函數(shù)是狄利克雷L函數(shù)的特殊情況,也是最簡單的一個情形。

狄利克雷L函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)有許多方面相似,可以互相對應(yīng)。比如,狄利克雷L函數(shù)的零點也有平凡與非平凡之分,非平凡零點也全都位于0<Re(s)<1的帶狀區(qū)域(即臨界帶)內(nèi)。對應(yīng)于黎曼ζ函數(shù)的黎曼猜想,相應(yīng)地便有狄利克雷L函數(shù)的廣義黎曼猜想。

5. 廣義黎曼猜想

由于狄利克雷L函數(shù)是黎曼ζ函數(shù)的推廣,所以廣義黎曼猜想同樣是黎曼猜想的推廣。

黎曼猜想:黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點都位于復(fù)平面上Re(s) =1/2的直線上。

廣義黎曼猜想:狄利克雷L函數(shù)的所有非平凡零點都位于復(fù)平面上Re(s) =1/2 的直線上。

如果證明了廣義黎曼猜想,也就證明了黎曼猜想,但反過來不成立,即否定了廣義黎曼猜想,不能肯定黎曼猜想不成立

原來對ζ函數(shù)的歐拉乘積公式(3):

                                 

對應(yīng)的狄利克雷L函數(shù)應(yīng)該寫成:

                                       (6)

研究狄利克雷L函數(shù)的零點分布,不僅對于破解廣義黎曼猜想和黎曼猜想有用,也可能對解決哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)猜想等都有所幫助。

       6. 朗道-西格爾零點問題

       黎曼猜想和廣義黎曼猜想都尚未被證明,但大多數(shù)的數(shù)論學(xué)家都認(rèn)為猜想是成立的,即ζ函數(shù)或L函數(shù)的所有非平凡零點都位于復(fù)平面上實部等于 ?的直線上。朗道(1877-1938)和西格爾(1896-1981),是兩位德國數(shù)學(xué)家,朗道是西格爾的導(dǎo)師。他們對狄利克雷L函數(shù)的非平凡零點進(jìn)行了深入的研究,發(fā)現(xiàn)滿足特殊性質(zhì)時其對應(yīng)的L函數(shù)可能出現(xiàn)位置異常的零點,難以避免。位置異常的意思是說,這種可能的零點不是位于實部1/2的那條直線上,而是在非??拷?的地方。這種零點就被稱為朗道-西格爾零點(或西格爾零點)。不過,他們也證明了對于狄利克雷L函數(shù),這樣的零點頂多只有一個,實部很接近1。

       也就是說,“朗道-西格爾零點”被定義為廣義黎曼猜想的反例,而斷言此類零點不存在的猜測就被稱為朗道-西格爾猜想。

       如果這個朗道-西格爾零點真存在的話,廣義黎曼假設(shè)就錯了,所以事實上,數(shù)學(xué)家們努力探索西格爾零點問題,就是企圖證明這樣一個零點不存在。

       目前,張益唐的論文尚未上線,不知道他是證明了西格爾零點存在還是不存在?一般估計應(yīng)該是不存在,否則就否定了廣義黎曼猜測,實在太難以想象!當(dāng)然,即使論文發(fā)表了,正確與否,能否得到同行的接受,還需要長長的審核時間。但不管結(jié)果朝向哪個方面,都將是令人興奮值得期待的重大突破。

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