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剛剛在北大!近50年最偉大的數(shù)學(xué)家誕生?張益唐講解火熱出爐!本質(zhì)上已證明「零點(diǎn)猜想」

 阿明哥哥資料區(qū) 2022-11-08 發(fā)布于上海


今日,張益唐現(xiàn)身北大,在B站的直播平臺(tái)上,給廣大網(wǎng)友上了一堂大師級數(shù)學(xué)課,而授課內(nèi)容就是:關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想問題。(文末附有B站直播錄制地址)

此前有熟知數(shù)學(xué)的網(wǎng)友評價(jià),如果該成果被證實(shí),張益唐有望成為“前后50年最偉大的數(shù)學(xué)家,沒有之一”,并將改寫數(shù)學(xué)歷史?。蓞⒖磧?nèi)容《震撼!華裔數(shù)學(xué)家被曝已證明黎曼猜想,或成為近50年最偉大的數(shù)學(xué)家》)

本文是關(guān)于張益唐直播講解道-西格爾零點(diǎn)猜想問題證明的全網(wǎng)最全詳細(xì)解析,你看懂了嗎?歡迎在文末留言討論~

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一支馬克筆,一張小白板。
剛剛,張益唐教授現(xiàn)身北大,在B站的直播平臺(tái)上,給廣大網(wǎng)友上了一堂大師級數(shù)學(xué)課。
授課內(nèi)容大家都知道了,就是最近張教授剛剛?cè)〉玫男峦黄疲豪实?西格爾零點(diǎn)猜想問題。
這是張益唐親自對自己前不久的那篇論文的全面解析。
全程40分鐘,無廢話無尿點(diǎn),硬核知識(shí)拉滿,信息密度極大。
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文字實(shí)錄

首先,我得介紹一下這個(gè)問題本身。

雖然我的論文已經(jīng)掛到aXiv上了,但還是得介紹一下:什么叫朗道-西格爾零點(diǎn)呢?

對于這個(gè)狄利克雷L函數(shù),L(s,χ)的原始定義是這樣的:

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分子是χ(n)這個(gè)值,分母就是n的s次方。

此時(shí),我們只考慮s是個(gè)實(shí)數(shù)的時(shí)候,也就是說s=1的時(shí)候,它不等于0。那么s<1的時(shí)候,就是說比1稍微小一點(diǎn), 它有沒有可能等于0?

這個(gè)問題因?yàn)闋砍兜胶芏鄶?shù)論的東西,所以很重要,但始終沒有人能夠解決。

只考慮L(s,χ)不等于0的情況——

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如果s比1稍微小一點(diǎn),這個(gè)分母是比較可控的,c是個(gè)常數(shù)

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這是一個(gè)猜想,我們說這個(gè)猜想比黎曼假設(shè)要弱得多,至少是對L函數(shù)的黎曼猜想(廣義黎曼猜想)。廣義黎曼猜想是說這個(gè)S的實(shí)部大于1/2的話不等于0,但就只是很接近1的時(shí)候不等于0。

這個(gè)猜想本質(zhì)上說就是朗道-西格爾零點(diǎn)問題。

這個(gè)問題,就是要證明這樣的一類零點(diǎn)是不存在的(尤其是實(shí)零點(diǎn),虛零點(diǎn)還容易一點(diǎn))。

那么現(xiàn)在我們能做到什么程度呢?應(yīng)該說本質(zhì)上我們至少證明了這樣一個(gè)東西

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這個(gè)2024就像孿生素?cái)?shù)里面的情況一樣,是可以改進(jìn)的。

前兩天消息剛傳出來的時(shí)候,很多人不是做數(shù)學(xué)的,所以不理解這個(gè)朗道-西格爾零點(diǎn)問題解決的是什么,甚至有人以為就是證明了黎曼假設(shè)是錯(cuò)的。

這個(gè)我得說一句:我可沒有這個(gè)本事(笑)。我只是在一定范圍內(nèi)部分地證明了黎曼假設(shè)應(yīng)該是對的。如果說我推翻了黎曼假設(shè),那應(yīng)該是沒什么人會(huì)相信。

在這篇論文第二節(jié)的結(jié)尾,我引進(jìn)了三個(gè)proposition,都是不等式。這三個(gè)不等式合在一起后,如果說朗道-西格爾零點(diǎn)存在的話,就可以得出一個(gè)矛盾。

而這個(gè)講起來就是一個(gè)非常非常復(fù)雜的東西,要講清楚也不容易,但是我可以講一講,這里面它的一個(gè)基本思路,講一下它最后的歸結(jié)。最后就是歸結(jié)到這樣一個(gè)事情上——

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怎么會(huì)歸結(jié)到這個(gè)事情上呢?

對于一個(gè)有限的實(shí)數(shù)序列χn,怎么樣證明它并不是非負(fù)的?

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這就是要去證明其中有一個(gè)(至少有一個(gè))χn是小于0的。

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說起來這個(gè)問題是什么呢?有點(diǎn)不著邊際。

但事實(shí)上很有意思,在數(shù)論中,特別是解析中,很多東西可以歸結(jié)到這么一個(gè)問題。

于是我們就需要發(fā)展一個(gè)技巧,來證明這個(gè)東西是不等于0的。

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第一個(gè)例子,我們就說一個(gè)偶數(shù)N(一個(gè)比較大的偶數(shù)),我們用ρ(n)定義這個(gè)素?cái)?shù)的特征函數(shù),都是定義在正整數(shù)上。

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如果n是素?cái)?shù),ρ(n)等于1,如果n不是素?cái)?shù),ρ(n)就等于0。

就可以得到

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我們說這個(gè)序列會(huì)什么樣?

一般情況下,它可能等于1,也可能等于0, 但它有沒有可能是負(fù)的呢?

很明顯如果ρ(n)是負(fù)的,它必須等于-1,而且他負(fù)的充要條件是ρ(n)和ρ(N-n)都是素?cái)?shù)。這時(shí)候χn才可能是負(fù)的,正好等于-1。

很明顯,N永遠(yuǎn)是等于n+(N-n),也就是N就是一個(gè)素?cái)?shù)加上另外一個(gè)素?cái)?shù)。

就是說如果在這個(gè)序列(1<n<N)里,有某一個(gè)χn是小于0的話,充要條件是N是兩個(gè)素?cái)?shù)的和。

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所以哥德巴赫猜想最后就可以歸結(jié)到我們來構(gòu)建這樣一個(gè)有限序列,這里頭是不是有這么一個(gè)小于0的數(shù)?如果有的話,哥德巴赫猜想就是對的。

那么,是不是還有別的問題也是這樣呢?

其實(shí)假如我們對孿生素?cái)?shù)猜想給出一個(gè)弱結(jié)果,那么也會(huì)是這樣的,也就是造成這么一個(gè)χn。

它這個(gè)定義也是

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如果這里面有兩個(gè)是素?cái)?shù),那么χn就嚴(yán)格小于0;如果只有一個(gè)素?cái)?shù),那么就等于0;如果沒有就大于0。

所以在這樣一個(gè)序列里面,我們可以人為地把n的范圍給它確定,里面有沒有負(fù)的?這就是我們在孿生素?cái)?shù)研究下取得的突破。我們的出發(fā)點(diǎn)就是這個(gè)東西。

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話再說回來,怎么樣去證明某一個(gè)χn是小于0,我們就給出了一個(gè)很簡單的數(shù)列,哪怕里面有10000個(gè)數(shù),我們也可以寫出來這里面是不是有一個(gè)是負(fù)的,這很簡單。

但我們這里考慮的都是理論性的問題,N是一個(gè)很大的數(shù),怎么樣去定義這個(gè)東西等于0。

這是第一個(gè)例子。實(shí)際上它既包括了哥德巴赫猜想,也包括了孿生素?cái)?shù)弱結(jié)果的研究。

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第二個(gè)例子是一個(gè)純公式的例子,它跟我要做的事情是相關(guān)的。

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如果有一個(gè)Assumption,我們就假定ρ(n+1)>ρn+c——

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也就是說零點(diǎn)的間隔比c要大,那么我們也可以把它歸結(jié)成——

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其中,f(ρn+a) f(ρn+b)它一定是正的。

為什么這么說呢?因?yàn)殡S便一個(gè)ρn,從ρn到ρn+c之間,他一定沒有零點(diǎn)。而ρn+a和ρn+b一定在這段之間,因?yàn)閒是連續(xù)函數(shù),所以他們的乘積一定是大于等于0的。

所以如果我們要證明assumption是不對的,可能有零點(diǎn)的間隔比c要小。如果我能夠證明有一個(gè)χn是負(fù)的,只要證明它≤0,那這個(gè)assumption就錯(cuò)了。

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如果我想證明的話,我就得去弄。

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那么究竟我們需要怎么處理這個(gè)問題呢?

要證明有限的實(shí)數(shù)序列不是非負(fù)的,里面至少有一個(gè)是嚴(yán)格小于0的,怎么去證明呢?

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我們常用的處理方法是這樣:

我們找一組新的實(shí)數(shù)序列{yn},它要滿足兩個(gè)條件。第一:yn≥0,第二個(gè):∑xnyn<0。只要能找到這樣一組yn,這問題就解決了。

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那這里頭肯定有一項(xiàng)是嚴(yán)格小于0的,但yn是大于等于0,那么xn必須是小于0的。這就解決了傳統(tǒng)要去做的事情。

可是怎么去選yn呢?這就牽扯到整個(gè)篩法發(fā)展的歷史了。

最早是挪威數(shù)學(xué)家Brown在一個(gè)世紀(jì)前,應(yīng)該在1917、18年的時(shí)候他找到了一組yn。這組yn的表述是很復(fù)雜的,但滿足這類條件。

然后他用這個(gè)條件能推出9+9,在當(dāng)時(shí)來講是不可思議的,是一個(gè)驚人的構(gòu)造。

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后來,到了20世紀(jì)40年代末,另外一個(gè)挪威數(shù)學(xué)家叫塞爾伯格,他想得就比較簡單,他說干脆我就去構(gòu)造一組實(shí)數(shù)序列zn,zn是實(shí)數(shù)就行,沒有任何限制。

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然后把yn取成zn平方,于是第一個(gè)條件就自然滿足了——實(shí)數(shù)的平方必然是大于等于0的。

于是問題就變成了,能不能得出下式小于0?

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這里要牽扯到孿生素?cái)?shù)猜想最近的進(jìn)步,特別是梅納德最近的貢獻(xiàn)(他最近得了菲爾茲數(shù)學(xué)獎(jiǎng))。

xn的取值與孿生數(shù)有關(guān),我們希望這里面至少有一個(gè)是負(fù)的,然后是求和。

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在我之前有三個(gè)數(shù)學(xué)家,他們找到一組zn,能夠證明這個(gè)和非常切近0,并且可以做到讓ε任意小。

但是小于0這一步他們怎么也跨不過去。

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而這里的主要障礙就是,他們要用到素?cái)?shù)在等差級數(shù)里的分布,那里頭有個(gè)限制就是有一個(gè)exponent指數(shù),它不能超過1/2,否則余項(xiàng)就控制不住。

于是他們就跨在這個(gè)邊上,用他們的話來說差一根頭發(fā)絲就能跨過去了,但這個(gè)頭發(fā)絲就沒跨過去。

然后再下一步是我的工作:

我的工作從單獨(dú)意義上來講,在等差級數(shù)分布的問題上,應(yīng)該是第一次突破了指數(shù)等于1/2的界限,就是說可以把這個(gè)指數(shù)取到比1/2再大一點(diǎn)。但我用的zn基本上還是他們引進(jìn)的。

后來梅納德就把這個(gè)問題改進(jìn)了一大步,他引進(jìn)了一種新的zn,最后能夠證出這個(gè)孿生素?cái)?shù)的弱形式,最后我們都是歸結(jié)到這樣一個(gè)不等式。

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下面我們再回到朗道-西格爾零點(diǎn),

我們也去構(gòu)造像例2中實(shí)的連續(xù)函數(shù),如果兩個(gè)點(diǎn)中間沒有零點(diǎn)的話,它們就是同號,它們的乘積應(yīng)該就是非負(fù)的。

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在論文的引理2.3中,我給出了這么一個(gè)東西,那么我就是要證明這么一個(gè)事情——

如果存在朗道-西格爾零點(diǎn),就推出

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我想證明這個(gè)東西

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是錯(cuò)的,也就是說我能證明

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這個(gè)里面有一個(gè)是負(fù)的話,就可以了。

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我花了很長時(shí)間,去證明下面這個(gè)結(jié)果是小于0的。

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我找了很多很多這樣的東西,發(fā)現(xiàn)一些非常有意思的事情:我沒能直接證明它是小于0的,但我發(fā)現(xiàn)對很多zn它接近0。

它會(huì)小于一個(gè)ε乘上一個(gè)東西,而這個(gè)ε可以盡量小,我發(fā)現(xiàn)很多這樣的zn。所以就差一點(diǎn)。

當(dāng)孿生素?cái)?shù)猜想出來時(shí),有人說我是大海撈針。但實(shí)際上不太對,孿生素?cái)?shù)實(shí)際上我沒有去撈什么針。

但是去找這個(gè)zn,我確實(shí)是在大海撈針。

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我試了很多很多東西,包括用到像變分法啊,用積分方程去找最大特征根啊,最后都是有一個(gè)問題:你可以在不同角度去找zn,找出來以后都是小于一個(gè)ε乘上一個(gè)數(shù)字,但這個(gè)ε你就是跨不過去,有點(diǎn)像我在做孿生素?cái)?shù)時(shí)那樣。

那最后是怎么去解決的呢?

這里我就想提到我在一開始給出的第一個(gè)公式。我的一個(gè)最初的想法,就是最關(guān)鍵的一步,我為什么能達(dá)到一個(gè)這樣的證明。

第一步,我找到兩組序列,都可以寫成是這種形式——

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這兩組序列我都可以證明……(這里還是把它寫出實(shí)數(shù)形式)

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這個(gè)東西我不能證明它小于0,實(shí)際上嚴(yán)格算它就是不小于0,但可以證明它非常接近于0。

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同時(shí)呢,我也可以證明對于cn和dn,下面這個(gè)結(jié)果也是接近于0的。

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而且呢,證明這兩個(gè)關(guān)系式雖然看起來結(jié)果是一樣的,但證明的方法是完全不一樣的,是兩種完全不同的treatment。

于是,我們又有一種方式證明這個(gè)東西接近0,但不能證明它小于0。

那么這兩組序列有沒有可能發(fā)生沖突呢?有沖突,就能給出一個(gè)矛盾。于是我就用了這樣一個(gè)關(guān)系式。

出發(fā)點(diǎn)我們還是假定xn大于等于0。

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然后我們用這樣一個(gè)關(guān)系式,也就是一開始寫的那個(gè)。

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因?yàn)檫@個(gè)χn是非負(fù)的,χn我們就不需要取絕對值了。

我們再用這個(gè)關(guān)系式取一個(gè)絕對值,這里可以全部都取絕對值,減號就變成加號了。

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我們有這樣一個(gè)關(guān)系式,但是我們可以證明,實(shí)際上可以假定χn是非負(fù)的,我們可以用柯西不等式來估計(jì)下面這個(gè)的上界。

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最后我們發(fā)現(xiàn)我們得到一個(gè)矛盾(算這個(gè)和不如用柯西不等式),我們發(fā)現(xiàn)算這個(gè)東西是不對的,左邊應(yīng)該是比右邊的更大,于是用這個(gè)方式就推出矛盾來了。

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大家有興趣的話可以翻譯一下我這篇文章,在第二節(jié)最后,我是用三個(gè)proposition就把它給弄下來了,然后剩下的就是去證明那三個(gè)proposition。

我們考慮一下數(shù)論的歷史,一開始我們總是有這樣的問題,要去構(gòu)造一個(gè)yn。第一個(gè)條件是,這個(gè)yn必須是非負(fù)的,或者什么樣,然后它乘以χn,加起來要小于0,要去構(gòu)造這樣一個(gè)yn。

最早是Brown在1718年 ,用默比烏斯函數(shù)的組合來構(gòu)造出這樣一個(gè)東西。

后來自從Selburg之后,yn就取成zn的平方,這個(gè)東西一直沿用下來。

當(dāng)時(shí)我在做孿生素?cái)?shù)猜想,我們也知道,yn等于zn平方,它只是一個(gè)能夠保證它大于等于0的充分條件,但不是必要條件,還有沒有別的形式 ?

有很多人想過,但目前為止沒有人想出來(yn不是這個(gè)平方的形式)。

在我在這里,似乎有一種新的辦法(更復(fù)雜),實(shí)際上我是引進(jìn)了4個(gè)序列。

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最后如果這些χn都是大于0,我能推出矛盾來。

今天我就先講到這兒,這個(gè)東西作為介紹性的,我也只能講得比較初等一點(diǎn)。

PS:如有錯(cuò)誤,歡迎在留言中指正。

論文淺析

在這篇最新的論文中,張益唐教授提出了兩個(gè)定理。
第一,對于L(1,χ)的估計(jì):
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第二,可能存在的西格爾零點(diǎn)不大于:
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其中,c1和c2都是正實(shí)數(shù),且與D無關(guān)。

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論文地址:https:///abs/2211.02515

此前,張益唐教授證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文已經(jīng)廣泛流傳,由于全篇涉及解析數(shù)論等硬核知識(shí),對于廣大網(wǎng)友的理解門檻還是相當(dāng)高的。

論文公布之后,來自知乎、B站、微博等媒體平臺(tái)的各路專業(yè)人士和UP主的解讀也為數(shù)不少了。

比如B站知識(shí)區(qū)UP「鈺子一」對這篇論文結(jié)論的初步解讀:

他的看法是,在假定張益唐教授的證明是正確的情況下(因?yàn)檎撐哪壳吧形唇?jīng)同行評議),這篇論文確實(shí)是距離證明真正的「零點(diǎn)猜想」最近的一次突破性成果。

下面是真正的「朗道-西格爾零點(diǎn)猜想」:

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注意非零域的范圍,最后一項(xiàng)的指數(shù)為-1。

張益唐教授這次在論文中成功證明的定理1和定理2,其中2是1的推論:

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可以看到,定理2的最后一項(xiàng)的指數(shù)為-2024,而原始的「零點(diǎn)猜想」的指數(shù)為-1。

換句話說,這是目前關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想問題上,已證結(jié)論和待證的「終極目標(biāo)」之間,距離最近的一次。

張益唐教授在文末表示,這個(gè)-2024的指數(shù)值,可以取得更大一些,但目前按照論文中的思路,可能取不到-1。

除了熱心網(wǎng)友的粗淺解析,來自山東大學(xué)的解析數(shù)論專家在「張益唐教授談朗道-西格爾零點(diǎn)猜想研究的新突破」中,也對張益唐教授這次的工作進(jìn)行了專業(yè)角度的解析。

由于全體模D的狄利克雷特征(Dirichlet character)的適當(dāng)線性組合,可以表示出模D算術(shù)級數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)。因此,狄利克雷L-函數(shù)(Dirichlet L-series)與算術(shù)級數(shù)中的素?cái)?shù)分布問題密切相關(guān)。
對于固定的狄利克雷特征,黎曼ζ函數(shù)的解析性質(zhì)大多容易推廣到相應(yīng)的狄利克雷L-函數(shù)上去。比如當(dāng)特征是復(fù)特征時(shí),其L-函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)有類似的非零區(qū)域:
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但是,當(dāng)特征是實(shí)原特征時(shí),在區(qū)間
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內(nèi)至多可能存在一個(gè)一階實(shí)零點(diǎn),這里c是一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?shù)。
張益唐教授在最新預(yù)印本論文里證明了,模D的實(shí)原特征L-函數(shù)在區(qū)間
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內(nèi)沒有實(shí)零點(diǎn),這里c是絕對實(shí)效正常數(shù)。如果把這里的2024換成1,就得到原始形式的朗道-西格爾零點(diǎn)猜想。
專家指出,2024雖然大于1,但在數(shù)學(xué)意義上,與1并沒有實(shí)質(zhì)性的差別。

朗道-西格爾零點(diǎn)猜想

1859年,德國數(shù)學(xué)家黎曼在論文「論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)」中,首次提及這個(gè)猜想。
黎曼發(fā)現(xiàn),質(zhì)數(shù)的分布跟某個(gè)函數(shù)有著密切關(guān)系:
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這個(gè)公式中,s是復(fù)數(shù),可以寫成s=a+bi這樣的形式(a是s的實(shí)部、b是s的虛部、i則是根號負(fù)一)。
當(dāng)s的實(shí)部小于1時(shí),整個(gè)級數(shù)和可能會(huì)發(fā)散。為了讓函數(shù)適用于更廣的范圍,黎曼把上面的ζ函數(shù)改寫為:
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當(dāng)s為負(fù)偶數(shù)(s= -2, -4, -6…)時(shí),黎曼ζ函數(shù)為零。這些s的值,就稱為平凡零點(diǎn)。
不過,此外還有另一些s的值,能夠讓黎曼ζ函數(shù)為零,它們被稱為非平凡零點(diǎn)。就是這些非平凡零點(diǎn),對質(zhì)數(shù)的分布有著決定性影響。
到了這里,黎曼本人也無法證明了。
不過他做了一個(gè)猜測:黎曼ζ函數(shù)所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是1/2,或者說黎曼ζ函數(shù)在1/2<x<1這一區(qū)域內(nèi)沒有零點(diǎn)。這就是黎曼猜想。
隨后的數(shù)學(xué)家們,在前人的基礎(chǔ)上繼續(xù)前進(jìn)。
為此,數(shù)學(xué)家狄利克雷引入了狄利克雷L函數(shù)。
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對于這個(gè)函數(shù),也有一個(gè)猜想:狄利克雷L函數(shù)在1/2<x<1這一區(qū)域內(nèi)沒有零點(diǎn)。這就是廣義黎曼猜想。
倪憶在文章「千呼萬喚始出來,張益唐公布證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文」中解釋道,如果χ(n)的取值都是實(shí)數(shù),那么L(s,χ)在
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里最多只有一個(gè)零點(diǎn),而且這個(gè)零點(diǎn)一定是實(shí)數(shù)。這個(gè)可能存在的零點(diǎn)被稱為西格爾零點(diǎn)。而朗道-西格爾零點(diǎn)猜想則斷言,西格爾零點(diǎn)是不存在的。
更確切地說,存在一個(gè)正實(shí)數(shù)c,使得對于任何D和相應(yīng)的實(shí)特征χ,L(x,χ)在
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時(shí)都不等于0.
倪憶表示,朗道-西格爾零點(diǎn)猜想是廣義黎曼假設(shè)的一種特殊情形,但這是一種非常重要也非常困難的情形。在很多解析數(shù)論問題的研究中,都需要把西格爾零點(diǎn)單獨(dú)拿出來考慮。
所以一旦證明了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想,就可以取得很多新突破,簡化和加強(qiáng)很多經(jīng)典數(shù)論結(jié)果。

特別鳴謝:

普林小虎隊(duì)「千呼萬喚始出來,張益唐公布證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文」

https://mp.weixin.qq.com/s/OgOsgp2wklSw86LQSnpuAA

山東大學(xué)「張益唐教授談朗道-西格爾零點(diǎn)猜想研究的新突破」

https://mp.weixin.qq.com/s/AuRZOk_yx_dJC2pys9bUMg

鈺子一科普張益唐關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的文章!「他取得了突破性的進(jìn)展,結(jié)論十分漂亮!」

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