文字實(shí)錄 首先,我得介紹一下這個(gè)問題本身。 雖然我的論文已經(jīng)掛到aXiv上了,但還是得介紹一下:什么叫朗道-西格爾零點(diǎn)呢? 對于這個(gè)狄利克雷L函數(shù),L(s,χ)的原始定義是這樣的: 分子是χ(n)這個(gè)值,分母就是n的s次方。 此時(shí),我們只考慮s是個(gè)實(shí)數(shù)的時(shí)候,也就是說s=1的時(shí)候,它不等于0。那么s<1的時(shí)候,就是說比1稍微小一點(diǎn), 它有沒有可能等于0? 這個(gè)問題因?yàn)闋砍兜胶芏鄶?shù)論的東西,所以很重要,但始終沒有人能夠解決。 只考慮L(s,χ)不等于0的情況—— 如果s比1稍微小一點(diǎn),這個(gè)分母是比較可控的,c是個(gè)常數(shù) 這是一個(gè)猜想,我們說這個(gè)猜想比黎曼假設(shè)要弱得多,至少是對L函數(shù)的黎曼猜想(廣義黎曼猜想)。廣義黎曼猜想是說這個(gè)S的實(shí)部大于1/2的話不等于0,但就只是很接近1的時(shí)候不等于0。 這個(gè)猜想本質(zhì)上說就是朗道-西格爾零點(diǎn)問題。 這個(gè)問題,就是要證明這樣的一類零點(diǎn)是不存在的(尤其是實(shí)零點(diǎn),虛零點(diǎn)還容易一點(diǎn))。 那么現(xiàn)在我們能做到什么程度呢?應(yīng)該說本質(zhì)上我們至少證明了這樣一個(gè)東西 這個(gè)2024就像孿生素?cái)?shù)里面的情況一樣,是可以改進(jìn)的。 前兩天消息剛傳出來的時(shí)候,很多人不是做數(shù)學(xué)的,所以不理解這個(gè)朗道-西格爾零點(diǎn)問題解決的是什么,甚至有人以為就是證明了黎曼假設(shè)是錯(cuò)的。 這個(gè)我得說一句:我可沒有這個(gè)本事(笑)。我只是在一定范圍內(nèi)部分地證明了黎曼假設(shè)應(yīng)該是對的。如果說我推翻了黎曼假設(shè),那應(yīng)該是沒什么人會(huì)相信。 在這篇論文第二節(jié)的結(jié)尾,我引進(jìn)了三個(gè)proposition,都是不等式。這三個(gè)不等式合在一起后,如果說朗道-西格爾零點(diǎn)存在的話,就可以得出一個(gè)矛盾。 而這個(gè)講起來就是一個(gè)非常非常復(fù)雜的東西,要講清楚也不容易,但是我可以講一講,這里面它的一個(gè)基本思路,講一下它最后的歸結(jié)。最后就是歸結(jié)到這樣一個(gè)事情上—— 怎么會(huì)歸結(jié)到這個(gè)事情上呢? 對于一個(gè)有限的實(shí)數(shù)序列χn,怎么樣證明它并不是非負(fù)的? 這就是要去證明其中有一個(gè)(至少有一個(gè))χn是小于0的。 說起來這個(gè)問題是什么呢?有點(diǎn)不著邊際。 但事實(shí)上很有意思,在數(shù)論中,特別是解析中,很多東西可以歸結(jié)到這么一個(gè)問題。 于是我們就需要發(fā)展一個(gè)技巧,來證明這個(gè)東西是不等于0的。 第一個(gè)例子,我們就說一個(gè)偶數(shù)N(一個(gè)比較大的偶數(shù)),我們用ρ(n)定義這個(gè)素?cái)?shù)的特征函數(shù),都是定義在正整數(shù)上。 如果n是素?cái)?shù),ρ(n)等于1,如果n不是素?cái)?shù),ρ(n)就等于0。 就可以得到 我們說這個(gè)序列會(huì)什么樣? 一般情況下,它可能等于1,也可能等于0, 但它有沒有可能是負(fù)的呢? 很明顯如果ρ(n)是負(fù)的,它必須等于-1,而且他負(fù)的充要條件是ρ(n)和ρ(N-n)都是素?cái)?shù)。這時(shí)候χn才可能是負(fù)的,正好等于-1。 很明顯,N永遠(yuǎn)是等于n+(N-n),也就是N就是一個(gè)素?cái)?shù)加上另外一個(gè)素?cái)?shù)。 就是說如果在這個(gè)序列(1<n<N)里,有某一個(gè)χn是小于0的話,充要條件是N是兩個(gè)素?cái)?shù)的和。 所以哥德巴赫猜想最后就可以歸結(jié)到我們來構(gòu)建這樣一個(gè)有限序列,這里頭是不是有這么一個(gè)小于0的數(shù)?如果有的話,哥德巴赫猜想就是對的。 那么,是不是還有別的問題也是這樣呢? 其實(shí)假如我們對孿生素?cái)?shù)猜想給出一個(gè)弱結(jié)果,那么也會(huì)是這樣的,也就是造成這么一個(gè)χn。 它這個(gè)定義也是 如果這里面有兩個(gè)是素?cái)?shù),那么χn就嚴(yán)格小于0;如果只有一個(gè)素?cái)?shù),那么就等于0;如果沒有就大于0。 所以在這樣一個(gè)序列里面,我們可以人為地把n的范圍給它確定,里面有沒有負(fù)的?這就是我們在孿生素?cái)?shù)研究下取得的突破。我們的出發(fā)點(diǎn)就是這個(gè)東西。 話再說回來,怎么樣去證明某一個(gè)χn是小于0,我們就給出了一個(gè)很簡單的數(shù)列,哪怕里面有10000個(gè)數(shù),我們也可以寫出來這里面是不是有一個(gè)是負(fù)的,這很簡單。 但我們這里考慮的都是理論性的問題,N是一個(gè)很大的數(shù),怎么樣去定義這個(gè)東西等于0。 這是第一個(gè)例子。實(shí)際上它既包括了哥德巴赫猜想,也包括了孿生素?cái)?shù)弱結(jié)果的研究。 第二個(gè)例子是一個(gè)純公式的例子,它跟我要做的事情是相關(guān)的。 如果有一個(gè)Assumption,我們就假定ρ(n+1)>ρn+c—— 也就是說零點(diǎn)的間隔比c要大,那么我們也可以把它歸結(jié)成—— 其中,f(ρn+a) f(ρn+b)它一定是正的。 為什么這么說呢?因?yàn)殡S便一個(gè)ρn,從ρn到ρn+c之間,他一定沒有零點(diǎn)。而ρn+a和ρn+b一定在這段之間,因?yàn)閒是連續(xù)函數(shù),所以他們的乘積一定是大于等于0的。 所以如果我們要證明assumption是不對的,可能有零點(diǎn)的間隔比c要小。如果我能夠證明有一個(gè)χn是負(fù)的,只要證明它≤0,那這個(gè)assumption就錯(cuò)了。 如果我想證明的話,我就得去弄。 那么究竟我們需要怎么處理這個(gè)問題呢? 要證明有限的實(shí)數(shù)序列不是非負(fù)的,里面至少有一個(gè)是嚴(yán)格小于0的,怎么去證明呢? 我們常用的處理方法是這樣: 我們找一組新的實(shí)數(shù)序列{yn},它要滿足兩個(gè)條件。第一:yn≥0,第二個(gè):∑xnyn<0。只要能找到這樣一組yn,這問題就解決了。 那這里頭肯定有一項(xiàng)是嚴(yán)格小于0的,但yn是大于等于0,那么xn必須是小于0的。這就解決了傳統(tǒng)要去做的事情。 可是怎么去選yn呢?這就牽扯到整個(gè)篩法發(fā)展的歷史了。 最早是挪威數(shù)學(xué)家Brown在一個(gè)世紀(jì)前,應(yīng)該在1917、18年的時(shí)候他找到了一組yn。這組yn的表述是很復(fù)雜的,但滿足這類條件。 然后他用這個(gè)條件能推出9+9,在當(dāng)時(shí)來講是不可思議的,是一個(gè)驚人的構(gòu)造。 后來,到了20世紀(jì)40年代末,另外一個(gè)挪威數(shù)學(xué)家叫塞爾伯格,他想得就比較簡單,他說干脆我就去構(gòu)造一組實(shí)數(shù)序列zn,zn是實(shí)數(shù)就行,沒有任何限制。 然后把yn取成zn平方,于是第一個(gè)條件就自然滿足了——實(shí)數(shù)的平方必然是大于等于0的。 于是問題就變成了,能不能得出下式小于0? 這里要牽扯到孿生素?cái)?shù)猜想最近的進(jìn)步,特別是梅納德最近的貢獻(xiàn)(他最近得了菲爾茲數(shù)學(xué)獎(jiǎng))。 xn的取值與孿生數(shù)有關(guān),我們希望這里面至少有一個(gè)是負(fù)的,然后是求和。 在我之前有三個(gè)數(shù)學(xué)家,他們找到一組zn,能夠證明這個(gè)和非常切近0,并且可以做到讓ε任意小。 但是小于0這一步他們怎么也跨不過去。 而這里的主要障礙就是,他們要用到素?cái)?shù)在等差級數(shù)里的分布,那里頭有個(gè)限制就是有一個(gè)exponent指數(shù),它不能超過1/2,否則余項(xiàng)就控制不住。 于是他們就跨在這個(gè)邊上,用他們的話來說差一根頭發(fā)絲就能跨過去了,但這個(gè)頭發(fā)絲就沒跨過去。 然后再下一步是我的工作: 我的工作從單獨(dú)意義上來講,在等差級數(shù)分布的問題上,應(yīng)該是第一次突破了指數(shù)等于1/2的界限,就是說可以把這個(gè)指數(shù)取到比1/2再大一點(diǎn)。但我用的zn基本上還是他們引進(jìn)的。 后來梅納德就把這個(gè)問題改進(jìn)了一大步,他引進(jìn)了一種新的zn,最后能夠證出這個(gè)孿生素?cái)?shù)的弱形式,最后我們都是歸結(jié)到這樣一個(gè)不等式。 下面我們再回到朗道-西格爾零點(diǎn), 我們也去構(gòu)造像例2中實(shí)的連續(xù)函數(shù),如果兩個(gè)點(diǎn)中間沒有零點(diǎn)的話,它們就是同號,它們的乘積應(yīng)該就是非負(fù)的。 在論文的引理2.3中,我給出了這么一個(gè)東西,那么我就是要證明這么一個(gè)事情—— 如果存在朗道-西格爾零點(diǎn),就推出 我想證明這個(gè)東西 是錯(cuò)的,也就是說我能證明 這個(gè)里面有一個(gè)是負(fù)的話,就可以了。 我花了很長時(shí)間,去證明下面這個(gè)結(jié)果是小于0的。 我找了很多很多這樣的東西,發(fā)現(xiàn)一些非常有意思的事情:我沒能直接證明它是小于0的,但我發(fā)現(xiàn)對很多zn它接近0。 它會(huì)小于一個(gè)ε乘上一個(gè)東西,而這個(gè)ε可以盡量小,我發(fā)現(xiàn)很多這樣的zn。所以就差一點(diǎn)。 當(dāng)孿生素?cái)?shù)猜想出來時(shí),有人說我是大海撈針。但實(shí)際上不太對,孿生素?cái)?shù)實(shí)際上我沒有去撈什么針。 但是去找這個(gè)zn,我確實(shí)是在大海撈針。 我試了很多很多東西,包括用到像變分法啊,用積分方程去找最大特征根啊,最后都是有一個(gè)問題:你可以在不同角度去找zn,找出來以后都是小于一個(gè)ε乘上一個(gè)數(shù)字,但這個(gè)ε你就是跨不過去,有點(diǎn)像我在做孿生素?cái)?shù)時(shí)那樣。 那最后是怎么去解決的呢? 這里我就想提到我在一開始給出的第一個(gè)公式。我的一個(gè)最初的想法,就是最關(guān)鍵的一步,我為什么能達(dá)到一個(gè)這樣的證明。 第一步,我找到兩組序列,都可以寫成是這種形式—— 這兩組序列我都可以證明……(這里還是把它寫出實(shí)數(shù)形式) 這個(gè)東西我不能證明它小于0,實(shí)際上嚴(yán)格算它就是不小于0,但可以證明它非常接近于0。 同時(shí)呢,我也可以證明對于cn和dn,下面這個(gè)結(jié)果也是接近于0的。 而且呢,證明這兩個(gè)關(guān)系式雖然看起來結(jié)果是一樣的,但證明的方法是完全不一樣的,是兩種完全不同的treatment。 于是,我們又有一種方式證明這個(gè)東西接近0,但不能證明它小于0。 那么這兩組序列有沒有可能發(fā)生沖突呢?有沖突,就能給出一個(gè)矛盾。于是我就用了這樣一個(gè)關(guān)系式。 出發(fā)點(diǎn)我們還是假定xn大于等于0。 然后我們用這樣一個(gè)關(guān)系式,也就是一開始寫的那個(gè)。 因?yàn)檫@個(gè)χn是非負(fù)的,χn我們就不需要取絕對值了。 我們再用這個(gè)關(guān)系式取一個(gè)絕對值,這里可以全部都取絕對值,減號就變成加號了。 我們有這樣一個(gè)關(guān)系式,但是我們可以證明,實(shí)際上可以假定χn是非負(fù)的,我們可以用柯西不等式來估計(jì)下面這個(gè)的上界。 最后我們發(fā)現(xiàn)我們得到一個(gè)矛盾(算這個(gè)和不如用柯西不等式),我們發(fā)現(xiàn)算這個(gè)東西是不對的,左邊應(yīng)該是比右邊的更大,于是用這個(gè)方式就推出矛盾來了。 大家有興趣的話可以翻譯一下我這篇文章,在第二節(jié)最后,我是用三個(gè)proposition就把它給弄下來了,然后剩下的就是去證明那三個(gè)proposition。 我們考慮一下數(shù)論的歷史,一開始我們總是有這樣的問題,要去構(gòu)造一個(gè)yn。第一個(gè)條件是,這個(gè)yn必須是非負(fù)的,或者什么樣,然后它乘以χn,加起來要小于0,要去構(gòu)造這樣一個(gè)yn。 最早是Brown在1718年 ,用默比烏斯函數(shù)的組合來構(gòu)造出這樣一個(gè)東西。 后來自從Selburg之后,yn就取成zn的平方,這個(gè)東西一直沿用下來。 當(dāng)時(shí)我在做孿生素?cái)?shù)猜想,我們也知道,yn等于zn平方,它只是一個(gè)能夠保證它大于等于0的充分條件,但不是必要條件,還有沒有別的形式 ? 有很多人想過,但目前為止沒有人想出來(yn不是這個(gè)平方的形式)。 在我在這里,似乎有一種新的辦法(更復(fù)雜),實(shí)際上我是引進(jìn)了4個(gè)序列。 最后如果這些χn都是大于0,我能推出矛盾來。 今天我就先講到這兒,這個(gè)東西作為介紹性的,我也只能講得比較初等一點(diǎn)。 PS:如有錯(cuò)誤,歡迎在留言中指正。 論文淺析 此前,張益唐教授證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文已經(jīng)廣泛流傳,由于全篇涉及解析數(shù)論等硬核知識(shí),對于廣大網(wǎng)友的理解門檻還是相當(dāng)高的。 論文公布之后,來自知乎、B站、微博等媒體平臺(tái)的各路專業(yè)人士和UP主的解讀也為數(shù)不少了。 比如B站知識(shí)區(qū)UP「鈺子一」對這篇論文結(jié)論的初步解讀: 他的看法是,在假定張益唐教授的證明是正確的情況下(因?yàn)檎撐哪壳吧形唇?jīng)同行評議),這篇論文確實(shí)是距離證明真正的「零點(diǎn)猜想」最近的一次突破性成果。 下面是真正的「朗道-西格爾零點(diǎn)猜想」: 注意非零域的范圍,最后一項(xiàng)的指數(shù)為-1。 張益唐教授這次在論文中成功證明的定理1和定理2,其中2是1的推論: 可以看到,定理2的最后一項(xiàng)的指數(shù)為-2024,而原始的「零點(diǎn)猜想」的指數(shù)為-1。 換句話說,這是目前關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想問題上,已證結(jié)論和待證的「終極目標(biāo)」之間,距離最近的一次。 張益唐教授在文末表示,這個(gè)-2024的指數(shù)值,可以取得更大一些,但目前按照論文中的思路,可能取不到-1。 除了熱心網(wǎng)友的粗淺解析,來自山東大學(xué)的解析數(shù)論專家在「張益唐教授談朗道-西格爾零點(diǎn)猜想研究的新突破」中,也對張益唐教授這次的工作進(jìn)行了專業(yè)角度的解析。 朗道-西格爾零點(diǎn)猜想 特別鳴謝: 普林小虎隊(duì)「千呼萬喚始出來,張益唐公布證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文」 https://mp.weixin.qq.com/s/OgOsgp2wklSw86LQSnpuAA 山東大學(xué)「張益唐教授談朗道-西格爾零點(diǎn)猜想研究的新突破」 https://mp.weixin.qq.com/s/AuRZOk_yx_dJC2pys9bUMg 鈺子一科普張益唐關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的文章!「他取得了突破性的進(jìn)展,結(jié)論十分漂亮!」 https://www.bilibili.com/video/BV1y24y1f7Tg/?vd_source=eecf800392d116d832e90ad1c9ae70f6 |
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