作者：都芃

對于數(shù)論的研究者來說，或許存在兩個(gè)宇宙，一個(gè)宇宙中存在朗道-西格爾零點(diǎn)，另一個(gè)宇宙則不存在。但困惑在于，我們究竟存在于哪個(gè)宇宙中？美籍華裔數(shù)學(xué)家、加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校教授張益唐或許已經(jīng)就這個(gè)問題給出了初步的答案。11月8日，在面向北京大學(xué)師生和公眾的線上學(xué)術(shù)報(bào)告會上，張益唐講解了關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的最新研究成果。

令人著迷的素?cái)?shù)

要理解朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，首先要從素?cái)?shù)開始講起。素?cái)?shù)是指只能被自身和1整除的正整數(shù)。早在古希臘時(shí)期，人們就開始關(guān)注素?cái)?shù)這類自然數(shù)中最基本而又神秘的“元素”。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)副研究員、知名科普專家袁嵐峰介紹，公元前300年左右，歐幾里得便通過十分簡潔、巧妙的方法證明了素?cái)?shù)是無窮的。但人們又不禁發(fā)問，既然素?cái)?shù)是無窮的，那么素?cái)?shù)的分布是否有規(guī)律，我們是否可以寫出一個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的通項(xiàng)公式？此后數(shù)千年間，歐拉、黎曼等知名數(shù)學(xué)家圍繞素?cái)?shù)開展了一系列研究，誕生了如哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想、黎曼猜想等諸多舉世聞名的數(shù)學(xué)問題。

袁嵐峰表示，雖然這其中哥德巴赫猜想最為出名，但其主要得益于極簡的表現(xiàn)形式，能夠讓大多數(shù)人有所理解，而黎曼猜想才是所有關(guān)于素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)問題中最具價(jià)值的那一個(gè)。數(shù)學(xué)家黎曼在研究中發(fā)現(xiàn)，素?cái)?shù)分布的奧秘完全隱藏在一個(gè)特殊的函數(shù)中，這就是著名的黎曼zeta函數(shù)。當(dāng)這個(gè)函數(shù)取值為0時(shí)，一系列的特殊點(diǎn)會對素?cái)?shù)分布的規(guī)律產(chǎn)生決定性影響，這一系列的特殊點(diǎn)也被稱為黎曼zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。如果用最簡潔的語言來解釋黎曼猜想，那便是黎曼zeta函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都等于1/2。

黎曼猜想被提出后，為了研究等差數(shù)列上的素?cái)?shù)分布問題，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷又引入了狄利克雷L函數(shù)，被看作是黎曼zeta函數(shù)的推廣形式。數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，狄利克雷L函數(shù)上的零點(diǎn)也都位于實(shí)部等于1/2的那條垂線上，這便是廣義黎曼猜想。

“保衛(wèi)”黎曼猜想

雖然黎曼猜想和廣義黎曼猜想都未能得到充分證明，但數(shù)學(xué)家大多已經(jīng)默認(rèn)了其真實(shí)性。除了一個(gè)格格不入的“怪胎”的存在，仍讓人對這兩個(gè)猜想的正確性心生疑惑，那就是朗道-西格爾零點(diǎn)。德國數(shù)學(xué)家西格爾和其導(dǎo)師朗道在對狄利克雷L函數(shù)進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)異常零點(diǎn)可能并不分布在那條實(shí)部為1/2的直線上。如果這個(gè)零點(diǎn)真的存在，那么廣義黎曼猜想和原始黎曼猜想都會在一定程度上被推翻。

張益唐此次的工作，正是在一定范圍內(nèi)證明了該零點(diǎn)并不存在，一定程度上“保衛(wèi)”了黎曼猜想的正確性。在張益唐給出的兩個(gè)定理中，一個(gè)定理的指數(shù)是-2024，如果能夠?qū)⑵渥兂?1，那么就完全證明了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想。但袁嵐峰告訴記者，-2024和-1已經(jīng)沒有本質(zhì)上的區(qū)別了，相比過去的證明結(jié)果，這已經(jīng)是質(zhì)的飛躍。

張益唐采用的論證方法，是數(shù)學(xué)中經(jīng)典的“矛盾證明法”，也可以稱之為“反證法”。他先假設(shè)朗道-西格爾零點(diǎn)以弱形式存在，結(jié)果推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)這會導(dǎo)致狄利克雷L函數(shù)中其他零點(diǎn)出現(xiàn)與實(shí)際情況不符的特征，于是可以由此反過來證明朗道-西格爾零點(diǎn)并不存在。袁嵐峰表示，雖然“反證法”已是數(shù)學(xué)中極為經(jīng)典的方法，但張益唐將其應(yīng)用到了極致，并給出了自己的創(chuàng)新，這將對解決其他數(shù)學(xué)問題給予啟發(fā)。

張益唐本人則表示，目前的研究成果只是在小范圍內(nèi)證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想是對的，即該零點(diǎn)確實(shí)不存在，但其研究還需完善，下一步將繼續(xù)深化研究。