函數(shù)應該算是數(shù)學中最重要的概念之一，也是我們接觸得比較多的數(shù)學對象，從小學到大學的數(shù)學學習之中，函數(shù)可以說無處不在。如今我們以極為簡潔的方式定義了函數(shù)，然而函數(shù)概念的發(fā)展卻并不是一帆風順的，大量的數(shù)學家耗費將近三個世紀的時間才最終形成了一套成熟的函數(shù)語音。

將自然現(xiàn)象和規(guī)律用數(shù)學方式表達出來并加以研究應當說是近代科學得以發(fā)展的一個重要原因，而函數(shù)在這個過程中幾乎起著決定性的作用。根據(jù)現(xiàn)存的資料，函數(shù)概念的雛形最早出現(xiàn)在葛列格里(1638~1675)的論文《論圓和雙曲線的求積》中，他把函數(shù)定義為其他量通過一系列運算得到的量。但直到牛頓創(chuàng)立微積分理論，他也沒有明確到底什么是“函數(shù)”，而只是使用“流數(shù)”這樣的概念來表達變量之間的關系，在之后很長一段時間里，由于函數(shù)概念的含糊不清，微積分理論一直飽受爭議。盡管如此，不嚴格的微積分理論還是催生了數(shù)學內(nèi)外的大量成果，但不嚴格性始終如同達摩克斯之劍一般懸在數(shù)學家頭上。

實際上，函數(shù)這個詞出自“數(shù)學名詞和符號圣手”萊布尼茨，他在1673年首先使用了“函數(shù)”這個詞，并且提出了“變量”和“參變量”這樣的概念，這已經(jīng)非常接近函數(shù)如今的模樣。牛頓和萊布尼茨時代的函數(shù)基本都是為了適應微積分理論而出現(xiàn)的，也就是說，這些函數(shù)都是可以用自變量明確表示出來的，而且滿足可導性等較為嚴格的條件。但數(shù)學家們很快就發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的解析性大大地局限了所能研究的范圍，進而出現(xiàn)了連續(xù)函數(shù)的概念，當時被稱之為“幾何的函數(shù)”。這一時期的函數(shù)都具有強烈的幾何色彩，也就是說，數(shù)學家所關心的函數(shù)都可以用圖像表示出來，可以直觀地感受函數(shù)的性質(zhì)。

直觀的函數(shù)概念對于數(shù)學本身的發(fā)展來說還遠遠不夠，于是函數(shù)論的發(fā)展很快就走上了抽象化的過程。如今我們通用的函數(shù)記號f(x)是歐拉在1734年提出的，大概從這個時候起，函數(shù)論開始走上了獨立的發(fā)展道路。1769年，達朗貝爾在研究中首先得到了函數(shù)方程：

之后柯西得到了更多具有數(shù)學和物理意義的函數(shù)方程，并且開始系統(tǒng)研究函數(shù)方程的解，取得了很多結果。但實際上，許多重要而困難的函數(shù)方程問題直到后來才由阿貝爾解決，同時，阿貝爾極大地推進了橢圓函數(shù)論的發(fā)展，從而函數(shù)論的發(fā)展有了質(zhì)的提升。

在歐拉和拉格朗日之前，數(shù)學家和物理學家所研究的函數(shù)都是在定義域上整體定義的，直到對物理中弦振動仔細研究之后，歐拉和拉格朗日才首先提出了在不同區(qū)間上有不同表達式的函數(shù)。當時來自物理的直觀在很長一段時間里給數(shù)學家一種錯覺，那就是同一區(qū)間上處處擁有相同函數(shù)值的兩個函數(shù)完全是同一個函數(shù)，即它們有相同的表達式。但這種錯誤最終還是被傅里葉揭示出來。在傅里葉著名的《熱的解析理論》中，他創(chuàng)造性地利用三角級數(shù)來表達函數(shù)，從而舉出了反例：

從中我們可以看到，盡管兩個函數(shù)的值可能處處相同，但它們可以有不同的表達式，所代表的意義也是可以不一樣的，不能稱之為完全相同的一個函數(shù)。傅里葉的結果一出，立即引發(fā)了數(shù)學界強烈的震動，即使是拉格朗日這樣偉大的人物也一時難以接受。這些已經(jīng)說明，對函數(shù)固有的直觀認識已經(jīng)不能滿足數(shù)學發(fā)展的需要了。

在19世紀初期，古典函數(shù)概念的缺陷越發(fā)明顯，如果說傅里葉所揭示的問題還不算大錯特錯，那么從狄利克雷開始，函數(shù)的古典概念將受到致命打擊。在此之前，在微積分教材上都可以找到“連續(xù)函數(shù)在某些連續(xù)點一定是可導的”這樣的結論，即使是當時的大數(shù)學家也不會覺得有什么問題。實際上，這樣的錯誤認識主要是因為對函數(shù)的認識仍未擺脫直觀想象，同時函數(shù)的連續(xù)性和可導性到底意味著什么，當時的數(shù)學家也沒搞清楚。

狄利克雷在1829年邁出了微積分嚴格化的第一步，他給出了著名的狄利克雷函數(shù)：

數(shù)學家們驚訝地發(fā)現(xiàn)，狄利克雷函數(shù)處處不連續(xù)，處處不可導，在任意區(qū)間上也不存在黎曼積分。狄利克雷函數(shù)極為“扭曲”的分析性質(zhì)所帶來的沖擊甚至比傅里葉的例子還要大，對某些頑固的數(shù)學家來說，甚至是致命的，因為這個函數(shù)無法把它的圖像直接畫出來，完全沒有任何解析性質(zhì)，也就沒法“想象”了?；陂L期的考慮，1837年狄利克雷給出了我們今天所見到的函數(shù)定義：給定區(qū)間上的自變量x，都有唯一的因變量y與之對應，那么y是x的函數(shù)。集合論出現(xiàn)之后，1887年戴德金又給出了兩個集合之間函數(shù)的定義，自此函數(shù)便有了擺脫直觀而且明確的定義。

狄利克雷大概是歷史上第一個真正考慮抽象函數(shù)的數(shù)學家，他關心函數(shù)的單調(diào)性，連續(xù)性，可導可積性等，而忽略函數(shù)的實際來源和物理幾何意義，也就是說，狄利克雷關心的是函數(shù)本身的性質(zhì)，而不是關于它的各種計算。應該說，從狄利克雷開始，對函數(shù)的認識實現(xiàn)了從具體到抽象的演變，而且事實證明，這不僅沒有脫離實際，反而促進了函數(shù)的各種應用，因為數(shù)學想要發(fā)揮更大的作用，那么它本身必須要有堅實嚴格可信的基礎。

狄利克雷算是開了個頭，接下來柯西開始為極限和連續(xù)性等概念注入“嚴格”的靈魂，但他仍未擺脫“連續(xù)”的限制。在柯西的手中，他所考慮的函數(shù)都是連續(xù)的，這無論是對于數(shù)學本身還是物理等相關學科都是不夠的。而突破連續(xù)性限制的第一人則是偉大的黎曼，在發(fā)展黎曼積分理論的過程中，黎曼給出了另一個著名的函數(shù)，也就是我們今天所說的黎曼函數(shù)：

黎曼函數(shù)在有理點不連續(xù)而在無理點連續(xù)，但出人意料的是它是可積的，這也就深刻揭示了可積函數(shù)與聯(lián)系函數(shù)的巨大差異。但限于歷史局限，黎曼也未能突破不連續(xù)點過多所帶來的影響，這將留待后人解決。

分析學的嚴格化是數(shù)學史上長達百年的漫長過程，而這其中的集大成者正是大名鼎鼎的“現(xiàn)代分析學之父”魏爾斯特拉斯。魏爾斯特拉斯被稱為“數(shù)學流言終結者”，他在一生中憑借強大的數(shù)學直覺，針對一些錯誤的數(shù)學想法，構造出了非常多的反例，其中最出名的便是給出了“處處連續(xù)但處處不可導”的函數(shù)：

對于這樣連續(xù)卻“沒有導數(shù)”的函數(shù)，當時的著名法國數(shù)學家埃爾米特寫到：“我簡直驚恐萬分，不愿意面對這樣沒有導數(shù)的連續(xù)函數(shù)，但很不幸，這就是事實！”。無數(shù)數(shù)學家的錯誤數(shù)學觀念被這個函數(shù)沖垮了，它也再次說明，數(shù)學的靈魂是“嚴格”而非直覺。

當然，魏爾斯特拉斯并不滿足于僅僅指出問題，他決心要結束關于微積分理論長達兩百年的混戰(zhàn)。魏爾斯特拉斯的偉大之處正在于，他可以從沒有人關心的平凡細節(jié)中創(chuàng)造奇跡，可謂化腐朽為神奇。他觀察到，真正決定函數(shù)性質(zhì)的不是函數(shù)本身，而是實數(shù)，實數(shù)的性質(zhì)完全決定了極限，連續(xù)，可微可導等函數(shù)概念，關于函數(shù)概念的含糊不清正是因為對實數(shù)的認識還不夠。

從實數(shù)出發(fā)導出函數(shù)的各種概念，這樣的想法受到了當時許多數(shù)學家的嘲諷，他們都認為魏爾斯特拉斯是在自尋煩惱。但魏爾斯特拉斯顯然沒有受這些干擾，他嚴格地構造完備實數(shù)系，并從實數(shù)系出發(fā)，定義函數(shù)的極限，連續(xù)性，可微可導性，可積性，級數(shù)的斂散性等等，從而一舉解決了函數(shù)概念不嚴格的長期難題，把分析學建立在了嚴格堅實的數(shù)學基礎之上，分析學的“算術化”也就圓滿完成了。

關于魏爾斯特拉斯的偉大功績，希爾伯特評價到：

“魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深邃的洞察力，為數(shù)學分析建立了堅實的基礎。通過澄清極小、極大、函數(shù)、導數(shù)等概念，他排除了在微積分中仍在出現(xiàn)的各種錯誤提法，掃清了關于無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源于無窮大、無窮小朦朧思想的困難。今天，分析學能達到這樣和諧可靠和完美的程度本質(zhì)上應歸功于魏爾斯特拉斯的數(shù)學活動”。

尾聲

康托的集合論出現(xiàn)之后，戴德金以更為現(xiàn)代的觀點敘述了實數(shù)系的完備性定理，這些在如今的數(shù)學分析教材中都可以找到。但一波剛平，一波再起，之前提到過，黎曼積分有無法克服的困難，而這在分析學的嚴格化之后再度引發(fā)了一場數(shù)學風暴。當然，這已經(jīng)是另一個故事了……