1665 年 5 月 20 日,這是數(shù)學(xué)史極具意義的一天，偉大的物理學(xué)家牛頓第一次提出“流數(shù)術(shù)”（微分法），而到了 1666 年 5 月又提出了“反流數(shù)術(shù)”(積分法),這標(biāo)志著微積分的創(chuàng)立。而后來萊布尼茨也獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分理論，牛頓、萊布尼茨的微積分理論在數(shù)學(xué)史上具有重大的意義。

牛頓提出微積分主要還是為了解決以下問題：

1、已知物體運(yùn)動(dòng)的“距離——時(shí)間”函數(shù)關(guān)系求任意時(shí)刻的速度和加速度。“任一時(shí)刻”的時(shí)間間距是0，那么他的位移量也必然是0，這就出現(xiàn)了v=0/0的困難

2、求曲線的切線

3、求函數(shù)的最大、最小值

4、求曲線的長(zhǎng)、曲線圍出的面積、曲面圍出的體積、物體的重心問題。

所以微積分主要存在這幾個(gè)方面的內(nèi)容，主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論；積分學(xué)包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。

牛頓微積分手稿

但是剛剛創(chuàng)立的微積分也存在著許多的缺陷，比如當(dāng)時(shí)歐氏幾何一統(tǒng)天下，牛頓也并沒有擺脫歐氏的影響，微積分還處于依賴幾何論證的基礎(chǔ)上。

牛頓受笛卡爾解析幾何影響很大

另外就是關(guān)于牛頓導(dǎo)數(shù)的定義并不太嚴(yán)密，比如說 x2 的導(dǎo)數(shù),先將 x 取一個(gè)不為0的增量 Δx ,由 (x + Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx + (Δx) ^2,后再被 Δx 除,得到 2x + Δx ,最后突然令 Δx = 0 ,求得導(dǎo)數(shù)為 2x 。 我們知道這個(gè)結(jié)果是正確的，但是推導(dǎo)過程確實(shí)存在著明顯的偷換假設(shè)的錯(cuò)誤：在論證的前一部分假設(shè)Δx是不為0的，而在論證的后一部分又被取為0。那么到底是不是0呢？牛頓后來也未能自圓其說。

而這漏洞偏偏被基督教大主教喬治·貝克萊給發(fā)現(xiàn)了。要知道，在文藝復(fù)興的影響下,自然科學(xué)逐步從中世紀(jì)的神學(xué)桎梏中解脫出來，歐洲逐漸走向科學(xué)大繁榮時(shí)代，宗教神學(xué)走向衰弱。

文藝復(fù)興，繪畫也由神性走向人性

基督教主教貝克萊一直心有不甘，想要反擊，所以發(fā)現(xiàn)了微積分的漏洞之后，出自對(duì)科學(xué)的厭惡和對(duì)宗教的維護(hù)，他以“渺小的哲學(xué)家”之名出版了一本標(biāo)題特別特別長(zhǎng)的書《分析學(xué)家；或一篇致一位不信神數(shù)學(xué)家的論文,其中審查一下近代分析學(xué)的對(duì)象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點(diǎn)有更清晰的表達(dá),或更明顯的推理》。沒有看錯(cuò)，這就是完整的書籍標(biāo)題，你要是能把這標(biāo)題背下來，算你狠。

在這本書里，貝克萊就抓住了牛頓微積分的把“無窮小量 看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時(shí)卻又令無窮小量為零而忽略不計(jì)”的漏洞進(jìn)行攻擊，借此想要復(fù)活上帝。貝克萊還把“微小增量”嘲諷的稱之為“無窮小精靈”。

除了對(duì)無窮小量的批判，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)定義不嚴(yán)密問題，他在書中還大肆攻擊流數(shù)（導(dǎo)數(shù)）

“已死的幽靈……能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會(huì)因吞食了神學(xué)論點(diǎn)就嘔吐的。”

“用忽略高階無窮小而消除了原有的錯(cuò)誤，是依靠雙重的錯(cuò)誤得到了雖然不科學(xué)卻是正確的結(jié)果?！?/p>

貝克萊

由此，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的又一次危機(jī)，這是神學(xué)對(duì)科學(xué)的一次激烈反撲，貝克萊的話也被稱為“貝克萊悖論”。貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言,它必須既是0,又不是0.但從形式邏輯而言,這無疑是一個(gè)矛盾。

貝克萊的言論可以說在當(dāng)時(shí)引起數(shù)學(xué)界一片混亂，貝克萊的攻擊雖說出自維護(hù)神學(xué)的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。不僅差點(diǎn)推翻了微積分理論，甚至要顛覆整個(gè)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)體系。

這主要是因?yàn)槠鋽?shù)學(xué)分析的嚴(yán)密性問題一直沒有得到解決，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家還依賴于幾何論證，缺乏完備的實(shí)數(shù)理論，無論是數(shù)學(xué)分析還是代數(shù)都籠罩于歐氏幾何的陰霾中。

再加上當(dāng)時(shí)受歐氏幾何的束縛，本來就有許多數(shù)學(xué)家懷疑微積分的全部工作。比如和牛頓同時(shí)代的數(shù)學(xué)家羅爾就說：“微積分是巧妙的謬論的匯集”。甚至有數(shù)學(xué)家諷刺： “如果牛頓知道連續(xù)函數(shù)并不都是可導(dǎo)的，（如f(x)=|x|,在原點(diǎn)就不可導(dǎo)）那么微積分就不會(huì)誕生了”。

所以貝克萊的話一下就把這質(zhì)疑的聲浪給挑起來了。

牛頓在 1676 年寫的論文《曲線的求積》和 1687 出版的物理學(xué)的圣經(jīng)《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，曾使用了“最初比與最終比”來解釋這個(gè)悖論，力圖避開實(shí)無限小量，并且試圖重新解釋無窮小增量單位“瞬”的概念重新說明，還使用了“最初比與最終比”來解釋這個(gè)悖論，從實(shí)無限小量觀點(diǎn)轉(zhuǎn)向了極限觀點(diǎn)。

牛頓提出的最初比與最終比方法

牛頓提出的最初比與最終比方法相當(dāng)于求函數(shù)自變量和因變量變化之比的極限，為后來的極限理念奠定了基礎(chǔ)。

但是他并沒有解決貝克萊悖論，甚至帶來了更多的混亂。

萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。而他的追隨者使用“無窮小的非0量”以求過關(guān)。但追究起來，也無非是“文字花招”。

兩大天王都束手無策

到了牛頓和萊布尼茨去世也并沒有解決這個(gè)問題，從而引發(fā)無數(shù)數(shù)學(xué)家前赴后繼來修補(bǔ)微積分這座大廈所出現(xiàn)的漏洞，這中間，耗費(fèi)了整整 150 年的時(shí)間。

第一個(gè)對(duì)微積分開始修補(bǔ)工作的是麥克勞林，他是牛頓的鐵粉，堪稱牛頓粉絲團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)，曾蒙牛頓的栽培，作為 18 世紀(jì)英國(guó)最具有影響力的數(shù)學(xué)家，他的人生目標(biāo)是繼承、捍衛(wèi)、發(fā)展牛頓的學(xué)說而奮斗。

他 1742 年撰寫的《流數(shù)論》以泰勒級(jí)數(shù)作為基本工具，是對(duì)牛頓的流數(shù)法作出符合邏輯的、系統(tǒng)解釋的第一本書。此書之意是為牛頓流數(shù)法提供一個(gè)幾何框架的，以答復(fù)貝克來大主教等人對(duì)牛頓的微積分學(xué)原理的攻擊。他以熟練的幾何方法和窮竭法論證了流數(shù)學(xué)說，還把級(jí)數(shù)作為求積分的方法，并獨(dú)立于柯西以幾何形式給出了無窮級(jí)數(shù)收斂的積分判別法。他得到數(shù)學(xué)分析中著名的麥克勞林級(jí)數(shù)展開式，并用待定系數(shù)法給予證明。不過因?yàn)楫?dāng)時(shí)還沒有完備的實(shí)數(shù)理論，麥克勞林還是依賴于幾何方法去修補(bǔ)，只是起到了對(duì)微積分的梳理作用，并沒有真正解決微積分存在的漏洞。

第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見地的意見的是法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾。他在1754年指出，必須用更可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早使微積分嚴(yán)格化的是拉格朗日。為了避免使用無窮小推理和當(dāng)時(shí)還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個(gè)微積分建立在泰勒公式的基礎(chǔ)上。但是，這樣一來，考慮的函數(shù)范圍太窄了，而且不用極限概念也無法討論無窮級(jí)數(shù)的收斂問題，所以，拉格朗日的以冪級(jí)數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問題。

這兩個(gè)人的失敗都是因?yàn)楫?dāng)時(shí)代數(shù)并沒有從幾何中獨(dú)立出來，缺乏完備的實(shí)數(shù)理論系統(tǒng)作為支撐。

歐拉曾經(jīng)寫過《無窮分析引論》 這是他的劃時(shí)代的代表作，是世界上第一部最系統(tǒng)的分析引論，也是第一部溝通微積分與初等數(shù)學(xué)的分析學(xué)著作。也是這本書，把微積分從幾何中解放出來，而使它建立在算術(shù)和代數(shù)的基礎(chǔ)上。這一步至少為基于實(shí)數(shù)系統(tǒng)的微積分的根本論證開辟了道路，比如定義正弦不再是線段長(zhǎng)，而是純代數(shù)定義。

但他堅(jiān)決認(rèn)為在求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中,其結(jié)果應(yīng)該是0/0。他舉例說,如果計(jì)算地球的數(shù)值,則一顆灰塵、甚至成千上萬顆灰塵的誤差都是可以忽略的。但是在微積分的運(yùn)算中,“幾何的嚴(yán)格性要求連這樣小的誤差也不能有?！?/p>

牛頓與歐拉關(guān)于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算上的跨世紀(jì)分歧，即使到如今依然沒有一個(gè)滿意的解釋可以解決。歐拉認(rèn)為導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算應(yīng)該是一個(gè)確定的數(shù)值，但牛頓他們認(rèn)為這應(yīng)該是一個(gè)無窮小量，無限趨近0。

直到 1821 年，卓越的法國(guó)數(shù)學(xué)家A.L.柯西出版了著作《分析教程》中認(rèn)識(shí)到函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量，并且定義了導(dǎo)數(shù)和積分。成功的用現(xiàn)代極限理論來說明導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)。他將導(dǎo)數(shù)明確定義如下：

“現(xiàn)代分析學(xué)之父”魏爾斯特拉斯又用了“ε-δ”語言一舉克服了“l(fā)im困難”，他將極限定義如下：設(shè)函數(shù)f（x）在x₀的某個(gè)“去心領(lǐng)域”內(nèi)有定義，則任意給定一個(gè)ε大于0，存在一個(gè)δ大于0，使得當(dāng)

時(shí)，不等式

成立；則稱A是函數(shù)f（x）當(dāng)x趨近于x₀時(shí)的極限，記成

威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在通用的極限的定義，連續(xù)的定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上。極限理論的創(chuàng)立使得微積分從此建立在一個(gè)嚴(yán)密的分析基礎(chǔ)之上。

而這個(gè)時(shí)候，就只差一個(gè)完備的實(shí)數(shù)理論作為框架來，所以魏爾斯特拉斯等人發(fā)起了“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)。魏爾斯特拉斯認(rèn)為實(shí)數(shù)是全部分析的本源。要使分析嚴(yán)格化，首先就要使實(shí)數(shù)系本身嚴(yán)格化。為此最可靠的辦法是按照嚴(yán)密的推理將實(shí)數(shù)歸結(jié)為整數(shù)(有理數(shù))。這樣，分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補(bǔ)。這就是所謂“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)。

在魏爾斯特拉斯“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)的引領(lǐng)下，戴德金、康托爾包括魏爾斯特拉斯都提出了自己的實(shí)數(shù)理論。

1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，他將一切有理數(shù)的集合劃分為兩個(gè)非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一個(gè)元素小于集合A'中的每一個(gè)元素。集合A稱為劃分的下組，集合A'稱為劃分的上組，并將這種劃分記成A|A'。戴德金把這個(gè)劃分定義為有理數(shù)的一個(gè)分割，在這里面，戴德金從有理數(shù)擴(kuò)展到實(shí)數(shù)，建立起無理數(shù)理論及連續(xù)性的純算術(shù)的定義。

戴德金分割定理推算過程

康托爾也通過有理數(shù)序列理論完成了同一目標(biāo)，康托爾和戴德金都是將實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)的某些類型的“集合”。戴德金方法可以稱為序完備化方法，康托爾方法可以稱為度量完備化方法。這些方法在近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中都已成為典型的構(gòu)造方法，被后人不斷推廣發(fā)展成為數(shù)學(xué)理論中的有力工具。

康托爾的有理數(shù)序列理論

維爾斯特拉斯發(fā)表了有界單調(diào)序列理論，有理數(shù)基本列是先假定實(shí)數(shù)的完備性，再根據(jù)有理數(shù)列的極限來定義有理數(shù)無理數(shù)。有很多有理數(shù)列，他們自己是基本列，但在有理數(shù)系內(nèi)沒有極限，所以有了定義：如果一基本列收斂到有理數(shù)時(shí)，則稱它為有理基本列；如果一基本列不收斂到任何有理數(shù)或者收斂空了時(shí)，則稱它為無理基本列。有理基本列定義的是有理數(shù)，無理基本列定義的是無理數(shù)。

有界單調(diào)序列理論求證過程

實(shí)數(shù)的這三大派理論證明了實(shí)數(shù)系的完備性。實(shí)數(shù)的定義及其完備性的確立標(biāo)志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)大致宣告完成。這樣長(zhǎng)期以來圍繞著實(shí)數(shù)概念的邏輯循環(huán)得以徹底消除。

完備的實(shí)數(shù)體系的建立，給數(shù)學(xué)分析提供了嚴(yán)密性，把微積分及其推廣從對(duì)兒何概念、運(yùn)動(dòng)和直覺了解的完全依賴中解放出來。它既不依賴幾何的含義,又避免用極限來定義無理數(shù)的邏輯錯(cuò)誤。有了這些定義做基礎(chǔ),微積分中關(guān)于極限的基本定理的推導(dǎo)，才不會(huì)有理論上的循環(huán)。導(dǎo)數(shù)和積分從而可以直接在這些定義上建立起來,免去任何與感性認(rèn)識(shí)聯(lián)系的性質(zhì)。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發(fā)展的漫長(zhǎng)歲月的過程中已經(jīng)被證明。因此，必要的嚴(yán)格性只有通過數(shù)的概念，并且在割斷數(shù)的概念與兒何量觀念的聯(lián)系之后才能完全達(dá)到。

完備的實(shí)數(shù)體系

可以說，隨著極限理論的提出和實(shí)數(shù)理論的完備，微積分其自身得到了不斷的系統(tǒng)化，完整化，成為了18世紀(jì)數(shù)學(xué)世界的“霸主”。

而微積分的完備，也促進(jìn)了物理學(xué)的大發(fā)展大繁榮，物理問題的表達(dá)一般都是用微分方程的形式。也迎來了科學(xué)的大發(fā)展大繁榮時(shí)代，一直持續(xù)了整整 200 多年，直到 20 世紀(jì)上個(gè)月，這 200 多年里，涌現(xiàn)了無數(shù)著名的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家。他們把微積分應(yīng)用于天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，并獲得了豐碩的成果。在數(shù)學(xué)本身又發(fā)展出了多元微分學(xué)、多重積分學(xué)、微分方程、無窮級(jí)數(shù)的理論、變分法，大大地?cái)U(kuò)展了數(shù)學(xué)研究的范圍。比如最著名的要數(shù) 最速降線問題。

微積分還推動(dòng)了工業(yè)革命的發(fā)展，促進(jìn)了社會(huì)生產(chǎn)力的提高，實(shí)現(xiàn)了社會(huì)文明的大進(jìn)步，但是正如前面所說，牛頓和歐拉之間的隔空跨世紀(jì)論爭(zhēng)的內(nèi)容，還是沒有完全解決，由微積分引發(fā)的數(shù)學(xué)漏洞還留有一個(gè)小孔等著等著人們將它補(bǔ)上。

希望那個(gè)人會(huì)是你們！