撰文 | 楊浩
01 如何嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明0.999...=1？
知乎上有一個數(shù)學(xué)問題引發(fā)了大家的討論——“如何嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明0.999…=1？關(guān)于此問題的回答也是五花八門，各抒己見。這個問題的有趣之處在于不同數(shù)學(xué)水平的人會有不同的理解。
為了后面能夠把這個問題討論清楚，我們先整理了幾個知乎上的高人氣“抖聰明”答案。
答案一：
根據(jù)人教版小學(xué)四年級下冊教材：“如何比較小數(shù)的大??？先比較整數(shù)部分，整數(shù)部分越大，小數(shù)越大；整數(shù)部分相同的，再比較小數(shù)部分……”，顯然 " 0.999…＜1 "，二者并不相等。
答案二：
同樣根據(jù)小學(xué)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，
有1/3=0.333… ，
于是1/3×3=0.333…×3 ，
即1=0.999^ 。
答案三：利用初中代數(shù)與方程的思想，
設(shè) x=0.999…，
則 10x=0.999…，
于是10x-x=9x ，9x=9，x=1。
答案四：利用高中等比數(shù)列求和與極限的思想描述 0.999… ：
上述幾種方法分別代表了小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)知識水平，在一定的知識能力范圍內(nèi)，這些證明似乎都正確。
那么，到底哪個才是足夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明？
0.999… 與 1 是不是真的相等？這就要追溯到幾百年來數(shù)學(xué)家們對無窮小量的探討之中。
02 無窮小量的產(chǎn)生
無窮小量的產(chǎn)生來源于17世紀(jì)微積分的創(chuàng)立。微積分的誕生首先是為了解決一系列自然科學(xué)的問題（求瞬時變化率、求曲線的切線等等），牛頓（Isaac Newton, 1643-1727）和萊布尼茲（ Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）先后獨立地建立了微積分理論體系。
1669年牛頓在《運用無窮多項方程的分析學(xué)》一書中初次提出了他的想法（這本書直到1711年才出版）。
萊布尼茲也推出了同樣的結(jié)果。
牛頓和萊布尼茲都使用了無窮小的方法，盡管后來微積分迅速普及并且被廣泛地使用，但也掩蓋不了這種方法在邏輯上的不嚴(yán)密。
由于無窮小量（無論是牛頓的o ，還是萊布尼茲的dx ）沒有被明確的定義，很快，微積分就迎來了一系列質(zhì)疑的聲音——無窮小量和 0 到底有怎樣的區(qū)別？推理過程中為什么能夠直接舍棄無窮小量，而無窮小量的和卻可以是有限的量？
針對這些疑問，牛頓和萊布尼茲意識到微積分存在的問題，也各自作出了回應(yīng)。
1671年，牛頓闡述：變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的。1676年，他又說，流數(shù)（變量的變化率）是增量的最初比。
萊布尼茲在1690年寫給沃利斯的信中說：“考慮這樣一種無窮小量將是有用的，當(dāng)尋找他們的比時，不把它們當(dāng)做是零，但是只要它們和無法相比的大量一起出現(xiàn)，就把它們舍棄……”
可以看出，他們試圖把自己的理論說清楚，但無窮小量的確切含義，仍然十分模糊。
03 無窮小量的爭議與解決
18世紀(jì)初，微積分的不嚴(yán)密性招致了教會的攻擊。由于害怕機械論和決定論對宗教的威脅，英國大主教貝克萊于1734年發(fā)表《分析學(xué)者》一文抨擊牛頓是 “依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學(xué)卻是正確的結(jié)果”。
數(shù)學(xué)家們當(dāng)然不能容忍這種對數(shù)學(xué)的輕蔑，他們立即加入了爭論，并且繼續(xù)嘗試給微積分提供嚴(yán)密的基礎(chǔ)，雖然大部分都失敗了，但我們不能否認(rèn)的是，在得到正確的結(jié)果之前，有一些數(shù)學(xué)家的貢獻是不可忽視的。
沃利斯在《無窮的算術(shù)》中，提出了函數(shù)極限的概念，產(chǎn)生了新思想的萌芽。
歐拉則是把微積分從幾何中解放出來，而使它建立在算術(shù)和代數(shù)的基礎(chǔ)上，為基于實數(shù)系統(tǒng)的微積分的根本論證開辟了道路。
進而，導(dǎo)數(shù)、積分、收斂性、無窮級數(shù)等概念一一被嚴(yán)格確定下來，關(guān)于無窮小量的長達兩個多世紀(jì)的爭論（也稱第二次數(shù)學(xué)危機）終于結(jié)束。
但這并不是基礎(chǔ)研究的終點，所有相關(guān)的研究工作都是以承認(rèn)實數(shù)系為先決條件的，而實數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)到19世紀(jì)后半葉才逐漸建立起來。實數(shù)系的建立者是康托爾（同時建立了集合論），在有理數(shù)系的基礎(chǔ)上，他引入了一個新的數(shù)類——實數(shù)。
如今，實數(shù)理論進一步發(fā)展為實變函數(shù)論，已經(jīng)成為微積分的一個重要分支，實變函數(shù)也是數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生的主要課程之一。
04 無窮小量、極限和高中數(shù)學(xué)的關(guān)系
現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn) 0.999…＜1 的問題，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題，它反映了實數(shù)的稠密性和完備性。
換句話說，如果這兩個數(shù)不相等，那么實數(shù)理論，以及建立在實數(shù)系基礎(chǔ)之上的微積分的大廈將會崩塌。在高中階段，我們也會學(xué)習(xí)簡單的微積分知識，比如導(dǎo)數(shù)和定積分的運算，在數(shù)學(xué)中，我們可以運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題；在物理中，可以根據(jù)位移函數(shù)求瞬時速度和加速度，也可以解決簡單的天體物理運動問題。
因此，高中數(shù)學(xué)課本中對導(dǎo)數(shù)的解釋其實是有些模糊不清的，事實上，到大學(xué)數(shù)學(xué)分析中，我們才能學(xué)到函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分最明確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x。數(shù)學(xué)是最講邏輯的學(xué)科，數(shù)學(xué)家們花了近3個世紀(jì)，才把微積分的理論從建立到完善，甚至直到今天，還有一些懸而未決的問題。相信大家看完文章后，也會對微積分、對數(shù)學(xué)有全新的認(rèn)識，直觀感受有時也會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。我們以后在思考問題的過程中，也要爭取像數(shù)學(xué)家們一樣，力求嚴(yán)謹(jǐn)，不能似是而非。
本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號“新東方智慧學(xué)堂”。原標(biāo)題為《0.999...到底等不等于1？400多個知乎回答，都不算對》。
