我們知道歐拉公式和自然常數(shù)e分布于工程和科學(xué)的各個(gè)角落，應(yīng)用及其廣泛，我們從一種新的視角來(lái)領(lǐng)略它給我們帶來(lái)的不一樣的感受。

先來(lái)看自然常數(shù)e的來(lái)源：

我們知道二項(xiàng)式定理：

稍微經(jīng)過(guò)變形得：（將上式x變?yōu)閍x,m變?yōu)?/a）

當(dāng)a趨于0時(shí)得到：

當(dāng)x=1的時(shí)候得到

所以當(dāng)a趨于0時(shí)得到一個(gè)與e有關(guān)的重要等式：

所以只要a趨于無(wú)窮小，就得到一個(gè)與a無(wú)關(guān)的結(jié)果常數(shù)e,所以a可以用ax替換，并不影響結(jié)果

再次變形得到等價(jià)的，a趨于無(wú)窮大的公式

現(xiàn)在來(lái)看本文要闡述的旋轉(zhuǎn)概念：把上述的公式換成

（i是虛數(shù)）這個(gè)公式就是復(fù)數(shù)a+bi的形式

你會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)n取任何數(shù)值時(shí)，且k=1,2,3,4...的情況下的圖像：

當(dāng)n較大，在k=1,2,3,4時(shí)，旋轉(zhuǎn)半徑和旋轉(zhuǎn)角度越來(lái)越小，n趨于無(wú)窮大時(shí)，且k=1，2，3，...n時(shí),最終的旋轉(zhuǎn)停止在角度為1旋轉(zhuǎn)半徑r=1的位置.所以公式

表達(dá)的幾何意義就是:半徑為1，旋轉(zhuǎn)了1度的一個(gè)旋轉(zhuǎn)量，上述僅用1度來(lái)分析，其他角度也成立。且復(fù)數(shù)

也表示在圓上的旋轉(zhuǎn)，所以最終（1）和（2）在幾何上建立某種默契的聯(lián)系，這就是著名的歐拉公式：

于是作圖得到

從圖中得到公式：

于是作圖得到：

從圖中得到公式：

所以正弦和余弦這兩個(gè)公式僅從頭腦中浮現(xiàn)的幾何圖形就可以寫(xiě)出來(lái)，不用刻意去記或者推導(dǎo)。

這就是歐拉公式在幾何意義上的表示，用旋轉(zhuǎn)的思路去理解，直觀方便。