數(shù)列的幾何意義

兩個簡單的中學(xué)問題：

1.從1到10十個數(shù)加起來等于多少？

高斯說等于55（這個梗，大家都知道就不普及了）

2.從0到10所有數(shù)加起來等于多少？

我聽過好多答案，無窮大，50，無解

幾何映射

在坐標(biāo)上作函數(shù)f(x)=x直線，也即45度斜線。

在x軸上，任意一個數(shù)a，對應(yīng)y軸一個a值，對應(yīng)一段長度為a的線段。這樣從0到10所有數(shù)值相加，等于函數(shù)f(x)與x軸在0到10之間所對應(yīng)的線段之和，也即等于其組成的三角形面積。

高斯說從1到10之間，十個整數(shù)相加都55。

從0到10所有數(shù)字相加和居然為50。

這不是部分和大于整體和了？

先不要著急，接著往下走，數(shù)列的幾何意義。

數(shù)列幾何解法

在坐標(biāo)上作函數(shù)f(x)=x直線，也即45度斜線。在x軸上以自然數(shù)取值，在函數(shù)上取值，并在f(n)與f(n+1)作相應(yīng)矩形。

本例中從1到10十個數(shù)相加等于10個矩形之和，也即等于大三角形與10個小三角形之和。

數(shù)列求和的一般幾何解法

作數(shù)列通項公式函數(shù)f(x) 圖像，以x軸自然數(shù)作矩形框，這樣數(shù)列每一項對應(yīng)一個等效面積的矩形框。所有矩形方框的面積即為數(shù)列和。

假設(shè)通項公式a_n=f(x)，函數(shù)f(x)的積分函數(shù)為F(x)。函數(shù)前n項和實際上是黎曼積分的特殊形式

上述公式中b=n,a=0的特殊情況

根據(jù)通項公式函數(shù)積分求解數(shù)列和直接近視誤差太大，每一項差一個三角形面積。

第n項三角形面積

前n項三角形面積和

數(shù)列前n項和，等于通項公式函數(shù)與x軸圍成的面積與前n項三角形面積的和。

調(diào)和級數(shù)的幾何解法

調(diào)和級數(shù)

通項公式a_n=1/n，作對應(yīng)函數(shù)f(x)=1/x (1?x?n+1),分別在x軸上找正整數(shù)1到n+1,間做寬度為1的矩形，如下圖。

那么，矩形面積S_1=f(1)?1=a_1 ，同理S_n=a_n。這樣調(diào)和級數(shù)s_n等于所有矩形框面積之和。同時調(diào)和級數(shù)s_n等于f(x)曲線與x軸圍成的面積與藍色小三角形面積之和。

那么調(diào)和級數(shù)

由此可推出，歐拉常數(shù)γ等于藍色小三角面積之和，也即γ=s_?

歐拉常數(shù)γ的幾何意義

歐拉常數(shù)γ等于下圖藍色小三角面積之和，也即γ=s_?

單個藍色小三角形面積

小三角形面積最大s_?1=1-ln?(2)

作對應(yīng)函數(shù)f(x)=1/(x-1) (2?x?n+1), 如上圖紅線。與矩形框圍成的紅色小三角形面積為s_?單個紅色小三角形面積

任一組紅三角形面積與藍三角形面積之和 s_?n+s_?n=f(n)-f(n+1)=1/(n(n+1))

所有的紅三角形面積與藍三角形面積之和 s_?+s_?=1

紅三角形面積和 s_?=1-γ

所以歐拉常數(shù)γ 實際上是，f(x)=1/x割矩形框高（f(n+1)-f(n)）*寬（1）的所有曲邊三角形面積和。

如果曲線割方面積有新的解法，歐拉常數(shù)γ會有新的更精確的公式解法。否則最精確的幾何解法還是

思考

1.為啥x軸取值不是0到n，而是1到n+1？

2.為啥不是ln(n)而是ln(n+1)?

感謝大家看完，希望有所啟發(fā)，歡迎大家積極留言。