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在有一次遇到海倫公式時，不禁想起以前的困惑，這海倫公式的幾何意義到底是什么。因為我們知道每一個公式都有對應的幾何圖形，只不過有些圖形表達起來不是很容易了，尤其是高階的方程。但是，海倫公式是一個面積公式，無論如何都應該可以說得清楚。
于是在網(wǎng)上查了半天，終于知道大數(shù)學家歐拉是最早把這個事情表達清楚的?？墒?，我們的教科書卻一直沒有交代這件事，即使中文網(wǎng)站上也都是用勾股定理或者余弦定理來推導的，沒有什么趣味。于是覺得自己不妨把這個事情寫出來，也好給有同樣困惑的網(wǎng)友一個參考。特別說明，這些資料綜合了幾個來源。
歐拉是從三角形內切圓的半徑入手的。 
如上圖所示假定做一個內切圓，那么，每個切點到三角形頂點的距離分別就是x,y,z。設內切圓的半徑是r,那么一個三角形就可以分為六個三角形，或者三對三角形，三角形的面積就是r*(x+y+z)。如果三角形三條邊上分別是a,b,c。那么很容易得到xyz和abc之間的關系。就是海倫公式里面的s-a,s-b,s-c。所以問題就變成求內切圓半徑r。因為內切圓的圓心是在角平分線上，所以，我們一定可以把三個三角形合成一個直角（如上圖右所示）而把這些三角形按比例放大，一定可以得到一個矩形PQST。下面，就來推導一下： 
怎么樣，夠漂亮的吧。請注意這里沒有用到勾股定理，只是用了相似三角形的性質。所以，國外的學者很明確地說明這兩個公式可以相互推導。
為了更明確地表達xyz的幾何意義，請看下圖：  好了，一切盡在不言中。
海倫公式的幾何證明2
在看到一本美國人寫的歷史上各位數(shù)學天才的書后，才知道原來海倫前輩自己也是用幾何方法證明內切圓半徑公式的。所以寫歐拉的人有些文過飾非的味道，當然歐拉的確偉大的不得了，但海倫前輩的功績也不能抹殺。
上圖左就是據(jù)說海倫用來證明他的公式的。不過這個證明過程網(wǎng)上到處都是，所以這里就不再重復推導了。在看到介紹海倫公式的文章時，還有另外一個幾何方法，就是右圖。但沒有給出過程，讓讀者自己推。我覺得這也是一個很好的思想，所以決定把它寫出來。見下圖。
怎么樣，也夠簡單的吧！不過我自己還是喜歡最前面的方法。
數(shù)學清咖: 費馬點(Fermat Point)的可視化證明
三角形的 Fermat點是指三角形所在平面上到三角形三個頂點距離之和最小的點。諸多
Fermat點的證明中，下面的方法別具一格，值得玩味。
弦切角定理與布羅卡爾角（點）
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