圓周率π是一個(gè)幾乎人人皆知的常數(shù)， 凡是上過(guò)小學(xué)的人都知道它的值等于3.14，用它可以計(jì)算圓的周長(zhǎng)和面積。如果上到高中，學(xué)生們還會(huì)用它來(lái)計(jì)算球的體積。但它的值是怎么求得的， 它還有什么其他的數(shù)學(xué)特性，恐怕知道的人就不多了。

公元前200多年，古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿吉米德，是世界上最早把π計(jì)算出精確至小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)的人，他求的值是3.14。為了紀(jì)念他的這一貢獻(xiàn)， 人們把3.14稱之為阿吉米德數(shù)。據(jù)傳他是用切割法求得此值的，即用許多短直線來(lái)近似代替圓。這已經(jīng)類似現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的微分計(jì)算。他具體的做法是把一個(gè)圓按30°角度均分成12段圓弧。然后在圓弧與半徑的交點(diǎn)作切線，切線與兩個(gè)鄰近半徑的延長(zhǎng)線相交，組成一個(gè)等邊三角形。這樣可以求出π的上界 22/7。用同樣的思路， 把兩個(gè)鄰近半徑與圓弧的交點(diǎn)連接起來(lái)，包括兩條半徑，就可以組成一個(gè)新的內(nèi)切等腰三角形。這樣可以推導(dǎo)出π的下界為223/71。這兩個(gè)數(shù)的前三位公共數(shù)就是3.14。

令人驚嘆的是， 古希臘人在公元前二世紀(jì)就掌握了連許多現(xiàn)代人都不會(huì)的數(shù)學(xué)幾何邏輯推理?？上?，阿吉米德被羅馬士兵殺死。不然的話，他還能取得許多其他驚天動(dòng)地的成就。

在公元5世紀(jì)，中國(guó)的數(shù)學(xué)家祖沖之也曾在計(jì)算π的道路上取得了輝煌成就。他求的值是355/113=3.1415929。這個(gè)數(shù)一下子讓?duì)芯_到小數(shù)點(diǎn)后六位。根據(jù)歷史記載， 他也是用切割法求得此值的。但他具體的求解過(guò)程，已經(jīng)無(wú)從考證，成了永恒的謎。

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家已經(jīng)把π計(jì)算到精確度到提高到三十萬(wàn)多億位。

求解它的值，只是研究π的初級(jí)階段。π還有許多其他奇特的數(shù)學(xué)特性。

第一，人們要問(wèn)， 既然π是圓周長(zhǎng)和直徑的比， 但對(duì)不同直徑的圓， 它是不是一個(gè)常數(shù)呢? 無(wú)論阿吉米德，還是祖沖之， 都是理所當(dāng)然地把它當(dāng)著常數(shù)來(lái)看待的。但嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明， 是在法國(guó)數(shù)學(xué)柯西(Chaucy)建立了極限論后才得以實(shí)現(xiàn)的。這一過(guò)程極為簡(jiǎn)單， 只要把圓用許多小三角形分割，然后用歐幾里得幾何學(xué)的相似三角形原理，取其極限，就能證明。

第二，現(xiàn)在人們都知道數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩類，但在遙遠(yuǎn)的古代并不是這樣的。古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)和他的學(xué)生曾經(jīng)認(rèn)為所有數(shù)都是有理數(shù)，即任意一個(gè)數(shù)都可以用兩個(gè)整數(shù)相除得到。他的學(xué)生希帕索斯(Hippasus)無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了√2 是無(wú)理數(shù)，即這個(gè)數(shù)則不能表示為兩個(gè)整數(shù)相除。這一發(fā)現(xiàn)與畢達(dá)哥拉斯的理論相悖，因而大大地激怒了他，于是他就把希帕索斯投入茫茫大海之中。

無(wú)理數(shù)是那些不能夠用兩個(gè)有理數(shù)相除來(lái)表示的數(shù)，用通俗的話來(lái)說(shuō)， 無(wú)理數(shù)就是小數(shù)點(diǎn)后面有無(wú)窮位數(shù)，而且不循環(huán)。

實(shí)數(shù)理論， 包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，是由德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(Weierstrass)建立起來(lái)的。他的理論說(shuō)明，無(wú)理數(shù)可以通過(guò)有理數(shù)的無(wú)窮數(shù)列收斂產(chǎn)生， 從而確立了無(wú)理數(shù)和有理數(shù)平起平坐的地位。在德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(Cantor)創(chuàng)立了集合論后，人們更是發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)要比有理數(shù)多得多。無(wú)理數(shù)在數(shù)軸上是密密麻麻，幾乎沒有縫隙，而有理數(shù)在數(shù)軸則是稀稀拉拉，在任意兩個(gè)靠得很近得有理數(shù)之間，都可以找到無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù)。如果用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示，有理數(shù)在數(shù)軸上是稀疏的，而無(wú)理數(shù)在數(shù)軸上則是致密的。由于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都有無(wú)窮多個(gè)，人們不能夠用常規(guī)的方法來(lái)比較它們的多少， 于是康托發(fā)明了勢(shì)的概念來(lái)定義它們的大小。他用希伯來(lái)語(yǔ)的第一個(gè)字母? 表示勢(shì)。有理數(shù)的勢(shì) ?_0是無(wú)窮集合里最小的， 無(wú)理數(shù)的勢(shì)為?_1，比有理數(shù)大一級(jí)。

從第一次發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)， 到建立起完備的實(shí)數(shù)理論， 把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)有機(jī)地組合在一起，人類經(jīng)歷了兩千三百多年的漫長(zhǎng)歲月。

現(xiàn)在要問(wèn)，π是有理數(shù)，還是無(wú)理數(shù)? 長(zhǎng)期以來(lái)，人們無(wú)法回答這個(gè)問(wèn)題。直到現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論建立后，數(shù)學(xué)家嘗試著用級(jí)數(shù)來(lái)證明π是有理數(shù)，但都沒有成功。他們?cè)噲D把它展開在各種級(jí)數(shù)中，始終沒有發(fā)現(xiàn)它的尾數(shù)逐步衰減。人們不斷地計(jì)算它的值， 盡管小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)越來(lái)越長(zhǎng)，也沒有發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)循環(huán)數(shù)的跡象。千般努力，萬(wàn)種辛苦，終究歸于失敗。于是，人們放棄了求證π是有理數(shù)的念頭。

第一個(gè)真正證明π是無(wú)理數(shù)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭伯特(Lambert)。他在歐拉(Euler)證明歐拉常數(shù)e是無(wú)理數(shù)的基礎(chǔ)上， 用無(wú)窮連分?jǐn)?shù)證明了π是無(wú)理數(shù)。有趣的是， e是十八世紀(jì)才被發(fā)現(xiàn)的， 但卻在π之前被證明是無(wú)理數(shù)。

不過(guò)，有人對(duì)蘭伯特提出了質(zhì)疑， 認(rèn)為他的證明不夠嚴(yán)謹(jǐn)。更進(jìn)一步的證明由法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德(Legendre)做出的。勒讓德出版了一本關(guān)于幾何的書。在這本書中， 他不僅對(duì)蘭伯特德證明予以了補(bǔ)充，而且還進(jìn)一步證明π的平方也是無(wú)理數(shù)(√2是無(wú)理數(shù)，而它的平方2卻是有理數(shù))。從此以后，籠罩在π頭上的無(wú)理數(shù)特性的疑云消失得無(wú)影無(wú)蹤，人們對(duì)π的探索也進(jìn)入了新的天地。

證明π是無(wú)理數(shù)還有一個(gè)哲學(xué)上的意義，即圓和直線是彼此完全獨(dú)立的兩個(gè)幾何元素。如果π是有理數(shù)，就意味著用n條直線可以構(gòu)成m個(gè)圓弧， 也即圓和直線在一定程度上可以彼此互相轉(zhuǎn)換。正是由于π是無(wú)理數(shù)，所以直線和圓彼此獨(dú)立，造就了各種各樣新穎奇特的幾何圖形，使我們生活的世界斑斕多姿。

第三， 證明π是超越數(shù)，是人們?cè)谘芯喀械恼鞒讨械挠忠粋€(gè)里程碑。所謂超越數(shù)， 就是不可能成為以有理數(shù)為系數(shù)的任意多項(xiàng)式的根的數(shù)，而能夠成為這種多項(xiàng)式的根的數(shù)被數(shù)學(xué)家命名為代數(shù)數(shù)。

為什么要研究π是不是超越數(shù)呢? 這是因?yàn)榍蠼舛囗?xiàng)式的根在十八世紀(jì)和十九世紀(jì)是相當(dāng)時(shí)髦的數(shù)學(xué)分支，因?yàn)槠渌械暮瘮?shù)都可以用多項(xiàng)式來(lái)無(wú)限近似。大名鼎鼎的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(Gauss)也加入進(jìn)來(lái)并取得了卓越的成果。高斯在他的博士論文里證明， 任意一個(gè)n階多項(xiàng)式都有n個(gè)復(fù)數(shù)根。不過(guò)，他沒有提出求解n階多項(xiàng)式根的具體過(guò)程。

求解n階多項(xiàng)式的根的方法是由挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾(Abel)和法國(guó)更年輕的數(shù)學(xué)家伽羅華(Galois)給出的。

阿貝爾還在上大學(xué)時(shí)期就證明了五次以上的多項(xiàng)式的根式解法是不存在的，只是在以下特殊情況下，五次以的上多項(xiàng)式才能有根式解。他把論文寄給了高斯。可惜他的信猶如石沉大海，毫無(wú)回音。當(dāng)時(shí)，學(xué)術(shù)交流沒有今天這樣頻繁，更何況阿貝爾是一位年輕的無(wú)名之輩，高斯沒有重視他的論文。

不幸的是， 這位天才的數(shù)學(xué)家在27歲時(shí)染上了肺結(jié)核去世了。當(dāng)時(shí)的肺結(jié)核是不治之癥。他的去世應(yīng)驗(yàn)了中國(guó)的一句古話，天妒英才。

在數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支群論里，有一個(gè)特殊的群，就是以他的名字命名的， 以紀(jì)念這位英年早逝的天才數(shù)學(xué)家。

另一位法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅華創(chuàng)造性地用群論來(lái)求解多項(xiàng)式的根。在十九世紀(jì)初期，群論還是一門生僻的學(xué)問(wèn)，不為人們廣泛所知，用它來(lái)研究多項(xiàng)式的根是絕對(duì)超前的想法。同樣不幸的是，這位年輕有為的數(shù)學(xué)家在21歲時(shí)就因?yàn)楹腿藳Q斗而匆匆地離開了人世。

在研究多項(xiàng)式的根取得了決定性的進(jìn)展后，人們自然會(huì)問(wèn)，哪些數(shù)能夠成為以有理數(shù)為系數(shù)的根，哪些數(shù)則不能? 于是就誕生了超越數(shù)和代數(shù)數(shù)的概念。

第一個(gè)證明π是超越數(shù)的人是德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼(Lindemann)。他在證明過(guò)程中用到了著名的歐拉公式 e^iπ+1=0。這間接地宣示了歐拉在數(shù)學(xué)歷史上空前絕后的巨大影響力。在此之后，許多數(shù)學(xué)家對(duì)林德曼德證明進(jìn)行了改進(jìn)和簡(jiǎn)化，徹底完成了人類對(duì)π是超越數(shù)認(rèn)識(shí)的飛躍。

在證明了π是超越數(shù)后，人們對(duì)它的研究并沒有停滯不前，而是向新的問(wèn)題發(fā)起了沖擊。現(xiàn)在關(guān)于π的研究題目集中在于它究竟是不是個(gè)正態(tài)數(shù)， 即π小數(shù)點(diǎn)后面的10個(gè)基本數(shù)，0，1，2，3，….. ，9， 是不是以平均的概率出現(xiàn)的。盡管眾多的數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)了一個(gè)多世紀(jì)的艱苦卓絕的努力，這個(gè)問(wèn)題至今依然懸而未決。要解決這個(gè)問(wèn)題，顯然不能只用計(jì)算機(jī)了，而是必須發(fā)明新的數(shù)學(xué)理論了。

求解π的值也一直是人們感興趣的題目。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的不斷進(jìn)步， 數(shù)學(xué)家發(fā)明了各種各樣的方法，并利用計(jì)算機(jī)，把π計(jì)算到精確到提高到三十萬(wàn)多億位。如果把這么多的數(shù)印成書，該書會(huì)有幾十萬(wàn)米厚。當(dāng)今之世，這一求解過(guò)程還在方興未艾。

對(duì)于π的探索和研究，已經(jīng)伴隨著人類走過(guò)了兩千五百多年的歷程了?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，這一歷程何時(shí)有個(gè)終極呢?