數(shù)學(xué)是物理的一部分。物理學(xué)是一門(mén)實(shí)驗(yàn)科學(xué)，它是自然科學(xué)的一部分。而數(shù)學(xué)是物理學(xué)中只需要花費(fèi)較少的代價(jià)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的那一部分。例如Jacobi恒等式（保證三角形三條高交于一點(diǎn)）就是一個(gè)實(shí)驗(yàn)事實(shí)，正如同地球是圓的（即同胚于球體）這樣的事實(shí)一樣。但是發(fā)現(xiàn)前者卻要比發(fā)現(xiàn)后者需要較少的代價(jià)。

　　在20世紀(jì)中葉，人們?cè)噲D嚴(yán)格地區(qū)分物理與數(shù)學(xué)。其造成地后果是災(zāi)難性的。整整一代的數(shù)學(xué)家在對(duì)他們所從事的科學(xué)的另一半及其無(wú)知的情況下成長(zhǎng)，當(dāng)然，對(duì)其他的科學(xué)就更無(wú)知了。這些人又開(kāi)始把他們的丑陋的學(xué)院式的偽數(shù)學(xué)教給他們的學(xué)生，接著這些丑陋的偽數(shù)學(xué)又被交給中小學(xué)校里的孩子們（他們完全忘記了Hardy的警告：丑陋的數(shù)學(xué)在陽(yáng)光下不可能總有藏身之處）。

　　既然那些從物理學(xué)中人為挖出來(lái)的學(xué)院式的數(shù)學(xué)既無(wú)益于教學(xué)，又對(duì)其他的科學(xué)毫無(wú)用處，結(jié)果可以想見(jiàn)，全世界的人都討厭數(shù)學(xué)家（甚至包括那些被他們教出來(lái)的可憐的學(xué)校里的孩子們以及那些運(yùn)用這些丑陋數(shù)學(xué)的人）。這些先天不足的數(shù)學(xué)家被他們所患的低能癥候群折騰的筋疲力盡，他們無(wú)能對(duì)物理學(xué)有個(gè)起碼的了解。令人們記憶猶新的由他們建造的一個(gè)丑陋建筑物就是“奇數(shù)的嚴(yán)格公理化理論”。

　　很顯然，完全可能創(chuàng)造這樣一種理論，使得幼稚的小學(xué)生們敬畏它的完美及其內(nèi)部構(gòu)造的和諧（例如，這種理論定義了奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的和以及任意個(gè)因子的乘積）。從這種偏執(zhí)狹隘的觀點(diǎn)來(lái)看，偶數(shù)或者被認(rèn)為是一類(lèi)“異端”，或者隨著時(shí)間流逝，被用來(lái)作為該理論中幾個(gè)“理想”對(duì)象的補(bǔ)充（為了遵從物理與真實(shí)世界的需要）。很不幸的是，這種理論只是數(shù)學(xué)中一個(gè)丑陋而變態(tài)的構(gòu)造，但卻統(tǒng)治了我們的數(shù)學(xué)教育數(shù)十年。它首先源自于法國(guó)，這股歪風(fēng)很快傳播到對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教學(xué)里，先是毒害大學(xué)生，接著中小學(xué)生也難免此災(zāi)（而災(zāi)區(qū)最先是法國(guó)，接著是其他國(guó)家，包括俄羅斯）。

　　如果你問(wèn)一個(gè)法國(guó)的小學(xué)生：“2＋3等于幾？”，他（她）會(huì)這樣回答：“等于3＋2，因?yàn)榧臃ㄟ\(yùn)算是可交換的”。他（她）根本不知道這個(gè)和等于幾，甚至根本不能理解你在問(wèn)他（她）什么！

　　還有的法國(guó)小學(xué)生會(huì)這樣定義數(shù)學(xué)（至少我認(rèn)為很有可能）：“存在一個(gè)正方形，但還沒(méi)有被證明”。

　　據(jù)我在法國(guó)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，大學(xué)里的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與這些小學(xué)生也差不多（甚至包括那些在‘高等師范學(xué)?！‥NS）里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生－－我為這些顯然很聰明但卻被毒害頗深的孩子們感到極度的惋惜）。

　　例如，這些學(xué)生從未見(jiàn)過(guò)一個(gè)拋物面，而且一個(gè)這樣的問(wèn)題：描述由方程xy=z^2所給出的曲面的形狀，就能使那些在ENS中研究的數(shù)學(xué)家們發(fā)呆半天；而如下問(wèn)題：畫(huà)出平面上由參數(shù)方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）給出的曲線(xiàn)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是不可能完成的（甚至對(duì)大多數(shù)法國(guó)的數(shù)學(xué)教授也一樣）。從微積分的入門(mén)教科書(shū)直到Goursat寫(xiě)的課本，解這些問(wèn)題的能力都被認(rèn)為是每個(gè)數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的基本技能。

　　那些喜歡挑戰(zhàn)大腦的所謂“抽象數(shù)學(xué)”的狂熱者們，把所有在數(shù)學(xué)中能與物理和現(xiàn)實(shí)經(jīng)常發(fā)生聯(lián)系的幾何統(tǒng)統(tǒng)排除在教學(xué)之外。由Goursat, Hermite, Picard等人寫(xiě)的微積分教程被認(rèn)為是有害的，最近差點(diǎn)被巴黎第6和第7大學(xué)的圖書(shū)館當(dāng)垃圾丟掉，只是在我的干預(yù)下才得以保存。

　　ENS的聽(tīng)完所有微分幾何與代數(shù)幾何課程的學(xué)生（分別被不同的數(shù)學(xué)家教的），卻既不熟悉由橢圓曲線(xiàn)y^2 = x^3 + ax + b決定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓?fù)浞诸?lèi)（更別提第一類(lèi)橢圓積分和橢圓曲線(xiàn)的群性質(zhì)了，即Euler-Abel加法定理）。他們僅僅學(xué)到了Hodge構(gòu)造以及Jacobi簇！

　　這樣的現(xiàn)象竟然會(huì)在法國(guó)出現(xiàn)！這個(gè)國(guó)家可是為整個(gè)世界貢獻(xiàn)了諸如Lagrange，Laplace, Cauchy以及Poincaré, Leray還有Thom這些頂級(jí)的偉大人物??！對(duì)我而言，一個(gè)合理的解釋來(lái)自I.G. Petrovskii,他在1966年曾教導(dǎo)過(guò)我:真正的數(shù)學(xué)家決不會(huì)拉幫結(jié)派，只有弱者為了生存才會(huì)加入幫派。他們可以聯(lián)結(jié)很多的方面（可能會(huì)是超級(jí)的抽象，反猶太主義或者“應(yīng)用的和工業(yè)上的”問(wèn)題），但其本質(zhì)總是為了解決社會(huì)生存問(wèn)題。

　　我在此向大家順便提一下L. Pasteur的忠告：從來(lái)沒(méi)有也決不會(huì)有任何所謂的“應(yīng)用科學(xué)”，而僅僅有的是科學(xué)的應(yīng)用（十分有用的東東?。。?/p>

　　長(zhǎng)久以來(lái)我一直對(duì)Petrovskii的話(huà)心存疑慮，但是現(xiàn)今我越來(lái)越肯定他說(shuō)的一點(diǎn)沒(méi)錯(cuò)。那些超級(jí)抽象活動(dòng)的相當(dāng)大的部分正在墮落到以工業(yè)化的模式無(wú)恥的掠奪那些發(fā)現(xiàn)者的成果，然后再加以系統(tǒng)地組織設(shè)計(jì)使自己成為萬(wàn)能的推廣者。就彷佛美麗堅(jiān)所在的新大陸不以哥倫布命名一樣，數(shù)學(xué)結(jié)果也幾乎從未以它們真正的發(fā)現(xiàn)者來(lái)命名。

　　為避免被認(rèn)為我在胡說(shuō)八道，我不得不在此聲明我自己的一些成果由于莫名其妙的原因就被以上述方式無(wú)償征用，其實(shí)這樣的事情經(jīng)常在我的老師（Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin）和學(xué)生身上發(fā)生。

　　M. Berry教授曾經(jīng)提出過(guò)如下兩個(gè)原理：

　　Arnold原理：如果某個(gè)理念中出現(xiàn)了某個(gè)人名，則這個(gè)人名必非發(fā)現(xiàn)此理念者的名字。

　　Berry原理：Arnold原理適用于自身。

　　不過(guò)，我們還是說(shuō)回法國(guó)的數(shù)學(xué)教育上來(lái)。當(dāng)我還是莫斯科大學(xué)數(shù)力系的一年級(jí)新生時(shí)，集合論的拓?fù)鋵W(xué)家L.A. Tumarkin教我們微積分，他在課堂上很謹(jǐn)慎地一遍又一遍地講述古老而經(jīng)典的Goursat版的法語(yǔ)微積分教程。他告訴我們有理函數(shù)沿著一條代數(shù)曲線(xiàn)的積分可以求出來(lái)如果該代數(shù)曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的黎曼面時(shí)一個(gè)球面。而一般來(lái)說(shuō)，如果該曲面的虧格更高這樣的積分將不可求，不過(guò)對(duì)球面而言，只要在一個(gè)給定度數(shù)的曲線(xiàn)上有充分多的double points就足夠了（即要求該曲線(xiàn)是unicursal：即可以將其實(shí)點(diǎn)在射影平面上一筆畫(huà)出來(lái)）。

　　這些事實(shí)給我們?cè)斐啥嗝瓷羁痰挠∠蟀。词箾](méi)有給出證明），它們給了我們非常優(yōu)美而正確的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，比那些長(zhǎng)篇累牘的Bourbaki學(xué)派的論著不知道好到哪里去了。說(shuō)真的，我們?cè)谶@里看到了那些表面上完全不同的事物之間存在著令人驚奇的聯(lián)系：一方面，對(duì)于相應(yīng)的黎曼面上的積分與拓?fù)浯嬖谥@式的表達(dá)式，而另一方面，在double points的個(gè)數(shù)與相應(yīng)的黎曼面的虧格之間也有重要的聯(lián)系。

　　這樣的例子并不鮮見(jiàn)，作為數(shù)學(xué)中最迷人的性質(zhì)之一，Jacobi曾指出：用同一個(gè)函數(shù)就既可以理解能表示為4個(gè)數(shù)平方和的整數(shù)的性質(zhì)，又可以描述一個(gè)單擺的運(yùn)動(dòng)。

　　這些不同種類(lèi)的數(shù)學(xué)對(duì)象之間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，就好比在物理學(xué)中電與磁之間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，也類(lèi)同于地質(zhì)學(xué)上對(duì)美洲大陸的東海岸與非洲大陸的西海岸之間相似性的發(fā)現(xiàn)。

　　這些發(fā)現(xiàn)對(duì)于教學(xué)所具有的令人激動(dòng)的非凡意義是無(wú)法估量的。正是它們指引著我們?nèi)パ芯亢桶l(fā)現(xiàn)宇宙中和諧而精彩的現(xiàn)象。

　　然而，數(shù)學(xué)教育的非幾何化以及與物理學(xué)的分離卻割斷了這種聯(lián)系。例如，不僅僅學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生而且絕大部分的代數(shù)幾何學(xué)家都對(duì)以下提及的Jacobi事實(shí)一無(wú)所知：一個(gè)第一類(lèi)型的橢圓積分表示了相應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)中沿某個(gè)橢圓相曲線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)所走的時(shí)間。

　　我們知道一個(gè)hypocycloid就如同多項(xiàng)式環(huán)中的理想一樣是無(wú)窮無(wú)盡的。但是如果要把理想這個(gè)概念教給一個(gè)從未見(jiàn)過(guò)任何hypocycloid的學(xué)生，就好比把分?jǐn)?shù)的加法教給一個(gè)從來(lái)沒(méi)有把蛋糕或蘋(píng)果等分切割過(guò)（至少在腦子里切過(guò)）的學(xué)生。毫無(wú)疑問(wèn)孩子們將會(huì)傾向于同時(shí)分子加分子分母加分母。

　　從我的法國(guó)朋友那里我聽(tīng)說(shuō)這種超級(jí)抽象的一般化正是他們國(guó)家的傳統(tǒng)特色。如果說(shuō)這可能是一個(gè)世襲的缺陷，我倒不會(huì)不贊成，不過(guò)我還是愿意強(qiáng)調(diào)那個(gè)從Poincaré那兒借來(lái)的“蛋糕與蘋(píng)果”的事實(shí)。

　　構(gòu)造數(shù)學(xué)理論的方式與其它的自然科學(xué)并沒(méi)有什么不同。首先，我們要考慮一些對(duì)象并對(duì)一些特殊的事例進(jìn)行觀察。接著我們?cè)噲D要找到一些我們所觀察到的結(jié)果在應(yīng)用上的限制，即尋找那些防止我們不正確地把我們所觀察的結(jié)果擴(kuò)展到更廣泛領(lǐng)域的反例。作為一個(gè)結(jié)果我們盡可能地明確提出那由經(jīng)驗(yàn)得來(lái)的發(fā)現(xiàn)（如費(fèi)馬猜想和龐加萊猜想）。這之后將是檢驗(yàn)我們的結(jié)論到底有多可靠的困難的階段。

　　就這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)界已經(jīng)發(fā)展出了一套特別的技術(shù)。這種技術(shù)，當(dāng)被運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，有時(shí)候很有用，但有時(shí)候也會(huì)導(dǎo)致自欺欺人。這樣的技術(shù)被稱(chēng)為“建模”。當(dāng)構(gòu)造一個(gè)模型時(shí)，要進(jìn)行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精確性了解的事實(shí)，往往被認(rèn)為是“絕對(duì)”正確的并被當(dāng)作“公理”來(lái)接受。這種“絕對(duì)性”的意義恰恰是，在把所有我們可以借助這些事實(shí)得出的結(jié)論稱(chēng)為定理的過(guò)程中，我們?cè)试S自己依據(jù)形式邏輯的規(guī)則來(lái)運(yùn)用這些“事實(shí)”。

　　顯然在任何現(xiàn)實(shí)的日常生活中，我們的活動(dòng)要完全依賴(lài)于這樣的化減是不可能的。

　　原因至少在于所研究的現(xiàn)象的參數(shù)決不可能被絕對(duì)準(zhǔn)確的知曉，并且參數(shù)的微小變化（例如一個(gè)過(guò)程初始條件的微小改變）就會(huì)完全地改變結(jié)果。由于這個(gè)原因我們可以說(shuō)任何長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)都是不可能的，無(wú)論我們把計(jì)算機(jī)造的有多高級(jí)或是記錄初始條件地儀器有多靈敏，這永遠(yuǎn)也辦不到。

　　與此完全一樣的是，公理（那些我們不能完全確定的）的一個(gè)小小的改變雖是容許的，一般來(lái)說(shuō)，由那些被接受的公理推出的定理卻將導(dǎo)出完全不同的結(jié)論。推導(dǎo)的鏈（即所謂的“證明”）越長(zhǎng)越復(fù)雜，最后得到的結(jié)論可靠性越低。復(fù)雜的模型幾乎毫無(wú)用處（除了對(duì)那些無(wú)聊的專(zhuān)寫(xiě)論文的人）。

　　數(shù)學(xué)建模的技術(shù)對(duì)這種麻煩一無(wú)所知，并且還不斷地吹噓他們得到的模型，似乎它們真的就與現(xiàn)實(shí)世界吻合。事實(shí)上，從自然科學(xué)的觀點(diǎn)看,這種途徑是顯然不正確的，但卻經(jīng)常導(dǎo)致很多物理上有用的被稱(chēng)為“有不可思議的有效性的數(shù)學(xué)”結(jié)果（或叫做“Wigner原理”）。

　　我在此再提一下蓋爾方德先生的一句話(huà)：還有另一類(lèi)現(xiàn)象與以上Wigner所指的物理中的數(shù)學(xué)具有相仿的不可思議的有效性，即生物學(xué)中用到的數(shù)學(xué)也是同樣令人難以置信的有效。

　　對(duì)一個(gè)物理學(xué)家而言，“數(shù)學(xué)教育所致的不易察覺(jué)的毒害作用”（F.Klein原話(huà)）恰恰體現(xiàn)在由現(xiàn)實(shí)世界抽離出的被絕對(duì)化了的模型，并且它與現(xiàn)實(shí)已不再相符。這兒是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：數(shù)學(xué)知識(shí)告訴我們Malthus方程dx/dt = x的解是由初始條件唯一決定的（也即相應(yīng)的位于（t-x）－平面上積分曲線(xiàn)彼此不交）。這個(gè)數(shù)學(xué)模型的結(jié)論顯得與現(xiàn)實(shí)世界毫不相關(guān)。而計(jì)算機(jī)模擬卻顯示所有這些積分曲線(xiàn)在t的負(fù)半軸上有公共點(diǎn)。事實(shí)上，具有初始條件x(0) = 0和x(0) = 1的曲線(xiàn)在t=-100相交，其實(shí)在t=-100時(shí)，你壓根就不可能在兩條曲線(xiàn)之間再插入一個(gè)原子。歐式幾何對(duì)這種空間在微小距離下的性質(zhì)沒(méi)有任何的描述。在這種情況下來(lái)應(yīng)用唯一性定理顯然已經(jīng)超出了模型所能容許的精確程度。在對(duì)模型的實(shí)際運(yùn)用中，這種情形必須要加以注意，否則可能會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的麻煩。

　　我還想說(shuō)的是，相同的唯一性定理也可解釋為何在船只停泊碼頭前的靠岸階段必須得依靠人工操作：否則的話(huà)，如果行進(jìn)的速度是距離的光滑（線(xiàn)性）函數(shù)，則整個(gè)靠岸的過(guò)程將會(huì)耗費(fèi)無(wú)窮長(zhǎng)的時(shí)間。而另外可行的方法則是與碼頭相撞（當(dāng)然船與碼頭之間要有非理想彈性物體以造成緩沖）。順便說(shuō)一下，我們必須非常重視這類(lèi)問(wèn)題，例如，登陸月球和火星以及空間站的對(duì)接－此時(shí)唯一性問(wèn)題都會(huì)讓我們頭痛。

　　不幸的是，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教科書(shū)里，即使是較好的一類(lèi)課本里，對(duì)這種令人崇拜的定理所隱藏的危險(xiǎn)的事例或探討都只字沒(méi)有。我甚至已經(jīng)形成了這樣的印象，那些學(xué)院派的數(shù)學(xué)家（對(duì)物理知識(shí)都一竅不通）都對(duì)公理化形式的數(shù)學(xué)與建模的主要差異習(xí)以為常，而且他們覺(jué)得在自然科學(xué)中這是很普遍的，只是需要用后期的實(shí)驗(yàn)來(lái)控制理論推演。

　　我想用不著去提什么初始公理的相對(duì)特征，人們也都不會(huì)忘記在冗長(zhǎng)的論述里犯邏輯錯(cuò)誤是在所難免的（彷佛宇宙射線(xiàn)或量子振動(dòng)所引發(fā)的計(jì)算崩潰）。每一個(gè)還在工作的數(shù)學(xué)家都知道，如果不對(duì)自己有所控制（最好是用事例），那么在10頁(yè)論述之后所有公式中的記號(hào)有半數(shù)都會(huì)出問(wèn)題。

　　與這樣的謬誤相抗的技術(shù)也同樣存在于任何實(shí)驗(yàn)科學(xué)里，而且應(yīng)該教給每一個(gè)大學(xué)低年級(jí)的學(xué)生。

　　試圖創(chuàng)造所謂的純粹推導(dǎo)式的公理化數(shù)學(xué)的做法，使得我們不再運(yùn)用物理學(xué)中的研究方法（觀察-建模－模型的研究－得出結(jié)論－用更多的觀察檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停┤《氖沁@樣的方法：定義－定理－證明。人們根本不可能理解一個(gè)毫無(wú)動(dòng)機(jī)的定義，但我們卻無(wú)法阻止這些有罪的“代數(shù)－公理學(xué)家”。例如，他們總是想用長(zhǎng)乘規(guī)則的手段來(lái)定義自然數(shù)的乘積。但用這種方法乘法的交換性卻難以證明，不過(guò)從一堆的公理中仍有可能推導(dǎo)出這樣的定理。而且完全可能逼著那些可憐的學(xué)生們來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)定理以及它的證明（其目的不外乎是提升這門(mén)學(xué)科以及教授它的人的社會(huì)地位）。顯然，這種定義和這樣的證明對(duì)教學(xué)和實(shí)際工作有百害而無(wú)一益。

　　理解乘法交換性的唯一可能的方式，打個(gè)比方就是分別按行序和列序來(lái)數(shù)一個(gè)方陣?yán)锸勘娜藬?shù)，或者說(shuō)用兩種方式來(lái)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積。任何試圖只做不與物理和現(xiàn)實(shí)世界打交道的數(shù)學(xué)都屬于宗派主義和孤立主義，這必將損毀在所有敏感的人們眼中把數(shù)學(xué)創(chuàng)造視為一項(xiàng)有用的人類(lèi)活動(dòng)的美好印象。

　　我將再揭示幾個(gè)這樣的秘密（可憐的學(xué)生們對(duì)此很有興趣）。

　　一個(gè)矩陣的行列式就是一個(gè)平行多面體的（定向的）體積，這個(gè)多面體的每條邊就對(duì)應(yīng)矩陣的列。如果學(xué)生們得知了這個(gè)秘密（在純粹的代數(shù)式的教育中，這個(gè)秘密被仔細(xì)地隱藏了起來(lái)），那么行列式的整個(gè)理論都將成為多線(xiàn)性形式理論的一部分。如果用別的方式來(lái)定義行列式，則任何敏感的人都將會(huì)永遠(yuǎn)恨死了諸如行列式，Jacobi式，以及隱函數(shù)定理這些鬼東西。

　　一個(gè)群又是什么東東呢？代數(shù)學(xué)家們會(huì)這樣來(lái)教學(xué)：這是一個(gè)假設(shè)的集合，具有兩種運(yùn)算，它們滿(mǎn)足一組容易讓人忘記的公理。這個(gè)定義很容易激起一個(gè)自然的抗議：任何一個(gè)敏感的人為何會(huì)需要這一對(duì)運(yùn)算？“哦，這種數(shù)學(xué)去死吧”－－這就是學(xué)生的反應(yīng)（他很可能將來(lái)就成為了科學(xué)強(qiáng)人）。

　　如果我們的出發(fā)點(diǎn)不是群而是變換的概念（一個(gè)集合到自身的1－1映射），則我們絕對(duì)將得到不同的局面，這也才更像歷史的發(fā)展。所有變換的集合被稱(chēng)為一個(gè)群，其中任何兩個(gè)變換的復(fù)合仍在此集合內(nèi)并且每個(gè)變換的逆變換也如此。

　　這就是定義的關(guān)鍵所在。那所謂的“公理”事實(shí)上不過(guò)是變換群所具有的顯然的性質(zhì)。公理化的倡導(dǎo)者所稱(chēng)的“抽象群”不過(guò)是在允許相差同構(gòu)（保持運(yùn)算的1－1映射）意義下的不同集合的變換群。正如Cayley證明的，在這個(gè)世界上根本就沒(méi)有“更抽象的”群。那么為什么那些代數(shù)學(xué)家仍要用抽象的定義來(lái)折磨這些飽受痛苦的學(xué)生們呢？

　　順便提一句，在上世紀(jì)60年代我曾給莫斯科的中小學(xué)生們講授群論。我回避了任何的公理，盡可能的讓內(nèi)容貼近物理，在半年內(nèi)我就教給了他們關(guān)于一般的五次方程不可解性的Abel定理（以同樣的方式，我還教給了小學(xué)生們復(fù)數(shù)，黎曼曲面，基本群以及代數(shù)函數(shù)的monodromy群）。這門(mén)課程的內(nèi)容后來(lái)由我的一個(gè)聽(tīng)眾V. Alekseev組織出版了，名為T(mén)he Abel theorem in problems.一個(gè)光滑流形又是什么東東呢？最近我從一本美國(guó)人的書(shū)中得知龐加萊對(duì)此概念并不精通（盡管是由他引入的），而所謂“現(xiàn)代的”定義直到上世紀(jì)20年代才由Veblen給出：一個(gè)流形是一個(gè)拓?fù)淇臻g滿(mǎn)足一長(zhǎng)串的公理。

　　學(xué)生們到底犯了什么罪過(guò)必須經(jīng)受這些扭曲和變形的公理的折磨來(lái)理解這個(gè)概念？

　　事實(shí)上，在龐加萊的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一個(gè)光滑流形的絕對(duì)清晰的定義，它要比這種抽象的玩意兒有用的多。

　　一個(gè)歐式空間R^N中的k-維光滑子流形是一個(gè)這樣的子集，其每一點(diǎn)的一個(gè)鄰域是一個(gè)從R^k到R^(N-k)的光滑映射的圖象（其中R^k和R^(N - k)是坐標(biāo)子空間）。這樣的定義是對(duì)平面上大多數(shù)通常的光滑曲線(xiàn)（如圓環(huán)x^2 + y^2 = 1）或三維空間中曲線(xiàn)和曲面的直接的推廣。

　　光滑流形之間的光滑映射則是自然定義的。所謂微分同胚則是光滑的映射且其逆也光滑。

　　而所謂“抽象的”光滑流形就是歐式空間的允許相差一個(gè)微分同胚意義下的光滑子流形。世界上根本不存在所謂“更抽象的”有限維的光滑流形（Whitney定理）。為什么我們總是要用抽象的定義來(lái)折磨學(xué)生們呢？把閉二維流形（曲面）的分類(lèi)定理證給學(xué)生們看不是更好嗎？恰恰是這樣的精彩定理（即任何緊的連通的可定向的曲面都是一個(gè)球面外加若干個(gè)環(huán)柄似的把手）使我們對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)是什么有了一個(gè)正確的印象，相反的是，那些對(duì)歐式空間的簡(jiǎn)單的子流形所做的超級(jí)抽象的推廣，事實(shí)上壓根沒(méi)有給出任何新的東東，不過(guò)是用來(lái)展示一下那些公理化學(xué)者們成就的蹩腳貨。