'我想對數(shù)學(xué)和物理學(xué)之間的關(guān)系發(fā)表一些看法'

1965年，理查德·費曼（Richard Feynman）在康奈爾大學(xué)（Cornell University）舉行的'數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系'信使系列講座中，'偉大的解釋者'談到了他發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)與物理學(xué)之間的主要區(qū)別。 他的思想總結(jié)如下。

認識論的差異

'數(shù)學(xué)家準備了可以被'使用'的抽象推理，即使他們不知道它被用于什么。'

首先，費曼解決了研究數(shù)學(xué)的人在認識論分析水平上的差異，特別是選出了數(shù)學(xué)家：

數(shù)學(xué)家僅處理推理的結(jié)構(gòu)，他們并不真正在乎他們在說什么。他們甚至不需要知道自己在說什么，也不必知道自己說的是真的。

接下來，他將描述形式系統(tǒng)的可計算性的性質(zhì)，以及人造機器推論人類自己無法理解的定理的理論可能性：

現(xiàn)在，我解釋說，如果您說公理說“某某事物如此”和“某某事物如此”，那該怎么辦？這樣就可以在不知道“某某某物”一詞含義的情況下進行邏輯運算。也就是說，如果有關(guān)公理的陳述是正確的，即經(jīng)過精心制定和完善，那么進行推理的人就不必具有對這些詞的含義的任何了解。他將能夠用相同的語言得出新的結(jié)論。如果我在其中一個公理中使用三角形一詞，結(jié)論中可能會有一些關(guān)于三角形的陳述。而做推理的人甚至可能不知道三角形是什么！但是，然后他可以讀回自己的東西，然后說：“哦，一個三角形，那只是一個三邊形的東西，等等”，所以我知道了這個新事實。換句話說，數(shù)學(xué)家準備的抽象推理就是準備“被使用”。

這與物理學(xué)分析的認識論水平相反：

物理學(xué)家對所有短語都有意義，而且有一個非常重要的事情是，許多學(xué)習(xí)物理學(xué)但不來自數(shù)學(xué)的人都不懂：物理學(xué)不是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)不是物理學(xué)。一個可以幫助另一個。但是，您必須對單詞與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系有所了解。如有必要，最后將您想出的內(nèi)容翻譯成英文，再放入要進行實驗的銅塊和玻璃塊的世界中，以找出后果是否正確。這是一個根本不是數(shù)學(xué)問題的問題。我已經(jīng)提到了唯一的其他關(guān)系. 當然，很明顯，已開發(fā)的數(shù)學(xué)推理是如何發(fā)揮巨大作用并在物理學(xué)中得到使用的。另一方面，有時物理學(xué)家的推理對數(shù)學(xué)家很有用。

費曼停在那里沒有做進一步的解釋，但其中包括的一個相關(guān)示例是愛德華·維滕在正能量定理方面的工作，他因此被授予菲爾茲獎。 在關(guān)于愛德華·維滕作品的論文中，數(shù)學(xué)家邁克爾·阿提亞（Michael Atiyah）隨后描述了其對數(shù)學(xué)的重要性：

他以數(shù)學(xué)形式解釋物理思想的能力非常獨特。 他一次又一次地通過對物理洞察力的出色應(yīng)用，而產(chǎn)生了新的深刻的數(shù)學(xué)定理，使數(shù)學(xué)界感到驚訝。[H] e對當代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠的影響。 在他的手中，物理學(xué)再次為數(shù)學(xué)提供了豐富的靈感和見解。' —邁克爾·阿迪耶（Michael Atiyah）

適用范圍的差異

'數(shù)學(xué)家喜歡使他們的推理盡可能地籠統(tǒng)'

Feynman繼續(xù)幽默地討論數(shù)學(xué)的適用性，與大多數(shù)物理學(xué)家的興趣形成鮮明對比的是：

如果您說“我有一個三維空間”，然后問數(shù)學(xué)家有關(guān)定理，然后他們說“現(xiàn)在看，如果您有n個維的空間”，那么這里就是這些定理?！蔽抑幌胍S的情況……”“好吧，然后代換n = 3！”。事實證明，它們具有的許多復(fù)雜定理要簡單得多，因為它們恰好是特殊情況。物理學(xué)家總是他對特殊情況感興趣，對一般情況不感興趣，他在談?wù)撃承┦虑椋皇窃诔橄蟮卣務(wù)撊魏问虑?，他知道他在說什么，他想討論新的引力定律，他不想要武斷的力量因此，要進行一定程度的簡化，因為數(shù)學(xué)家已經(jīng)為各種各樣的問題準備了這些東西，這是非常有用的，后來總會發(fā)現(xiàn)，可憐的物理學(xué)家必須回來并且說“對不起，您想告訴我這四個維度?！?/p>

直覺與嚴謹

'可憐的數(shù)學(xué)家沒有指導(dǎo)，但論點上精確的數(shù)學(xué)嚴謹和謹慎'

Feynman接下來談到了這兩個主題的發(fā)現(xiàn)過程，強調(diào)物理學(xué)家從某種本質(zhì)上說，應(yīng)用了他們的主題而不是純粹抽象的優(yōu)勢：

當您知道您在說什么，這些東西是力量，這些東西是質(zhì)量，這是慣性等等時，您就可以使用很多常識性的，關(guān)于憑借經(jīng)驗的感覺世界。您已經(jīng)看過各種各樣的東西，或多或少地知道了現(xiàn)象的表現(xiàn)方式?？蓱z的數(shù)學(xué)家他將其轉(zhuǎn)換為方程式，符號對他沒有任何意義，他沒有指導(dǎo)性，但精確的數(shù)學(xué)嚴謹性和關(guān)心論點。鑒于物理學(xué)家或多或少地知道答案的去向，他們會走出來并進行一些猜測，然后很快就進行下去。精確度很高的數(shù)學(xué)上的嚴格性在物理學(xué)中不是很有用，現(xiàn)代態(tài)度也不是。在數(shù)學(xué)中看公理?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)家可以做他們想做的事，不應(yīng)批評他們，因為他們不是物理學(xué)的奴隸。不必要僅僅因為這對您有用，他們就必須這樣做。他們可以做自己想做的事，這是他們自己的工作，如果您想要其他東西，那么您可以自己解決。

費曼在這里認為，由于物理學(xué)關(guān)注自然現(xiàn)象，因此人類在這一領(lǐng)域具有更好的直覺傾向。 這與描述某些數(shù)學(xué)定理的過程有些相反，包括John Forbes Nash Jr.關(guān)于非線性偏微分方程的發(fā)現(xiàn)：

1950年代的數(shù)學(xué)家們知道使用計算機來求解常微分方程（ODE）的相對瑣碎的例程。 然而，還沒有建立解決非線性偏微分方程的方法，例如在噴氣發(fā)動機的湍流運動中出現(xiàn)的方法。

然而，到1958年春季，納什能夠使用自己的發(fā)明方法獲得基本的存在性，唯一性和連續(xù)性定理。 令人驚訝的是，這些方法涉及'將非線性方程式轉(zhuǎn)化為線性方程式，然后通過非線性手段進行攻擊' –彼得·拉克斯（Peter Lax）密切關(guān)注他的進步，這是以前從未有人想到的'天才之筆'。 關(guān)于這項技術(shù)，隆德大學(xué)數(shù)學(xué)教授，偏微分方程專家拉爾斯·高?。↙arsG?rding）隨后類似地宣布：'要做這一點，你必須是個天才'。

論模型的實用性

Feynman接下來討論了物理中模型的有用性，以及它們在進行新發(fā)現(xiàn)的過程中似乎缺乏有用性：

接下來的問題是，我們是否應(yīng)該在嘗試制定新定律時進行猜測，是否應(yīng)該使用憑借經(jīng)驗的感覺和哲學(xué)原理，即“我不喜歡最低限度的原則，我愿意例如最低限度的控制”或“我不喜歡遠距離的動作，或者我喜歡遠距離的動作”。問題是模型在多大程度上有所幫助。這是一件非常有趣的事情。模型經(jīng)常會提供幫助，物理老師經(jīng)常會嘗試講授如何使用這些模型，并對事情的發(fā)展有很好的物理感覺。但是，最偉大的發(fā)現(xiàn)總會從模型中抽象出來。它從來沒有做過任何事情。麥克斯韋的電動力學(xué)發(fā)現(xiàn)首先是在惰輪和太空中的其他所有物體上，使用了許多假想的輪子完成的。如果您擺脫了所有的閑人和太空中的所有其他東西，那事就好了。狄拉克僅通過猜測方程即可發(fā)現(xiàn)相對論的量子力學(xué)定律。猜測方程式的方法似乎是猜測新定律的一種非常有效的方法。這再次表明，數(shù)學(xué)是表達自然的一種深層方式，而試圖以哲學(xué)原理或在經(jīng)驗的機械感覺中表達自然并不是一種有效的方式。

論數(shù)學(xué)物理的適用性

奇怪的是，費曼繼續(xù)預(yù)測，在將來的某個時候，世界的本質(zhì)將不會以數(shù)學(xué)語言表達。 相反，將有其他表達自然如何運作的方法，這需要較少的計算：

我必須說，我經(jīng)常做出一個假設(shè)，即物理學(xué)最終將不需要數(shù)學(xué)陳述。機械最終將被揭示?？偸橇钗腋械嚼_的是，盡管有這些本地業(yè)務(wù)，但根據(jù)法律以及我們今天對它們的理解，無論一個空間區(qū)域多么微小，時間區(qū)域多么微小，發(fā)生的一切都需要計算。進行無數(shù)次邏輯運算以找出答案?，F(xiàn)在，在這么小的空間中如何進行所有操作？為什么要花無窮的邏輯來弄清楚一小段時空將要做什么？因此，我經(jīng)常做一個假設(shè)，即法律最終將變得像棋盤一樣簡單，并且所有復(fù)雜性都來自規(guī)模，但是，這與其他人做出的其他猜測具有相同的性質(zhì)。 上面寫著“我喜歡”，“你不喜歡”。對這些事情過于偏見是不好的。

關(guān)于數(shù)學(xué)的需要

接下來，F(xiàn)eynman引用了James Jean爵士的話，并提到了小說家和物理化學(xué)家C. P. Show在討論物理數(shù)學(xué)時的著名著作'兩種文化'：

總而言之，我想用詹姆士·簡斯爵士的話說：“這位偉大的建筑師似乎是一位數(shù)學(xué)家，而對于那些不懂數(shù)學(xué)的人來說，要想真正地感受到一種真實的感覺是非常困難的。感受大自然的美?！?P. Snow談到了兩種文化。我真的認為這兩種文化是有過和沒有過足夠了解數(shù)學(xué)的經(jīng)驗，來一次欣賞自然的人，這很糟糕，必須要數(shù)學(xué)并且對某些人來說數(shù)學(xué)很難。當其中一位國王試圖向歐幾里得學(xué)習(xí)幾何學(xué)時，他抱怨說這很困難，歐幾里德說：“沒有通往幾何學(xué)的皇家之路”。

傳播論

'也許視域有限，使這些人可以想象感興趣的宇宙的中心是人。'

最后，費曼談到了物理學(xué)家掌握數(shù)學(xué)的需求，以便能夠發(fā)現(xiàn)有關(guān)自然的新發(fā)現(xiàn)，并指出數(shù)學(xué)對于我們當前對世界運轉(zhuǎn)方式的理解至關(guān)重要：

作為觀察這些事物的人們，我們不能像物理學(xué)家那樣將其轉(zhuǎn)換為我們擁有的任何其他語言。如果您想討論自然，了解自然，欣賞自然，則有必要找出她所使用的語言。她僅以一種形式提供信息。我們并沒有那么謙虛，以至于“要求她更改”，然后再進行任何關(guān)注。在我看來，您可以提出的所有理智論點很少會充耳不聞。世界上所有的知識論據(jù)都不會說服“其他文化”的論點。那些試圖通過定性地告訴你這件事來教你的哲學(xué)家。我，正在嘗試描述它，但是因為不可能，所以無法傳播。我們正在充耳不聞地交談，也許是因為視野有限，使這些人可以想象感興趣的宇宙的中心是人。

本文是每周在中等刊物Cantor's Paradise上發(fā)表的一系列與數(shù)學(xué)相關(guān)的故事的一部分。 感謝您的閱讀！