現(xiàn)在，假定我們可知的空間范圍是無限的，但是有界的。這個命題似乎是令人費解的，可是想到地球表面就可以理解了：一個人只要能爬得了山涉得了水，他就可以在地球表面無限制地走下去，但是地球的大小是有限的。這個命題又是極為重要的，因為它是構(gòu)成愛因斯坦廣義相對論幾何空間的思想基礎(chǔ)。

可以想象，在這樣的幾何中定義直線是非常困難的，因為連接球面上任意兩點的線都是曲線，而不是我們傳統(tǒng)觀念中的歐幾里得幾何意義下的直線。如果決心用這樣的曲線來定義直線，那么，這樣的曲線有無限多，用哪條曲線合適呢？回想歐幾里得幾何，我們抽象出歐幾里得直線的一個最為本質(zhì)的性質(zhì)：

兩點間直線距離最短。

現(xiàn)在，我們就用這個性質(zhì)作為定義直線的出發(fā)點：

稱兩點間最短的曲線為直線。

很顯然，這個定義與歐幾里得最初的定義是不悖的，因為《原理》中第4個定義就認為直線是一種特殊的曲線。

在日常生活和生產(chǎn)實踐中，人們關(guān)于“距離最短”這個概念是有經(jīng)驗的，遠在歐幾里得之前，因為航海和天文學(xué)的需要，人們就開始對球面的問題，特別是球面三角進行了認真的研究，其先驅(qū)是古希臘學(xué)者希帕恰斯（約公元前180-前125）。我們曾經(jīng)提到的亞歷山大圖書館的學(xué)者們也在這方面做出了杰出的工作，梅內(nèi)勞斯（約70-130）在那里寫出了球面三角的第一部著作《球面學(xué)》，使得三角學(xué)脫離天文學(xué)而成為獨立的學(xué)科。這部著作開宗明義給出了球面三角形的定義：“在球面上大圓弧所包圍的部分”，這是連接兩點的最短弧線，古希臘的學(xué)者稱之為大圓。但關(guān)于天體（包括地球表面）研究集大成的還是亞歷山大圖書館的后期學(xué)者托勒密，他的巨著《天文學(xué)大全》共13卷，其中第1卷的附錄給出了至今發(fā)現(xiàn)最早的三角函數(shù)表，第2卷討論的是球面上的三角。我們曾經(jīng)說過，這部巨著深深地影響了中世紀的歐洲。

球面是二維的，人們發(fā)明了經(jīng)度和維度來表示地球表面的地理位置，但是維度并不表明最短距離。北京大約位于北緯40度東經(jīng)116度，紐約大約位于北緯40度西經(jīng)74度，因為維度相同，從北京沿著北緯40度一直向東行就可以到達紐約，行程大約為14411千米，那么，這就是從北京到紐約的最短距離嗎？

對于球面上任意表明的兩個點，我們都能像切西瓜那樣，經(jīng)過這兩個點把這個球切開，切出的軌跡正好能夠構(gòu)成一個圓。我們能夠切出許多這樣的圓，并且，切的角度不同得到的圓的大小也不一樣，其中經(jīng)過球心的那個圓是最大的，這便是古希臘學(xué)者所說的大圓。容易驗證：

球面上兩點間距離最短的曲線是連接這兩點的大圓上較短的弧。

地理學(xué)稱這樣的弧為劣弧。這樣，就可以在我們假設(shè)的空間中利用劣弧定義直線了，1850年法國數(shù)學(xué)家柳維爾（1809-1882）稱這樣的直線為測地線，這個名詞一直延續(xù)使用至今。如上例所示，北京和紐約兩點間測地線長大約為11005千米，這比沿著緯度測量距離大約縮短3306千米。

我們可以看到，這樣定義出來的直線是一條封閉的曲線，并且任意兩條不同的直線必然有兩個交點，于是平行線就不存在了。但是，保留歐幾里得的其他公理和公設(shè)，我們?nèi)匀豢梢詷?gòu)建一個無矛盾的幾何體系。1851年，高斯的學(xué)生，德國數(shù)學(xué)家黎曼（1826-1866）在哥廷根大學(xué)的就職演講中，把這種幾何推廣到更為一般的曲面，并且論證了體系的相容性，從而確立了這種幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。現(xiàn)在人們車這種幾何為黎曼幾何，或者按照F.克萊因的分類為橢圓幾何。

關(guān)于曲面三角形，黎曼幾何繼承了古希臘人的定義，即由測地線圍成的，在這種情況下，三角形內(nèi)角和大于180度，如圖（1）所示

在黎曼幾何中，三角形內(nèi)角和的大小是與三角形的面積有關(guān)的，在高斯曲率一定的條件下，三角形的面積越大則三角形的內(nèi)角和也越大。關(guān)于這個問題的精確表達，高斯在1827年的論文中給出了一個非常漂亮的結(jié)果，如果用K表示一個曲面的高斯曲率，A表示三角形所圍成的區(qū)域，α，β和γ分別表示三角形的三個內(nèi)角，那么可以得到公式

K在A上的積分=α+β+γ-π

顯然，如果在上式中高斯曲率等于0，就得到了歐幾里得幾何的結(jié)果，即三角形內(nèi)角和為180度。因為高斯曲率等于0就意味著曲面是平坦的，這種情況在小范圍內(nèi)是可以實現(xiàn)的，比如，地球的表面是一個球面，但在很小的范圍內(nèi)我們可以認為地球的表面是平的，在這個意義上，我們也可以認為，人們通?？紤]歐幾里得幾何是小范圍時的黎曼幾何。因為曲率的表達要借用導(dǎo)數(shù)和微分，人們又稱這樣的幾何為微分幾何。著名數(shù)學(xué)家，美籍華人陳省身（1911-2004）在這個研究鄰域做了許多重要的工作，被授予沃爾夫獎，這個獎項用于表彰對數(shù)學(xué)的發(fā)展作出杰出貢獻的數(shù)學(xué)家，類似數(shù)學(xué)領(lǐng)域的終生獎。

1916年，現(xiàn)代物理的開創(chuàng)者愛因斯坦（1879-1955）在狹義相對論的基礎(chǔ)上，進一步發(fā)展了他的廣義相對論。在廣義相對論中，愛因斯坦設(shè)想引力場是一個彎曲的時空，光線在通過引力場時會出現(xiàn)彎曲，因為黎曼幾何恰好描述了這種彎曲了的空間，于是愛因斯坦就借助黎曼幾何構(gòu)建了他的廣義相對論的空間模型，在這個意義上，沒有黎曼幾何就不會有愛因斯坦的廣義相對論。在這個時候，我們應(yīng)當(dāng)回想經(jīng)典物理的開創(chuàng)者牛頓，如果說牛頓經(jīng)典力學(xué)的時空是以歐幾里得為基礎(chǔ)的話，那么，愛因斯坦廣義相對論的時空就是以黎曼幾何為基礎(chǔ)。順便說一句，愛因斯坦使用張量分析就像牛頓使用微積分那樣熟練，而張量分析是一種與黎曼幾何有關(guān)的計算方法。物理學(xué)是描述現(xiàn)實世界的，而數(shù)學(xué)則為物理學(xué)描述現(xiàn)實世界提供了語言。

幾何學(xué)是科學(xué)研究的典范，也是邏輯論證的典范，從這一講對平行線的討論我們可以更加清晰地看到幾何學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)。幾何學(xué)研究的基礎(chǔ)是概念和公理，而概念和公理的基礎(chǔ)是人們的經(jīng)驗和直覺，是人們憑借直覺從經(jīng)驗中抽象出來的?？梢韵胂螅@個階段的抽象往往會體現(xiàn)出很強的物理背景，比如關(guān)于點線面的定義，關(guān)于平行線的公理。隨著研究的深入，人們會發(fā)現(xiàn)先輩們最初的直覺可能是片面的或者是局部的，于是致力于改造，改造不成功就致力于改變，無論是改造還是改變都必須從概念和公理開始。

長時間的，反復(fù)的經(jīng)驗使人們意識到，只要新的體系是獨立的，相容的和完備的，那么，無論是改造還是改變都是合理的。當(dāng)然，新體系存在的意義還要尋求現(xiàn)實的檢驗。存在的東西可能是合理的，但絕對不是一成不變的，科學(xué)的結(jié)論必然會隨著條件的改變而改變，總的發(fā)展趨勢是越來越一般，因而也越來越抽象。