怎么對多項式x2+y2+z2分解因式？根據(jù)常識可以知它肯定不能在實數(shù)域內(nèi)進行因式分解？事實上，在復數(shù)域內(nèi)也不行。假設它可以在復數(shù)域內(nèi)分解為兩個一次多項式的乘積，即

將等號右邊的乘積展開后讓等號兩邊同類項的系數(shù)相等，即可以得到一個方程組，該方程組是一個無解的超定方程組。所以x2+y2+z2不能在復數(shù)域內(nèi)進行因式分解。那在更高維的數(shù)系中呢？

事實上可以在四元數(shù)(從復數(shù)到四元數(shù))環(huán)(四元數(shù)的乘法不滿足交換律，所以四元數(shù)不能構(gòu)成域，只能構(gòu)成環(huán)；群論；半群、環(huán)和域；數(shù)域)上進行因式分解?？梢宰C明在四元數(shù)環(huán)上

將上式右端展開，可以得到

也正是因為四元數(shù)的乘法不滿足交換律，ij=-ji,ik=-ki,jk=-kj，上式右端的xy,xz,yz的系數(shù)才為零。從而x2+y2+z2可以分解為兩個一次多項式之積。