代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中最古老的的學(xué)科之一，在之后相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)期內(nèi)，代數(shù)學(xué)都曾成為數(shù)學(xué)的中心。但中世紀(jì)過(guò)后，傳統(tǒng)的代數(shù)學(xué)開(kāi)始沉寂，陷入解方程的泥淖中，而自微積分被發(fā)明之后，數(shù)學(xué)迎來(lái)分析學(xué)的黃金時(shí)代，進(jìn)而代數(shù)學(xué)的地位一度岌岌可危，這樣的局面一直持續(xù)到19世紀(jì)初。進(jìn)入19世紀(jì)后，代數(shù)學(xué)在眾多數(shù)學(xué)家的努力之下，終于獲得解放，重獲生機(jī)，再次成為數(shù)學(xué)的中心學(xué)科之一 。此時(shí)，代數(shù)朝著兩個(gè)大方向闊步前進(jìn)，一是由解方程理論所發(fā)展出來(lái)群論和域論等，代表性數(shù)學(xué)家有伽羅瓦和阿貝爾等，而第二個(gè)大方向則是研究代數(shù)本身的內(nèi)在邏輯與性質(zhì)，我們今天所介紹的“四元數(shù)”便是這一方向的代表性成就。

復(fù)數(shù)

我們都知道16世紀(jì)數(shù)學(xué)最偉大的成就無(wú)疑是徹底解決了三次和四次代數(shù)方程的求解問(wèn)題，而卡爾達(dá)諾(Jerome Cardan，1501—1576)則是這一過(guò)程中的關(guān)鍵人物。為了求解方便，他引入了虛數(shù)和復(fù)數(shù)的概念，但自此之后一兩百年間，復(fù)數(shù)卻成了數(shù)學(xué)家的心頭大患，因?yàn)闆](méi)有人能清楚地說(shuō)明復(fù)數(shù)到底是個(gè)什么東西，關(guān)于它的運(yùn)算又是否合理。直到復(fù)數(shù)可以用來(lái)解釋平面向量的運(yùn)算后，它才在直觀上普遍被數(shù)學(xué)家們所接受。而在1837年，愛(ài)爾蘭著名數(shù)學(xué)家和力學(xué)家哈密頓將復(fù)數(shù)解釋為滿足一定條件實(shí)數(shù)的有序?qū)Γ苊饬水?dāng)時(shí)還含糊不清的虛數(shù)的使用。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，把兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi和c+di分別記為(a,b)和(c,d)，那么它們應(yīng)滿足:

按照這樣的解釋，復(fù)數(shù)就成為了滿足交換律，結(jié)合律和分配律等性質(zhì)的代數(shù)體系。但即便如此，復(fù)數(shù)的幾何作用仍是數(shù)學(xué)家乃至物理學(xué)家所關(guān)注的重點(diǎn)，因?yàn)橄蛄繉?shí)在是太好用了。關(guān)于這一點(diǎn)，哈密頓本人也是十分贊同的，有意思的是，以后人的眼光來(lái)看，哈密頓更廣為人知的貢獻(xiàn)卻集中在物理領(lǐng)域內(nèi)，而非數(shù)學(xué)。

哈密頓

說(shuō)到這里，我們還是要簡(jiǎn)單介紹一下哈密頓，哈密頓(William Rowan Hamilton 1805～1865)出生于愛(ài)爾蘭都柏林，是愛(ài)爾蘭歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家，就數(shù)學(xué)而言，在英國(guó)及愛(ài)爾蘭地區(qū)的歷史地位僅次于牛頓。哈密頓的主要物理貢獻(xiàn)集中在幾何光學(xué)以及分析力學(xué)，學(xué)過(guò)相關(guān)課程的人應(yīng)該都清楚他的巨大成就。但從本質(zhì)上說(shuō)，哈密頓無(wú)疑是數(shù)學(xué)家，因?yàn)檫@些成就都非常“數(shù)學(xué)化”，甚至可以看做是數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用。而哈密頓在純數(shù)學(xué)上最大的貢獻(xiàn)無(wú)疑就是大名鼎鼎的“四元數(shù)”。

在提出四元數(shù)之前，哈密頓和許多數(shù)學(xué)家都曾致力于尋找“三維復(fù)數(shù)”，目的則是為了把平面向量的性質(zhì)平行地推廣到三維空間中，以便為三維空間中的力學(xué)等學(xué)科找到理想的數(shù)學(xué)工具。偉大的高斯也曾思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題，他提出過(guò)一種“三維復(fù)數(shù)”的代數(shù)體系，但必須拋棄掉結(jié)合律，而這種代數(shù)卻不符合實(shí)際需要，后來(lái)就無(wú)人問(wèn)津了。致力于此的哈密頓在多年尋找以后，也不得不宣告這項(xiàng)計(jì)劃的破產(chǎn)，但哈密頓的高明之處在于，他沒(méi)有恪守成規(guī)，而是去尋找新的突破口。

多年思考和嘗試后，哈密頓意識(shí)到三維空間中可能并不存在完全類似于平面復(fù)數(shù)那樣的代數(shù)體系，于是他將目光轉(zhuǎn)移到了四維空間，但不久之后他還是發(fā)現(xiàn)似乎四維空間中也沒(méi)有完美的代數(shù)體系?；叵肫鸶咚沟摹叭S復(fù)數(shù)”后，哈密頓意識(shí)到可能必須要犧牲掉某些過(guò)于嚴(yán)格的要求，而且關(guān)鍵在于如何定義“四元數(shù)”的乘積使得這個(gè)代數(shù)體系自洽。

哈密頓最終靈光一閃，成功構(gòu)造出“四元數(shù)”的故事流傳得相當(dāng)廣泛，但與很多沒(méi)有根據(jù)，以訛傳訛的數(shù)學(xué)故事不同，哈密頓和四元數(shù)的最終故事是完全真實(shí)的，這可以由他自己寫(xiě)的回憶佐證。1843年的10月16日，哈密頓和夫人散步來(lái)到一座橋時(shí)，他駐足思考良久，突然間幸運(yùn)女神降臨，哈密頓想清楚了四元數(shù)乘法定義的所有關(guān)鍵細(xì)節(jié)。興奮不已的哈密頓趕緊拿出隨身攜帶的筆記本將細(xì)節(jié)寫(xiě)下來(lái)，四元數(shù)便這么誕生了！

四元數(shù)

四元數(shù)的基本形式為a+bi+cj+dk，a,b,c,d為實(shí)數(shù)，a為數(shù)量部分，bi+cj+dk為向量部分，其中的i,j,k類似于虛數(shù)。它們之間的加法完全和復(fù)數(shù)一樣，而定義i,j,k的乘積法則如下：

在這樣的規(guī)定之下，四元數(shù)成為一個(gè)非交換的結(jié)合代數(shù)。四元數(shù)的問(wèn)世極大地震撼了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界，原因就在于它的非交換性，交換性在數(shù)學(xué)家的眼中是代數(shù)的固有性質(zhì)，而這樣的非交換代數(shù)的橫空出世沖垮了許多人的心理防線。哈密頓本人對(duì)這個(gè)來(lái)之不易的四元數(shù)極其珍視，認(rèn)為它將和微積分一樣在數(shù)學(xué)和物理中發(fā)揮重要的作用。哈密頓身先士卒，利用四元數(shù)，他先后定義了如今我們熟知的梯度，散度和旋度等微分算子，并且應(yīng)用到物理中去。

向量分析與結(jié)合代數(shù)

四元數(shù)就像一枚重磅炸彈在科學(xué)界炸開(kāi)，直接導(dǎo)致支持派和反對(duì)派的對(duì)立，在哈密頓提出四元數(shù)后的幾十年里，由于它的實(shí)用性還比較有限，許多物理學(xué)家寧愿使用原來(lái)的笛卡爾坐標(biāo)而放棄四元數(shù)。但后來(lái)還是有人發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)的巨大潛力，這就是偉大的麥克斯韋(James Clerk Maxwell,1831?1879,英國(guó)著名物理學(xué)家，經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理奠基人)。結(jié)合自己的研究工作，麥克斯韋洞察到了哈密頓的局限，那就是他往往整個(gè)地使用四元數(shù)而不區(qū)分?jǐn)?shù)量和向量部分。麥克斯韋在獨(dú)立使用四元數(shù)的數(shù)量和向量部分后，把哈密頓原先所定義的散度等概念應(yīng)用到向量函數(shù)上，并且還重新定義了一個(gè)新的微分算子，也就是拉普拉斯算子。

這樣強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具在麥克斯韋的電磁學(xué)研究中起到了重要作用，這直接體現(xiàn)在了他非常著名的麥克斯韋方程組當(dāng)中。麥克斯韋的工作真正展現(xiàn)了四元數(shù)的巨大作用，表明了它可以發(fā)揮的作用絕不僅僅是使得計(jì)算更方便而已，而在此基礎(chǔ)上則發(fā)展出了“向量分析”這一全新的數(shù)學(xué)學(xué)科。

與哈密頓同時(shí)代的另一位數(shù)學(xué)家格拉斯曼(Hermann Gunther Grassmann,1809～1877)也在進(jìn)行推廣復(fù)數(shù)的工作，他的工作即所謂的“線性擴(kuò)張論”，特別地，格拉斯曼定義出了向量的內(nèi)積和外積等概念，所產(chǎn)生的結(jié)果在許多方面和哈密頓的四元數(shù)相關(guān)聯(lián)。盡管格拉斯曼也致力于將“超復(fù)數(shù)”的成果應(yīng)用到物理中去，但由于格拉斯曼的研究獨(dú)創(chuàng)性太強(qiáng)且敘述語(yǔ)言又晦澀，以致于同時(shí)代的數(shù)學(xué)家基本上都無(wú)法接受他的成果。

到了19世紀(jì)80年代，四元數(shù)的第一個(gè)正式副產(chǎn)物開(kāi)始誕生，這就是三維“向量分析”，而且準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，“向量分析”是四元數(shù)向量部分所引出來(lái)的，這些是由吉布斯和赫維賽共同發(fā)展起來(lái)的。吉布斯(Josiah Willard Gibbs，1839~1903)是美國(guó)耶魯大學(xué)的數(shù)學(xué)物理教授，也是著名的物理化學(xué)家，學(xué)過(guò)化學(xué)的同學(xué)可能都聽(tīng)說(shuō)著名的“吉布斯現(xiàn)象”，而且此吉布斯正是彼吉布斯，實(shí)際上吉布斯是數(shù)學(xué)，物理和化學(xué)三方面的全才。赫維賽(Oliver Heaviside，1850~1925)的名氣同樣也不小，他在電磁學(xué)及其應(yīng)用上都做出過(guò)杰出貢獻(xiàn)，將麥克斯韋方程組改寫(xiě)成了如今的模樣，而且提出了著名的赫維賽函數(shù)。

吉布斯和赫維賽所發(fā)展的向量分析中定義了兩種不同的乘積，即內(nèi)積和外積(又稱向量積)，但它們都與四元數(shù)中的乘積有所不同，在內(nèi)積下向量構(gòu)成一個(gè)可交換而不可結(jié)合的代數(shù)，而在外積下，向量既不可交換也不可結(jié)合。兩種乘積下的向量分析都在物理和數(shù)學(xué)中發(fā)揮了巨大作用，例如它們可以用到電磁學(xué)，流體力學(xué)，解析幾何和微分幾何等學(xué)科。

同時(shí)，四元數(shù)也推動(dòng)了數(shù)學(xué)家去尋找更多滿足不同定律的代數(shù)系統(tǒng)，這其中著名的還有凱萊的八元數(shù)和克利福德的擬四元數(shù)，矩陣論興起后，人們也發(fā)現(xiàn)矩陣在矩陣乘法下構(gòu)成一個(gè)不可交換的結(jié)合代數(shù)，而這應(yīng)用到物理中又促進(jìn)了矩陣力學(xué)的誕生。赫維茨最終在1898年證明了一個(gè)重要的結(jié)論，算是在19世紀(jì)末給這個(gè)經(jīng)典問(wèn)題畫(huà)上了圓滿的句號(hào)：

滿足乘法定律的線性結(jié)合代數(shù)僅有實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，哈密頓四元數(shù)以及克利福德擬四元數(shù)。

直到20世紀(jì)，研究各種各樣滿足不同定律的代數(shù)都仍然是一個(gè)重要的課題。

結(jié)語(yǔ)

在哈密頓的四元數(shù)問(wèn)世不久后，熱力學(xué)之父開(kāi)爾文曾不懷好意地說(shuō)過(guò)：

向量是無(wú)用的幸存物或四元數(shù)的無(wú)價(jià)值支流，對(duì)任何創(chuàng)造，從未發(fā)揮過(guò)哪怕是最細(xì)微的實(shí)際作用……

但之后幾十年四元數(shù)及向量所發(fā)揮的巨大作用絕對(duì)是當(dāng)時(shí)的開(kāi)爾文想不到的，而且他的“打臉言論”在多年之后再次上演，也就是我們今天津津樂(lè)道的“物理中的兩朵烏云”。從數(shù)學(xué)的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展來(lái)看，要提出革命性的新事物往往會(huì)遭遇巨大的阻力，例如羅巴切夫斯基的非歐幾何，伽羅瓦理論，勒貝格的實(shí)變函數(shù)論等等，但事實(shí)證明，真理無(wú)論被埋沒(méi)多少年都會(huì)最終散發(fā)它的耀眼光芒。當(dāng)回溯今天所介紹的內(nèi)容后，我們都應(yīng)發(fā)現(xiàn)，哈密頓和他的四元數(shù)就是這一切的源頭。