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哈密頓 南京大學(xué) 易照華 哈密頓，W．R．(Hamilton，William Rowan)1805年8月4日生于愛爾蘭都柏林；1865年9月2日卒于都柏林．力學(xué)、數(shù)學(xué)、光學(xué)． 哈密頓的父親阿其巴德(Archibald Rowan Hamilton)為都柏林市的一個(gè)初級律師．哈密頓自幼聰明，被稱為神童．他三歲能讀英語，會(huì)算木；五歲能譯拉丁語、希臘語和希伯來語，并能背誦荷馬史詩；九歲便熟悉了波斯語，阿拉伯語和印地語．14歲時(shí)，因在都柏林歡迎波斯大使宴會(huì)上用波斯語與大使交談而出盡風(fēng)頭． 哈密頓自幼喜歡算術(shù)，計(jì)算很快．1818年遇到美國“計(jì)算神童”Z．科耳本(Colburn)后對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更深厚的興趣．1820年再相逢時(shí)，哈密頓已閱讀了I．牛頓(Newton)的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，并對天文學(xué)有強(qiáng)烈愛好，常用自己的望遠(yuǎn)鏡觀測大體；還開始讀P．S．拉普拉斯(Laplace)著作《天體力學(xué)》(Mécanique cé1este)，1822年指出了此書中的一個(gè)錯(cuò)誤．同年開始進(jìn)行科學(xué)研究工作，對曲線和曲面的性質(zhì)進(jìn)行了系列研究，并用于幾何光學(xué)．他的報(bào)告送交愛爾蘭科學(xué)院后，R．J．布林克萊(Brinkley)院士評論說：“這位年輕人現(xiàn)在是這個(gè)年齡(17歲)的第一數(shù)學(xué)家．” 1823年7月7日，哈密頓以入學(xué)考試第一名的成績進(jìn)入著名的三一學(xué)院，得到正規(guī)的大學(xué)訓(xùn)練，后因成績優(yōu)異而多次獲得學(xué)院的古典文學(xué)和科學(xué)的最高榮譽(yù)獎(jiǎng)．他在1823到1824年間完成了多篇有關(guān)幾何學(xué)和光學(xué)的論文，其中在1924年12月送交愛爾蘭皇家科學(xué)院會(huì)議的有關(guān)焦散曲線(caustics)的論文，引起科學(xué)界的重視． 1827年6月10日，年僅22歲的哈密頓被任命為敦辛克天文臺(tái)的皇家天文研究員和三一學(xué)院的天文學(xué)教授． 哈密頓有兄弟姐妹八人，家庭負(fù)擔(dān)很重；為減輕父親經(jīng)濟(jì)壓力，他畢業(yè)后帶著三個(gè)妹妹住到敦辛克天文臺(tái)．哈密頓不擅長天文觀測，在天文臺(tái)工作的五年中，仍主要從事理論研究；但因與外界很少聯(lián)系，工作成果并未引起重視． 1832年，哈密頓成為愛爾蘭皇家科學(xué)院院士后非常活躍，與學(xué)術(shù)界人士廣泛交流討論，包括一些詩人和哲學(xué)家．他從S．T．科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到I．康德(Kant)的哲學(xué)，熱情地讀完康德主要著作《純理性批判》(Kritik der Reinen Vernunft)．康德哲學(xué)觀點(diǎn)對哈密頓后期的工作有很大影響． 1834年，哈密頓發(fā)表了歷史性論文“一種動(dòng)力學(xué)的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成為動(dòng)力學(xué)發(fā)展過程中的新里程碑．文中的觀點(diǎn)主要是從光學(xué)研究中抽象出來的． 在對復(fù)數(shù)長期研究的基礎(chǔ)上，哈密頓在1843年正式提出了四元數(shù)(quaternion)，這是代數(shù)學(xué)中一項(xiàng)重要成果． 由于哈密頓的學(xué)術(shù)成就和聲望，1835年在都柏林召開的不列顛科學(xué)進(jìn)步協(xié)會(huì)上被選為主席，同年被授予爵士頭銜．1836年，皇家學(xué)會(huì)因他在光學(xué)上的成就而授予皇家獎(jiǎng)?wù)拢?837年，哈密頓被任命為愛爾蘭皇家科學(xué)院院長，直到1845年．1863年，新成立的美國科學(xué)院任命哈密頓為14個(gè)國外院士之一． 哈密頓的家庭生活是不幸福的．早在1823年，他愛上了一位同學(xué)的姐姐卡塞琳·狄斯尼(Catherine Disney)，但遭到她的拒絕，哈密頓卻終身不能忘情．在戀愛生活中一再碰壁之后，他于1833年草率地同海倫·貝利(Helen Bayly)結(jié)婚．雖然生育二子一女，終因感情不合而長期分居．哈密頓經(jīng)常不能正規(guī)用餐，而是邊吃邊工作．他去世后，在他的論文手稿中找到不少肉骨頭和吃剩的三明治等殘物． 哈密頓工作勤奮，思想活躍．發(fā)表的論文一般都很簡潔，別人不易讀懂，但手稿卻很詳細(xì)，因而很多成果都由后人整理而得．僅在三一學(xué)院圖書館中的哈密頓手稿，就有250本筆記及大量學(xué)術(shù)通信和未發(fā)表論文．愛爾蘭國家圖書館還有一部分手稿． 他的研究工作涉及不少領(lǐng)域，成果最大的是光學(xué)、力學(xué)和四元數(shù)．他研究的光學(xué)是幾何光學(xué)，具有數(shù)學(xué)性質(zhì)；力學(xué)則是列出動(dòng)力學(xué)方程及求解；因此哈密頓主要是數(shù)學(xué)家．但在科學(xué)史中影響最大的卻是他對力學(xué)的貢獻(xiàn)． 1．經(jīng)典力學(xué)的新里程碑 經(jīng)典力學(xué)自牛頓創(chuàng)立(1687)以后，到J．L．拉格朗日(Lagrange)建立“分析力學(xué)”(1788)之前，稱為牛頓力學(xué)；1788年以后稱拉格朗日力學(xué)；1834年，哈密頓的著名論文“一種動(dòng)力學(xué)的普遍方法”發(fā)表后，又稱為哈密頓力學(xué)，它是力學(xué)發(fā)展中的新里程碑，在現(xiàn)代力學(xué)和物理學(xué)中有廣泛應(yīng)用．哈密頓的貢獻(xiàn)主要有下列三個(gè)內(nèi)容． (1)哈密頓原理 哈密頓在1824—1832年間對幾何光學(xué)的系列研究基礎(chǔ)上，認(rèn)為可找到一種普遍原理，他認(rèn)真研究了L．歐拉(Euler)和拉格朗日的最小作用原理，用拉格朗日函數(shù) L=T-V，(1) 建立了等式 其中T，V為所討論的力學(xué)系統(tǒng)總動(dòng)能和勢能．勢能V不僅為廣義坐標(biāo)qi的函數(shù)，還依賴廣義速度qi(=dqi/dt)和時(shí)間t．當(dāng)V只依賴于廣義坐標(biāo)時(shí)，S就可化為拉格朗日原理中的作用．另外，哈密頓認(rèn)為力學(xué)系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)不一定使作用S為最??；故哈密頓提出的原理叫做穩(wěn)定作用原理．由S的一階變分為0，可導(dǎo)出力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程．雖然方程中的函數(shù)有改變，但仍稱為拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程： (2)哈密頓正則方程組 從哈密頓原理求出的運(yùn)動(dòng)方程(3)是二階常微分方程組．1835年，哈密頓利用廣義動(dòng)量 作為另一組變量，并引入一個(gè)新的函數(shù) H是pi，qi，t的函數(shù)．用H可把運(yùn)動(dòng)方程(3)式化為一階方程組： 這樣的方程組后來被稱為哈密頓正則方程組，函數(shù)H則稱為哈密頓函數(shù)；pi，qi稱正則共軛變量． 哈密頓在提出正則方程組(5)時(shí)指出，可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q，使變換后的新變量仍為正則共軛變量，但新哈密頓函數(shù)可能少包含某些新坐標(biāo)——循環(huán)坐標(biāo)．每增加一個(gè)循環(huán)坐標(biāo)，運(yùn)動(dòng)方程可降低二階，由此可作為正則方程組的一種原則解法．這種使運(yùn)動(dòng)方程保持正則方程組形式的變換，稱為正則變換．后來有很大發(fā)展，并有廣泛應(yīng)用． (3)哈密頓-雅可比方法 哈密頓結(jié)合作用和正則方程組的定義，引入輔助函數(shù)W 對于滿足正則方程組(5)式的解qi，pi有 由此可把W表示為廣義坐標(biāo)qi和n個(gè)任意常數(shù)ai以及時(shí)間t的函數(shù)，而且滿足關(guān)系 (8)式實(shí)際上是函數(shù)W=W(qi，αi，t)對自變量qi，t的一個(gè)偏微分方程．這樣就把正則方程組(2)式的解與偏微分方程(8)式的解聯(lián)系起來了． 后來經(jīng)過C．G．J．雅可比(Jacobi)在1837—1842年的系列研究，利用正則變換使新哈密頓函數(shù)等于0，也得到偏微分方程(8)；而且證明，對(8)式的任意一個(gè)完全解(即解出的函數(shù)W包含全部n個(gè)廣義坐標(biāo)qi，n個(gè)獨(dú)立積分常數(shù)ai和時(shí)間t)， W=W(qi，αi，t)，(9) 由相應(yīng)關(guān)系 解出的 pi=pi(αi，βi，t)，qi=qi(αi，βi，t)(11) 就是原正則方程組(2)式的通解，其中βi為另外n個(gè)獨(dú)立積分常數(shù)． 這就給出了正則方程組的另一種原則解法，叫做哈密頓-雅可比方法；偏微分方程(8)就稱為哈密頓一雅-比方程．積分常數(shù)ai，βi稱為正則常數(shù)．這些成果不僅推動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，也在變分法和微分方程的發(fā)展中有重要作用． 哈密頓的力學(xué)貢獻(xiàn)很快在天體力學(xué)中廣泛應(yīng)用，用哈密頓正則方程組和正則變換建立天體運(yùn)動(dòng)方程及相應(yīng)解法，促使天體力學(xué)在19世紀(jì)后期形成了發(fā)展高潮． 但在19世紀(jì)的數(shù)學(xué)界，對哈密頓力學(xué)有爭議．例如著名數(shù)學(xué)家F．克萊因(Klein)就說過：哈密頓的結(jié)果很漂亮，但沒有用．以后的情況否定了這種看法． 20世紀(jì)以來，在現(xiàn)代物理學(xué)各分支，如波動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)、相對論、原子物理學(xué)的建立過程中，哈密頓力學(xué)都起了重要作用．量子力學(xué) 理學(xué)的基石．50年代以后，一批數(shù)學(xué)和力學(xué)家們用現(xiàn)代數(shù)學(xué)提高了哈密頓力學(xué)的深度，其中代表作是蘇聯(lián)著名力學(xué)家B．И．阿諾德(ApHoлЬД)所著的《經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法》(Mathe－matical methods of classical mechanics，1974年出俄文版，1978年出英譯本)．該書在辛流形(symplectic manifold)上建立哈密頓力學(xué)，使哈密頓力學(xué)現(xiàn)代化． 人們還發(fā)現(xiàn)，哈密頓正則方程組在計(jì)算方法上有特殊優(yōu)點(diǎn)，只要適當(dāng)建立相應(yīng)的數(shù)值積分方法，可使誤差積累很慢，適用于計(jì)算步數(shù)很大的課題．中國計(jì)算數(shù)學(xué)家馮康等建立的辛積分法，符合哈密頓方程組的特點(diǎn)，計(jì)算效果很好，受到國際上的重視． 2．四元數(shù)的創(chuàng)立者 哈密頓研究四元數(shù)花的時(shí)間最多，前后約30年．早在1827年，他就開始研究復(fù)數(shù)性質(zhì)，到1837年正式提出復(fù)數(shù) 不是a與bi的和，而是實(shí)數(shù)a，b的有序偶(a，b)．只要明確有序偶的運(yùn)算規(guī)則，就可不用i而建立全部復(fù)數(shù)理論．由此誕生復(fù)數(shù)代數(shù)． 復(fù)數(shù)可以表示平面上的向量，但實(shí)用向量應(yīng)是三維的，是否有“三維復(fù)數(shù)”？1830年后，不少著名數(shù)學(xué)家如 C．F．高斯(Gauss)等都在探求．哈密頓在弄清復(fù)數(shù)之后，仍按實(shí)數(shù)性質(zhì)探求這種具有三個(gè)分量的“復(fù)數(shù)”．他終于成功了，可是所得的新數(shù)只能是四個(gè)分量，而且不符合乘法交換律．哈密頓在1843年把所得的新數(shù)命名為四元數(shù)，它的一般形式為 p=a＋bi+cj+dk， (12) 其中a，b，c，d是實(shí)數(shù)；a稱為四元數(shù)的數(shù)量部分，另三項(xiàng)是向量部分．i，j，k稱定性單元，類似于三維坐標(biāo)軸方向的單位向量；b，c，d為某點(diǎn)在三維坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即四元數(shù)的向量分量．研究成果載于他的《四元數(shù)講義》(Lectures on quaternion，1853)． 哈密頓定義四元數(shù)的和差即為數(shù)量部分及各向量分量的和差；四元數(shù)的乘積中，各分量相乘仍用實(shí)數(shù)乘法規(guī)則，但定義 這樣，四元數(shù)的乘法不符合交換律，但符合結(jié)合律． 哈密頓還引進(jìn)了四元數(shù)P的逆 p-1=(a-bi－cj-dk)/N(p)， (14) 而 N(p)=a2+b2+c2＋d2 (15) 稱為四元數(shù)P的模． 另外，哈密頓還提出了以后通用的微分算子 對于任一函數(shù)u(x，y，z)，有 哈密頓創(chuàng)立四元數(shù)后非常高興，自認(rèn)為與微積分一樣重要，會(huì)成為數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的一種關(guān)鍵工具．雖然這種估計(jì)有點(diǎn)過分，但四元數(shù)的創(chuàng)立，對后來代數(shù)學(xué)的發(fā)展確有重大作用，因?yàn)槿藗兛梢悦撾x實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的傳統(tǒng)規(guī)則，根據(jù)需要自由地創(chuàng)造各種數(shù)系，建立相應(yīng)的代數(shù)學(xué)．不久后發(fā)展起來的向量代數(shù)和線性結(jié)合代數(shù)(linear associative algebra)都受到四元數(shù)的直接推動(dòng)． 3．幾何光學(xué)的重要貢獻(xiàn) 哈密頓的第一個(gè)研究課題就是幾何光學(xué)，早在進(jìn)大學(xué)前就開始了，所花的時(shí)間僅次于四元數(shù)．他的主要貢獻(xiàn)是用數(shù)學(xué)分析方法來研究幾何光學(xué)，并把所得結(jié)果推廣到動(dòng)力學(xué)，從而提出哈密頓原理，大多數(shù)結(jié)果載于1827年發(fā)表的論文“光束理論”(Theoryof systems of rays)及后來的補(bǔ)充中，具體貢獻(xiàn)如下． (1)等作用曲面 點(diǎn)光源射出的光束經(jīng)曲面鏡反射或折射后，存在與光線正交的曲面族．哈密頓證明多次反射或折射后同樣存在這種曲面族．在證明過程中，用到他本人發(fā)展了的最小作用原理，認(rèn)為起點(diǎn)在垂直于光線的曲面上變化，經(jīng)多次反射或折射后，相應(yīng)的終點(diǎn)定出了垂直于光線的一個(gè)曲面．哈密頓稱這些曲面為等作用面．把光當(dāng)作微?；虿〞r(shí)，結(jié)論都相同．這就把幾何光學(xué)與力學(xué)中最小作用原理聯(lián)系起來，哈密頓后來稱這種原理為變作用原理(prnciple of varying action) (2)特征函數(shù) 根據(jù)多次反射(或折射)后的光束與一曲面族正交，將坐標(biāo)為(x，y，z)的光線方向余弦記為α，β，γ，它們應(yīng)為x，y，z的函數(shù)．哈密頓認(rèn)為，方向余弦必須是某函數(shù)的梯度，即存在函數(shù)V=V(x，y，z)，有： 因此V應(yīng)滿足偏微分方程： 哈密頓稱此方程的解V(x，y，z)為特征函數(shù)．顯然，若在均勻各向同性介質(zhì)中，V代表光源到(x，y，z)處的光線長度，則是一個(gè)解．哈密頓宣稱：“特征函數(shù)包含了幾何光學(xué)的全部．” 在1832年發(fā)表的“光束理論”第三個(gè)補(bǔ)充中，哈密頓把特征函數(shù)推廣到能用于初始點(diǎn)變化，以及不均勻和各向異性介質(zhì)的情況．這樣，利用特征函數(shù)可把光學(xué)系統(tǒng)表示為初始和最終光線有關(guān)變量的函數(shù)；用最小作用原理可定出兩固定點(diǎn)之間的光程，于是特征函數(shù)就把光學(xué)長度表示為變初始點(diǎn)和終端點(diǎn)的函數(shù)．哈密頓還把特征函數(shù)用于其他領(lǐng)域，取得下列重要結(jié)果． ?、俟茴D在第三個(gè)補(bǔ)充中，用特征函數(shù)研究A．F．菲涅耳(Fresnel)的光波曲面后發(fā)現(xiàn)：在雙軸晶體情況，存在四個(gè)劈錐狀尖點(diǎn)，他由此預(yù)言：單光線以適當(dāng)方向射入雙軸晶體后，在晶體內(nèi)折射成一個(gè)錐面，射出晶體后成為一個(gè)窄柱面；光線聚焦成一錐面射入雙軸晶體后，在晶體內(nèi)與單光線一樣，射出晶體后成為一個(gè)窄錐面．這個(gè)預(yù)言在1832年底，由三一學(xué)院的H．洛依德(Lloyd)用實(shí)驗(yàn)證實(shí)． ?、诠饩€作為粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)，與質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)相似．哈密頓從1833年起，用特征函數(shù)研究動(dòng)力學(xué)課題．最初把特征函數(shù)作為一質(zhì)點(diǎn)從初始點(diǎn)到終端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程的作用，后來才推廣到n個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的情況，從最小作用原理到變作用原理，終于形成了著名的哈密頓原理．相應(yīng)的特征函數(shù)V具體表示為V=tH+S．(18) 其中t為時(shí)間，H為n體系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)，S即(2)式定義的作用． 另外，哈密頓的研究工作還涉及數(shù)學(xué)力學(xué)和光學(xué)的廣泛領(lǐng)域，提出了不少新的看法．例如，他由動(dòng)力學(xué)普遍方法引伸出所謂主關(guān)系算法(calculus of Principal relation)，用變分法解某些全微分方程；提出用速端曲線(hodograph)表示軌道運(yùn)動(dòng)；又提出不僅研究光的動(dòng)力學(xué)，還要研究光在晶狀介質(zhì)傳播中黑暗的動(dòng)力學(xué)，并命名為暗動(dòng)力學(xué)(skotodynamics)；他對光在介質(zhì)中傳播的研究導(dǎo)致群速度(group velocity)和相速度(phase velocity)的區(qū)分．可惜這些工作未能深入開展下去． |
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