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希爾伯特并不是一個天才兒童，他的童年并沒有顯示出什么特別的數(shù)學天賦或興趣。直到轉入第二所高中，他開始接觸到更廣泛的數(shù)學課程，才逐漸發(fā)現(xiàn)了自己對數(shù)學的熱情和才華。從那時起，他就開始了自己的數(shù)學探索之旅，并最終成為了一位當時最偉大數(shù)學家。本文將介紹希爾伯特的早年教育和人生經歷，以及他如何在數(shù)學界一鳴驚人。 撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學數(shù)學系教授）1943年2月14日是圣瓦倫丁節(jié)（Valentine’s Day），即當今已經風靡中國的情人節(jié)。如果它落在和平時代，配偶們、情侶們會以卡片或鮮花表達愛意。然而，世界反法西斯陣營其時正與納粹德國殊死相搏，英國以圖靈（Alan Turing，1912-1954）為代表的數(shù)學家們正在運用他們的智慧，埋頭破譯德軍密碼。至于德國，在納粹把持下，幾年來，曾經的世界學術中心哥廷根大學有大批猶太學者被迫逃離。而就在圣瓦倫丁節(jié)這天，一位剛過了八十一周歲生日的老人在孤獨中去世，他是數(shù)學世界的“大衛(wèi)王”——大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert，1862年1月23日-1943年2月14日）。雖然在納粹眼里，他上數(shù)幾代都“根紅苗正”——純粹的雅利安人，然而一生正直的希爾伯特絕非像出身哥廷根的弟子輩數(shù)學家比貝爾巴赫（Ludwig Bieberbach，1886-1982）那樣追隨希特勒迫害猶太數(shù)學家。正因為不與納粹分子合作，這位十九世紀末、二十世紀初與龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912）齊名的世界數(shù)學領袖，喪禮極為簡易，只有十來個好友和弟子站在他的靈柩前，追憶他偉大的一生。希爾伯特曾把數(shù)學家分成兩類：解決過被認為是有價值問題的和沒有解決過這類問題的。他是第一類數(shù)學家中的“亞歷山大大帝”，這個借喻出現(xiàn)在西方數(shù)學家傳記中寫得最受好評的一部——Hilbert之中文譯本《希爾伯特：數(shù)學界的亞歷山大》的標題中。傳記的作者Constance Reid雖非數(shù)學家，但與她一歲之差的妹妹是美國國家科學院首位數(shù)學家院士。這兩類數(shù)學家中也有兩種人，一種人極富人性，充滿正義，而另一種人則與之相反。希爾伯特屬于第一種，而比貝爾巴赫則屬于第二種。第一類數(shù)學家中的第一種人值得后人紀念和學習，無論他們離世多少年。在希爾伯特去世八十年后的今天，讓我們回眸他超凡的八十年人生。根據(jù)希爾伯特自己的敘述，他出生的城市是東普魯士的首府柯尼斯堡(K?nigsberg)?，F(xiàn)在它屬于俄羅斯，名為加里寧格勒。在近八百年的歷史中，柯尼斯堡最有名的居民是任何讀過中學的人都聽說過的哲學家康德 (Immanuel Kant，1724-1804) 。康德對普通人而言，基本上是只聞其名，不懂其思想，因為他的著作深奧難讀。然而，人們卻常常引用他的一句名言：“有兩件事，越是經常、越是持續(xù)地思考，心中就會充滿新的、不斷增長的欽佩和敬畏：我頭頂?shù)男强蘸臀覂刃牡牡赖路▌t?！边@句話出自1788年出版的《實踐理性批判》之第三十四章《結論》，其要點也刻在柯尼斯堡大教堂地下圣堂的墻上：“世上最奇妙的是我頭上的燦爛星空和我內心的道德準則。” 每到康德生日4月22日這一天，地下圣堂對外開放，童年時的希爾伯特跟隨愛好哲學與天文的母親去瞻仰柯尼斯堡最偉大兒子的半身雕像，一字一句地讀著墻上的那句“康德格言”。那時，他尚不知道數(shù)學的星空和道德的海洋會怎樣任他飛翔和暢游。今天，學數(shù)學的人不僅知道柯尼斯堡是希爾伯特的出生地以及他和終身朋友、英年早逝的數(shù)學家閔可夫斯基 (Hermann Minkowski，1864-1909) 發(fā)展友誼的福地，而且該地還因著名的“七橋問題”而名留史冊。當?shù)赜袟l分成兩條支流的大河，河上共有七座橋，問：能否一橋只能行走一次地走遍這七橋？然而，人們卻無法求解這道題。1736年，瑞士數(shù)學家歐拉 (Leonhard Euler，1707-1783) 以他智慧的大腦將水上的橋與兩岸陸地之間的關系數(shù)學化成“點邊關系”，將“七橋問題”轉為一筆畫問題。歐拉得出結論：柯尼斯堡的居民無論怎樣努力，都不可能“不走回頭橋”地走遍七橋。這不僅給出了圖論歷史上的第一個定理，而且其“不計幾何形狀”的要點預示著拓撲學思想的最初萌芽。這個看似屬于趣味數(shù)學的過橋問題對于柯尼斯堡的城市史來說只是一朵小小的浪花而已，但是對于數(shù)學而言，它卻催化出對現(xiàn)代生活有巨大用途的組合學分支——圖論。大數(shù)學家歐拉解惑七橋問題這一數(shù)學史實或許也默默地幫助了這座城市孕育出世間罕見的兩副數(shù)學大腦。我們知道歐美許多大學者具有猶太血統(tǒng)，如：愛因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955)、航空工程學家馮·卡門 (Theodore von Kármán，1881-1963)、電子計算機之父馮·諾伊曼 (John von Neumann，1903-1957)、原子彈之父奧本海默 (J. Robert Oppenheimer，1904-1967)、氫彈之父烏拉姆 (Stanislaw Ulam，1909-1984)以及諾貝爾獎得主費曼 (Richard Feynman，1918-1988) 等。這給人一個錯覺：西方大科學家血管里流動著猶太血液的概率為1。非也！希爾伯特就是反例。盡管他最有名的兩個弟子外爾 (Hermann Weyl，1885-1955) 和柯朗 (Richard Courant，1888-1972) 都是猶太人，他卻與猶太血統(tǒng)絕緣。此外，希爾伯特并無顯赫家世，他的父親是一位普通法官，一生品行端正，母親生于商人之家，對素數(shù)頗感興趣。他們唯一的兒子出生后既沒有顯示出天才跡象，也沒有表現(xiàn)出愚笨的苗頭，完全是個和鄰居家一樣普通的孩子，跟父母學到了正直與堅強。歷史證明，他屬于“后發(fā)制人”的那類天才。在他出生兩年半后，遠在俄國的一家生下一個“先發(fā)制人”的天才——閔可夫斯基，其成名早于希爾伯特，出名后的他視尚未出名的希爾伯特為終身朋友，而且一直甘居“第二小提琴手”的位置。希爾伯特的少年時期沒有留下驚艷的故事，在家接受了兩年教育后，八歲的他進入皇家腓特烈中學 (Friedrichskolleg Gymnasium) 的初級部，這是一所在柯尼斯堡有名望的私立學校，歷史悠久，也是康德讀過書的地方，說明父母對他抱有期望。兩年后，希爾伯特升入本部；那年，八歲的閔可夫斯基跟隨家庭從俄帝國統(tǒng)治下的波蘭小城阿列克索塔搬到柯尼斯堡。不久，命運將把這兩個不同類型的天才召集到一起，譜寫出一曲數(shù)學英雄惺惺相惜之歌。腓特烈中學校名中的那個專用名詞Gymnasium的本意是“體育館”，表達了學校的辦學目標：像體育館訓練形體那樣訓練智力。在那時代，訓練智力的主要器械來自“語言庫”，庫存的主要是拉丁語和希臘語，數(shù)學則屈居第二位，科學幾乎不上場。枯燥的語法學習需要背功，這正是希爾伯特與生俱來的弱項。在這所因循守舊的學校，他發(fā)現(xiàn)記憶東西十分困難，死記硬背的教學要求令他不勝苦惱，尤其是語言課令他特別不愉快。好在有一門課讓他很愉快，這就是其重要性排在語言后面的數(shù)學。數(shù)學課對他胃口，帶給他無窮樂趣，因為它不用去死記，他可以自己重新推導出結果。然而，對于概念的理解，希爾伯特的特點是“慢速理解”。不過，他遺傳自父親的堅強意志力給了他不甘落他人之后的勇氣，對每樣所學，他都完全消化，徹底搞懂，這種做法他保持了一輩子。后來，即便成了最有名望的數(shù)學家，他還是需要很長時間才能理解別人在學術演講中所表述的內容。1879年秋，希爾伯特從私立學校轉到公立的威廉中學 (Wilhelm Gymnasium)，那里的數(shù)學氛圍濃多了，課堂里甚至講到了幾何學的新概念。他未來兄弟般的同道閔可夫斯基“靠著他極好的記憶力和敏捷的理解力”，在阿爾斯塔特中學 (Altsadt Gymnasium) 用了五年半就讀完了八年的課程，已經早他進了柯尼斯堡大學。當一位中學數(shù)學老師因理解錯了而“掛了黑板”時，同學們異口同聲地喊道：“閔可夫斯基，去幫幫忙！”相比之下，希爾伯特對自己的回憶則為“小時候是個笨孩子”。然而，威廉中學成了發(fā)現(xiàn)希爾伯特數(shù)學天賦的伯樂，并助其成長。雖只有一年光景，他的數(shù)學突飛猛進（成績“超等”），也帶動了其他課程精進（門門“優(yōu)等”）。他的畢業(yè)證書上寫道，他的勤奮“堪稱模范”，“對科學有濃厚的興趣”，最末的評語是：“他對數(shù)學表現(xiàn)出極強烈的興趣，而且理解深刻：他用非常好的方法掌握了老師講授的內容，并能有把握地、靈活地運用它們?！?/span> 由此依稀可見，這位中學畢業(yè)生已經顯露出創(chuàng)造型數(shù)學家的某種潛質。1880年，十八歲的希爾伯特也考進了1544年建校的柯尼斯堡大學，前一個世紀，康德在此就讀，并從1770年起擔任邏輯學及形而上學的正教授。在到那時為止超過三百年的校史中，一些著名數(shù)學家給學校增輝，其中雅可比 (Carl Gustav Jacobi，1804-1851) 最為杰出，在許多領域作出了根本性貢獻，如橢圓函數(shù)。父親想讓希爾伯特學法律，但他決定學數(shù)學。這時，維爾斯特拉斯 (Karl Weierstrass，1815-1897) 已讓微積分嚴格化，康托爾 (Georg Cantor，1845-1918) 正在發(fā)展集合論。第一學期希爾伯特修了三門數(shù)學課：積分學、矩陣論和曲面論，第二學期按慣例他轉到海德堡大學聽課，而此時的閔可夫斯基已經轉學到柏林大學半年了，所以他們還未相遇。在海德堡，希爾伯特遇到對他有影響的第一位教授——富克斯（Lazarus Fucas，1833-1902），他以線性微分方程的工作著稱于世。在他的課堂，希爾伯特發(fā)現(xiàn)教授不事先準備講稿，而是給學生一個機會，“瞧一瞧高超的數(shù)學思維是怎樣進行的”。本來，第三學期希爾伯特可以繼續(xù)游學到柏林大學，那里有幾大數(shù)學家，包括分析大王維爾斯特拉斯，然而想家的他決定殺回老家去，這客觀上讓他推遲了一學期見到翌年春返回柯尼斯堡大學的閔可夫斯基。然而，大學里唯一的數(shù)學正教授韋伯（Heinrich Weber，1843-1912）傳授了他數(shù)論、函數(shù)論的知識，特別是讓他接觸到時髦的“不變量理論”，而幾年后希爾伯特聞名世界的第一項數(shù)學貢獻就屬于它。希爾伯特入大學的第四學期，也就是1882年春季，游學柏林大學三學期之久的閔可夫斯基滿載而歸。再過了一年，他一舉成名：剛剛十八周歲的他與參賽后去世的英國著名數(shù)學家史密斯（Henry Smith，1826-1883）共享了巴黎科學院的數(shù)學獎，該獎懸賞求解：將自然數(shù)分解為五個平方數(shù)之和。1883年，二十一歲的熱情的希爾伯特與十九歲的靦腆的閔可夫斯基交上了朋友，這一兄弟般的友誼延續(xù)到閔可夫斯基的生命終結。希爾伯特前半生的事業(yè)，與閔可夫斯基對他的激勵和影響密不可分，而杰出的數(shù)學家赫爾維茨（Adolf Hurwitz，1859-1919）充當了他們的“數(shù)學大哥”角色。閔可夫斯基是像后一輩的匈牙利人馮·諾伊曼那樣的少年天才，他的二哥奧斯卡后來成為“胰島素之父”。與希爾伯特的三角形臉型不一樣的是，閔可夫斯基的臉是圓的，這兩種都為凸的幾何圖形是歐幾里得幾何的主要對象，于是長大后希爾伯特出版了《幾何基礎》，閔可夫斯基則開創(chuàng)了“凸幾何”的領域。1884年春，即將二十五歲的赫爾維茨從哥廷根來到柯尼斯堡擔任副教授。他和閔可夫斯基一樣是猶太人，一樣是早熟的數(shù)學家，1881年于萊比錫大學在克萊因（Felix Klein，1849-1925）的門下獲得博士學位。他的加盟，給這所大學的數(shù)學空氣注入了新的氧氣，加速了希爾伯特和閔可夫斯基的成長。盡管希爾伯特的博士論文是由證明圓周率為超越數(shù)的林德曼（Ferdinand Lindemann，1852-1939）指導的，但他從赫爾維茨這個思想泉涌的副教授那里得到的數(shù)學教誨，遠遠超過韋伯教授及其繼任、自己的博士導師林德曼教授。每天下午“準五點”，赫爾維茨、希爾伯特及閔可夫斯基便齊聚在一顆蘋果樹下散步，討論當前數(shù)學的最新問題，交換各自對此的理解和研究計劃。他們都明白，這種積極的取長補短探索真理的方式，要比待在昏暗的教室或圖書館啃書本好得多。希爾伯特后來回憶道：“那時候沒想到我們竟會把自己帶到這么遠！”本來希爾伯特想推廣連分數(shù)做博士論文，但林德曼勸阻了他：“雅可比早已給出了這種推廣。”導師提議：就做代數(shù)不變量理論吧！這是關于代數(shù)形式在某些變換下某種性質不變的學問。比如，坐標平面上的橢圓在平移或旋轉后不會變成另一種曲線，所以它的二次方程ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0在對應的變換后其“結式”b2 – 4ac依然保持為負?？巳R因著名的“埃爾朗根綱領”就是通過變換的不變性來劃分不同的幾何。代數(shù)不變量理論有兩位父親：都當過律師的英國人凱萊 (Arthur Cayley，1821-1895) 和西爾維斯特 (James Sylvester，1814-1897) ；學過線性代數(shù)的人都知道他們各自在矩陣論里建立的著名定理。在希爾伯特成長的初期，這是個非常熱門的新領域。希爾伯特在博士論文中研究了某些代數(shù)形式的不變性問題，他在這第一項有價值的工作中顯示了創(chuàng)造力，因為他沒有跟隨前人走老路，而是別出心裁地想出了新方法。他把初稿寄給了因父亡故回家奔喪的閔可夫斯基。才華橫溢的后者第一次被前者的才智感動了：“我從未想到這么精彩的數(shù)學定理會出現(xiàn)在柯尼斯堡！”1885年，希爾伯特和閔可夫斯基先后取得博士學位，后者緊接著被征召入伍，而前者在赫爾維茨的建議下到克萊因處充電去了。克萊因在希爾伯特當時的歲數(shù)就當上了埃爾朗根大學的正教授，他那著名的“埃爾朗根綱領”就是其就職典禮演講上提出的。但已執(zhí)教十三年的他，由于和法國數(shù)學家龐加萊在自守函數(shù)研究上的全力競爭而身體受損，元氣大傷，創(chuàng)造力大降，然而他與生俱來的行政能力和領袖魅力將在哥廷根大放異彩。克萊因具有識別人才的犀利眼光，一聽希爾伯特在他的討論班上的報告，“我就知道他是一個數(shù)學方面的后起之秀?！彪m然不變量理論在萊比錫有市場，然而公認的“不變量之王戈丹 (Paul Gordan，1837-1912) 卻在埃爾朗根?？巳R因年輕時和挪威人李 (Sophus Lie，1842-1899) 一道奔赴巴黎，經歷過若爾當 (Camille Jordan，1838-1922) 的群論熏陶，他珍惜人才，力促希爾伯特前往那個數(shù)學圣地“鍍金”。赫爾維茨回信鼓勵希爾伯特：為了超過法國的年輕人，“我們必須掌握他們得到的所有成果?！?/span>在三個月的游學中，希爾伯特一心撲在數(shù)學上，他和龐加萊互有拜訪，聽講了這位數(shù)學明星的課程，但他從與龐加萊的老師埃爾米特 (Charles Hermite，1822-1901) 的兩次交談中獲益甚多，因為談論的主題是他當時的最愛：不變量理論。六月底，在返回柯尼斯堡的途中，他在哥廷根停留，特地向履新的正教授克萊因匯報了巴黎印象，也被哥廷根的美麗環(huán)境折服?；爻讨涟亓?，他下車拜見了矮小但威嚴的克羅內克 (Leopold Knonecker，1823-1891) ，對康托爾不友好的這位老人卻對年輕人表示了“非常友好的態(tài)度”。回到柯尼斯堡，希爾伯特用比博士論文更出色的關于不變量理論的研究爬上了德國大學學術階梯的第一級——無薪講師。在按照要求試講了一堂數(shù)學課并獲得通過后，1886年7月8日，他在寫給克萊因的信中告訴對方他已經順利晉升。然而，他已決定再寫出一篇關于不變量理論的傳世之作，為此他也開設了不變量理論的課程。1888年3月，他專程去埃爾朗根覲見這個理論的大王。這部作品，由于解決了“戈丹問題”而成為傳世之作。戈丹問題問的是：對一般代數(shù)形式，是否存在有限個不變量，它們組成所有不變量的“基”，即其他不變量都可用這組基的有理整式表達；這與線性代數(shù)中向量空間的基概念類似，只不過對后面這個基，表達形式是“線性組合”。戈丹在二十年前，對二次型用構造法解決了這個問題，而對一般的代數(shù)形式，同樣的問題則被冠以戈丹之名。離開戈丹后半年，希爾伯特開辟出一條新路，這是非構造性存在性證明的一個杰作，它的基礎是他提出的“?！备拍罴啊澳５挠邢藁嬖谛浴睌嘌浴Ｈ欢?，對于篤信“存在必先構造”的部分數(shù)學家而言，即便邏輯上無懈可擊，非構造性證明“不是證明”，他們中的有名代表就是克羅內爾，而戈丹則叫道：“這不是數(shù)學，這是神學?！?/span>1888年12月“希爾伯特基定理”出版后，作者一方面向凱萊、戈丹等人解釋他的證明，一方面尋找新的途徑以滿足“構造性證明”的希望，終于，繼1890年在《數(shù)學年鑒》發(fā)表關于代數(shù)形式的一篇完整文章后，1892年，希爾伯特運用最早來源于克羅內克的“代數(shù)數(shù)域”概念，得到了一個構造性方法，讓所有的數(shù)學家對他的有限基定理投了贊成票。戈丹也終于加了一句“神學也有它的價值”。至此，希爾伯特在世界數(shù)學舞臺上站穩(wěn)了腳跟，克萊因也在考慮什么時候能將他搞到哥廷根。然而這還要等上三年。（未完待續(xù)）本文受科普中國·星空計劃項目扶持 出品：中國科協(xié)科普部 監(jiān)制：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司
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