|
希爾伯特 李文林 (中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所) 希爾伯特，D．(Hilbert，David)1862年1月23日生于德國柯尼斯堡；1943年2月14日卒于格丁根．?dāng)?shù)學(xué)． 希爾伯特出身于東普魯士的一個(gè)中產(chǎn)家庭．祖父大衛(wèi)·菲爾赫哥特·勒貝雷希特·希爾伯特(David Fürchtegott LeberechtHilbert)和父親奧托·希爾伯特(Otto Hilbert)都是法官，祖父還獲有“樞密顧問”頭銜．母親瑪麗亞·特爾思·埃爾特曼(Ma-ria Therse Erdtmann)是商人的女兒，頗具哲學(xué)、數(shù)學(xué)和天文學(xué)素養(yǎng)．希爾伯特幼年受到母親的教育、啟蒙，八歲正式上學(xué)，入皇家腓特烈預(yù)科學(xué)校．這是一所有名的私立學(xué)校，E．康德(Kant)曾就讀于此．不過該校教育偏重文科，希爾伯特從小喜愛數(shù)學(xué)，因此在最后一學(xué)期轉(zhuǎn)到了更適合他的威廉預(yù)科學(xué)校．在那里，希爾伯特的成績一躍而上，各門皆優(yōu)，數(shù)學(xué)則獲最高分“超”．老師在畢業(yè)評語中寫道：“該生對數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強(qiáng)烈興趣，而且理解深刻，他用非常好的方法掌握了老師講授的內(nèi)容，并能有把握地、靈活地應(yīng)用它們．” 1880年秋，希爾伯特進(jìn)柯尼斯堡大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)．大學(xué)第二學(xué)期，他按當(dāng)時(shí)的規(guī)定到另一所大學(xué)去聽課，希爾伯特選擇了海德堡大學(xué)，那里L(fēng)．富克斯(Fuchs)教授的課給他印象至深．在柯尼斯堡，希爾伯特則主要跟從H．韋伯(Weber)學(xué)習(xí)數(shù)論、函數(shù)論和不變量理論．他的博士論文指導(dǎo)老師是赫赫有名證明π超越性的F．林德曼(Lindemann)教授，后者建議他做代數(shù)形式的不變性質(zhì)問題．希爾伯特出色地完成了學(xué)位論文，并于1885年獲得了哲學(xué)博士學(xué)位． 在大學(xué)期間，希爾伯特與比他年長三歲的副教授A．胡爾維茨(Hurwitz)和比他高一班的H．閔可夫斯基(Minkowski)結(jié)下了深厚友誼．這種友誼對各自的科學(xué)工作產(chǎn)生了終身的影響．希爾伯特后來曾這樣追憶他們的友誼：“在日復(fù)一日無數(shù)的散步時(shí)刻，我們漫游了數(shù)學(xué)科學(xué)的每個(gè)角落”；“我們的科學(xué)，我們愛它超過一切，它把我們聯(lián)系在一起．在我們看來，它好象鮮花盛開的花園．在花園中，有許多踏平的路徑可以使我們從容地左右環(huán)顧，毫不費(fèi)力地盡情享受，特別是有氣味相投的游伴在身旁．但是我們也喜歡尋求隱秘的小徑，發(fā)現(xiàn)許多美麗的新景．當(dāng)我們向?qū)Ψ街赋鰜?，我們就更加快樂”?見研究文獻(xiàn)[8]．) 大學(xué)畢業(yè)后，希爾伯特曾赴萊比錫、巴黎等地作短期游學(xué)．在萊比錫，他參加了F．克萊因(Klein)的討論班，受到后者的器重．正是克萊因推薦希爾伯特去巴黎訪問，結(jié)識了H．龐加萊(Poincaré)、C．若爾當(dāng)(Jordan)、E．皮卡(Picard)與C．埃爾米特(Hermite)等法國著名數(shù)學(xué)家．在從巴黎返回科尼斯堡途中，希爾伯特又順訪了柏林的L．克羅內(nèi)克(Kronecker)．希爾伯特在自己早期工作中曾追隨過克羅內(nèi)克，但后來在與直覺主義的論戰(zhàn)中卻激烈地批判“克羅內(nèi)克的陰魂”． 1886年6月，希爾伯特獲柯尼斯堡大學(xué)講師資格．除教課外，他繼續(xù)探索不變量理論并于1888年秋取得突破性結(jié)果——解決了著名的“哥爾丹問題”，這使他聲名初建．1892年，希爾伯特被指定為柯尼斯堡大學(xué)副教授以接替胡爾維茨的位置．同年10月，希爾伯特與克特·耶羅施(K the Jerosch)結(jié)婚．1893年，希爾伯特升為正教授．1895年3月，由于克萊因的舉薦，希爾伯特轉(zhuǎn)任格丁根大學(xué)教授，此后他始終在格丁根執(zhí)教，直到1930年退休． 在格丁根，希爾伯特又相繼發(fā)表了一系列震驚數(shù)學(xué)界的工作：1896年他向德國數(shù)學(xué)會(huì)遞交了代數(shù)數(shù)論的經(jīng)典報(bào)告“代數(shù)數(shù)域理論” (Die Theorie der algebraischen Zahlk rper)；1899年發(fā)表著名的《幾何基礎(chǔ)》(Grundlagen der Geometrie)并創(chuàng)立了現(xiàn)代公理化方法；同年希爾伯特出人意料地挽救了狄利克雷原理而使變分法研究出現(xiàn)嶄新轉(zhuǎn)機(jī)；1909年他巧妙地證明了華林猜想；1901—1912年間通過積分方程方面系統(tǒng)深刻的工作而開拓了無限多個(gè)變量的理論．這些工作確立了希爾伯特在現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上的突出地位．1912年以后，希爾伯特的興趣轉(zhuǎn)移到物理學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面． 希爾伯特典型的研究方式是直攻重大的具體問題，從中尋找?guī)毡橐饬x的理論與方法，開辟新的研究方向．他以這樣的方式從一個(gè)問題轉(zhuǎn)向另一個(gè)問題，從而跨越和影響了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域． 代數(shù)不變量問題(1885—1893)．代數(shù)不變量理論是19世紀(jì)后期數(shù)學(xué)的熱門課題．粗略地說，不變量理論研究各種變換群下代數(shù)形式的不變量．古典不變量理論的創(chuàng)始人是英國數(shù)學(xué)家G．布爾(Boole)、 A．凱萊(Cayley)和 B．西爾維斯特(Sylvester)．n個(gè)變元x1；x2，…，xn的m次齊次多項(xiàng)式J(x1，…，xn)被稱為n元m次代數(shù)形式．設(shè)線性變換T將變元(x1，…，xn)變?yōu)?X1，…，Xn)，此時(shí)多項(xiàng)式J(x1，…，xn)變?yōu)镴*(X1，…，Xn)，J的系數(shù)a0，a1，…，aq，變?yōu)镴*的系數(shù)A0，A1，…，Aq．若對全體線性變換T有J=J*，則稱J為不變式，稱在線性變換下保持不變的J的系數(shù)的任何函數(shù)I為J的一個(gè)不變量．凱萊和西爾維斯特等人計(jì)算、構(gòu)造了大量特殊的不變量，這也是1840—1870年間古典不變量理論研究的主要方向．進(jìn)一步的發(fā)展提出了更一般的問題——尋找不變量的完備系，即對任意給定元數(shù)與次數(shù)的代數(shù)形式，求出最小可能個(gè)數(shù)的有理整不變量，使任何其他有理整不變量可以表成這個(gè)完備集合的具有數(shù)值系數(shù)的有理整函數(shù)．這樣的完備系亦叫代數(shù)形式的基．在希爾伯特之前，數(shù)學(xué)家們只是對某些特殊的代數(shù)形式給出了上述一般問題的解答，這方面貢獻(xiàn)最大的是P．哥爾丹(Gordan)．哥爾丹幾乎畢生從事不變量理論的研究，號稱“不變量之王”．他最重要的結(jié)果是所謂“哥爾丹定理”，即對二元形式證明了有限基的存在性．哥爾丹的證明冗長、繁復(fù)，但其后二十余年，卻無人能夠超越． 希爾伯特的工作從根本上改變了不變量理論研究的現(xiàn)狀．他的目標(biāo)是將哥爾丹定理推廣到一般情形，他采取的是嶄新的非算法的途徑．希爾伯特首先改變了問題的提法；給定了無限多個(gè)包含有限個(gè)變元的代數(shù)形式系，問在什么條件下存在一組有限的代數(shù)形式系，使所有其他的形式都可表成它們的線性組合？希爾伯特證明了這樣的形式系是存在的，然后應(yīng)用此結(jié)果于不變量而得到了不變量系有限整基的存在定理．希爾伯特的證明是純粹的存在性證明，他不是像哥爾丹等人所做的那樣同時(shí)把有限基構(gòu)造出來，這使它在發(fā)表之初遭到了包括哥爾丹本人在內(nèi)的一批數(shù)學(xué)家的非議．哥爾丹宣稱“這不是數(shù)學(xué)，而是神學(xué)！”但克萊因、凱萊等人卻立即意識到希爾伯特工作的價(jià)值．克萊因指出希爾伯特的證明“在邏輯上是不可抗拒的”，并將希爾伯特的文章帶到在芝加哥舉行的國際數(shù)學(xué)會(huì)議上去推薦介紹．存在性證明的意義日益獲得公認(rèn)．正如希爾伯特本人闡明的那樣：通過存在性證明“就可以不必去考慮個(gè)別的構(gòu)造，而將各種不同的構(gòu)造包攝于同一個(gè)基本思想之下，使得對證明來說是最本質(zhì)的東西清楚地突顯出來，達(dá)到思想的簡潔和經(jīng)濟(jì)，…禁止存在性證明，等于廢棄了數(shù)學(xué)科學(xué)”．對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)來說，尤為重要的是希爾伯特的不變量理論把模、環(huán)、域的抽象理論帶到了顯著地位，從而引導(dǎo)了以埃米·諾特(EmmyNoether)為代表的抽象代數(shù)學(xué)派．事實(shí)上，希爾伯特對不變量系有限基的存在性證明，是以一條關(guān)鍵的引理為基礎(chǔ)，這條關(guān)于模(module，指多項(xiàng)式環(huán)中的一個(gè)理想)的有限基的存在性引理，正是通過使用模、環(huán)、域的語言而獲得的． 希爾伯特最后一篇關(guān)于不變量的論文是“論完全不變量系”( ber die vollen Invariantensysteme，1893)，他在其中表示“由不變量生成的函數(shù)域的理論最主要的目標(biāo)已經(jīng)達(dá)到”，于是他在致閔可夫斯基的一封信中宣告：“從現(xiàn)在起，我將獻(xiàn)身于數(shù)論”． 代數(shù)數(shù)域(1893—1898)．希爾伯特往往以對已有的基本定理給出新證明作為他征服某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的前奏．他對代數(shù)數(shù)論的貢獻(xiàn)，情形亦是如此．在1893年慕尼黑德國數(shù)學(xué)會(huì)年會(huì)上，希爾伯特宣讀的第一個(gè)數(shù)論結(jié)果——關(guān)于素理想分解定理的新證明，即引起了與會(huì)者的重視，數(shù)學(xué)會(huì)遂委托希爾伯特與閔可夫斯基共同準(zhǔn)備一份數(shù)論進(jìn)展報(bào)告．該報(bào)告最后實(shí)際上由希爾伯特單獨(dú)完成(閔可夫斯基中間因故脫離計(jì)劃)，并于1897年4月以“代數(shù)數(shù)域理論”為題正式發(fā)表(以下簡稱“報(bào)告”)．遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出數(shù)學(xué)會(huì)的期望，這份本來只需概述現(xiàn)狀的報(bào)告，卻成為決定下一世紀(jì)代數(shù)數(shù)論發(fā)展方向的經(jīng)典著作．“報(bào)告”用統(tǒng)一的觀點(diǎn)，將以往代數(shù)數(shù)論的全部知識鑄成一個(gè)嚴(yán)密宏偉的整體，在對已有結(jié)果給出新的強(qiáng)有力的方法的同時(shí)引進(jìn)新概念、建立新定理，描繪了新的理論藍(lán)圖．希爾伯特在“報(bào)告”序言中寫道： “數(shù)域理論是一座罕見的優(yōu)美和諧的大廈．就我所見，這座建筑中裝備得最富麗的部分是阿貝爾域和相對阿貝爾域的理論，它們是由于庫默爾關(guān)于高次互反律的工作和克羅內(nèi)克關(guān)于橢圓函數(shù)復(fù)數(shù)乘法的研究而被開拓的．更深入地考察這兩位數(shù)學(xué)家的理論，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中還蘊(yùn)藏著豐富的無價(jià)之寶，那些了解它們的價(jià)值，一心想試一試贏得這些寶藏的技藝的探索者，將會(huì)得到豐富的報(bào)償．” “報(bào)告”發(fā)表后的數(shù)年間，希爾伯特本人曾努力發(fā)掘這些“寶藏”，這方面的工作始終抓住互反律這個(gè)中心，并以類域論的建立為頂峰． 古典互反律最先為L．歐拉(Euler，1783)和A．-M．勒讓德(Legendre，1785)發(fā)現(xiàn)，它描述了一對素?cái)?shù)p，q及以它們?yōu)槟５亩问Ｓ嘀g所存在的優(yōu)美關(guān)系．C．F．高斯(Gauss)是第一個(gè)給二次互反律以嚴(yán)格證明的人(1801)，他把它看作算術(shù)中的“珍寶”，先后作出了七個(gè)不同證明，并討論過高次互反律． 將互反律推廣到代數(shù)數(shù)域情形，是代數(shù)數(shù)論的一個(gè)重要而困難的課題，希爾伯特的工作為此種推廣鋪平了道路．希爾伯特從二次域的簡單情形入手，將二次剩余解釋為一個(gè)二次域中的范數(shù)，將高斯剩余符號解釋為范數(shù)剩余符號．利用范數(shù)剩余符號，古典互反律可以被表示成簡單漂亮的形式 述可以被有效地推廣，使希爾伯特猜測到高次互反律的一般公式(雖然他未能對所有情形證明其猜測)． 希爾伯特在1898年發(fā)表的綱領(lǐng)性文章“相對阿貝爾域理論”(Ueber die tbeorie der relativ Abelschen Zahlk rper)中，概括了一種廣泛的理論——類域論．“類域”，是一種特別重要的代數(shù)數(shù)域：設(shè)代數(shù)數(shù)域k的伽羅瓦擴(kuò)張為K，若K關(guān)于k的維數(shù)等于k的類數(shù)，且k的任何理想在K中都是主理想，就稱K為k的類域．希爾伯特當(dāng)初定義的“類域”，相當(dāng)于現(xiàn)在的“絕對類域”．作為猜想，希爾伯特建立了類域論的若干重要定理：(1)任意代數(shù)數(shù)域k上的類域存在且唯一；(2)相對代數(shù)數(shù)域K/k是阿貝爾擴(kuò)張，且其伽羅瓦群與k的理想類群同構(gòu)；(3)K/k的共軛差積為1；(4)對于k的素理想p，如果f是最小正整數(shù)使p′成為主理想，則p在K中分解為p=β1β2…βg(NK/k(βi)=pf，fg=h)；(5)(主理想定理)設(shè)K/k為絕對類域，則將k的任意理想擴(kuò)張到K時(shí)，就都成為主理想．希爾伯特在某種特殊情形下給出了上述定理的證明．類域論后經(jīng)高木貞治和E．阿廷(Artin)等人進(jìn)一步發(fā)展而成完美的現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系． 希爾伯特關(guān)于代數(shù)數(shù)域的研究同時(shí)使他成為同調(diào)代數(shù)的前驅(qū)．“報(bào)告”中有一條相對循環(huán)域的中心定理——著名的“定理90”，包含了同調(diào)代數(shù)的基本概念． “相對阿貝爾域理論”的發(fā)表標(biāo)志了希爾伯特代數(shù)數(shù)域研究的終結(jié)．希爾伯特是屬于這樣的數(shù)學(xué)家，他們竭盡全力打開一座巨大的礦藏后，把無數(shù)的珍寶留給后來人，自己卻又興趣盎然地去勘探新的寶藏了．1898年底，格丁根大學(xué)告示：希爾伯特教授將于冬季學(xué)期作“歐幾里得幾何基礎(chǔ)”的系列講演． 幾何基礎(chǔ)(1898—1902)．H．外爾(Weyl)曾指出：“不可能有比希爾伯特關(guān)于數(shù)域論的最后一篇論文與他的經(jīng)典著作《幾何基礎(chǔ)》把時(shí)期劃分得更清楚了．”在1899年以前，希爾伯特唯一正式發(fā)表的幾何論述只有致克萊因的信“論直線作為兩點(diǎn)間的最短連結(jié)”( ber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweierPunkte，1895)．但事實(shí)上，希爾伯特對幾何基礎(chǔ)的興趣卻可以追溯到更早．1891年夏，他作為講師曾在柯尼斯堡開過射影幾何講座．同年9月，他在哈雷舉行的自然科學(xué)家大會(huì)上聽了H．維納(Wiener)的講演“論幾何學(xué)的基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)”( ber Grundlagenund Aufbau der Geometrie)．在返回柯尼斯堡途中，希爾伯特在柏林候車室里說了以下的名言：“我們必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’來代替‘點(diǎn)、線、面’”．說明他當(dāng)時(shí)已認(rèn)識到直觀的幾何概念在數(shù)學(xué)上并不合適．以后希爾伯特又先后作過多次幾何講演，其中最重要的有1894年夏季講座“幾何基礎(chǔ)”、1898年復(fù)活節(jié)假期講座“論無限概念”( ber den Begriff des Unendlichen)，它們終于導(dǎo)致了1898—1899年冬季學(xué)期講演“幾何基礎(chǔ)”中的決定性貢獻(xiàn)． 歐幾里得幾何一向被看作數(shù)學(xué)演繹推理的的典范．但人們逐漸察覺到這個(gè)龐大的公理體系并非天衣無縫．對平行公理的長期邏輯考察，孕育了Η·И·羅巴切夫斯基(ЛoбaчeBCKий)、J．波爾約(Bolyai)與高斯的非歐幾何學(xué)，但數(shù)學(xué)家們卻并沒有因此而高枕無憂．第五公設(shè)的獨(dú)立性追使他們對歐幾里得公理系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)作徹底的檢查．在這一領(lǐng)域里，希爾伯特主要的先行者是M．帕施(Pasch)和G．皮亞諾(Peano)．帕施最先以純邏輯的途徑構(gòu)筑了一個(gè)射影幾何公理體系(1882)，皮亞諾和他的學(xué)生M．皮耶里(Pieri)則將這方面的探討引向歐氏幾何的基礎(chǔ)．但他們對幾何對象以及幾何公理邏輯關(guān)系的理解是初步的和不完善的．例如帕施射影幾何體系中列出的公理與必須的極小個(gè)數(shù)公理相比失諸過多；而皮亞諾只給出了相當(dāng)于希爾伯特的部分(第一、二組)公理．在建造邏輯上完美的幾何公理系統(tǒng)方面，希爾伯特是真正獲得成功的第一人．正如他在《幾何基礎(chǔ)》導(dǎo)言中所說： “建立幾何的公理和探究它們之間的聯(lián)系，是一個(gè)歷史悠久的問題；關(guān)于這問題的討論，從歐幾里得以來的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，有過難以計(jì)數(shù)的專著，這問題實(shí)際就是要把我們的空間直觀加以邏輯的分析．”“本書中的研究，是重新嘗試著來替幾何建立一個(gè)完備的，而又盡可能簡單的公理系統(tǒng)；要根據(jù)這個(gè)系統(tǒng)推證最重要的幾何定理，同時(shí)還要使我們的推證能明顯地表出各類公理的含義和個(gè)別公理的推論的含義．” 與以往相比，希爾伯特公理化方法的主要功績在于以下兩個(gè)方面． 首先是關(guān)于幾何對象本身達(dá)到了更高的抽象．希爾伯特的公理系統(tǒng)是從三類不定義對象(點(diǎn)、線、面)和若干不定義關(guān)系(關(guān)聯(lián)、順序、合同)開始的．盡管希爾伯特沿用了歐氏幾何的術(shù)語，其實(shí)是“用舊瓶裝新酒”，在歐氏幾何的古典框架內(nèi)提出現(xiàn)代公理化的觀點(diǎn)．歐氏幾何中的空間對象都被賦予了描述性定義，希爾伯特則完全舍棄了點(diǎn)、線、面等的具體內(nèi)容而把它們看作是不加定義的純粹的抽象物．他明確指出歐幾里得關(guān)于點(diǎn)、線、面的定義本身在數(shù)學(xué)上并不重要，它們之所以成為討論的中心，僅僅是由于它們同所選諸公理的關(guān)系．這就賦予幾何公理系統(tǒng)以最大的一般性． 其次，希爾伯特比任何前人都更透徹地揭示出公理系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系．《幾何基礎(chǔ)》中提出的公理系統(tǒng)包括20條公理，希爾伯特將它們劃分為五組： Ⅰ．1—8． 關(guān)聯(lián)公理 ?、颍?—4． 順序公理 ?、螅?—5． 合同公理 Ⅳ． 平行公理 ?、酰?—2． 連續(xù)公理 這樣自然地劃分公理，使公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)變得非常清楚．希爾伯特明確提出了公理系統(tǒng)的三大基本要求，即相容性(consis-tency)、獨(dú)立性(independency)和完備性(completeness)． 相容性要求公理系統(tǒng)不包含任何矛眉．這是在公理基礎(chǔ)上純邏輯地展開幾何學(xué)時(shí)首先遇到的問題．在希爾伯特之前，人們已通過非歐幾何在歐氏空間中的實(shí)現(xiàn)而將非歐幾何的相容性歸結(jié)為歐氏幾何的相容性．希爾伯特貢獻(xiàn)的精華之一，是通過算術(shù)解釋而將歐氏幾何的相容性進(jìn)一步歸結(jié)為算術(shù)的相容性．例如，將平面幾何中的點(diǎn)與實(shí)數(shù)偶(x，y)對應(yīng)起來，將直線與聯(lián)比(u，v，w)(u，v不同時(shí)為0)對應(yīng)起來，表達(dá)式ux+vy+w=0就表示點(diǎn)落在直線上，這可以看作“關(guān)聯(lián)”關(guān)系的算術(shù)解釋．在對每個(gè)概念與關(guān)系類似地給出算術(shù)解釋后，希爾伯特進(jìn)一步將全部公理化成算術(shù)命題，并指出它們?nèi)阅苓m合于這些解釋．這樣，希爾伯特就成功地證明了：幾何系統(tǒng)里的任何矛盾，必然意味著實(shí)數(shù)算術(shù)里的矛盾． 希爾伯特處理獨(dú)立性問題的典型手法是構(gòu)造模型：為了證明某公理的獨(dú)立性，構(gòu)造一個(gè)不滿足該公理但滿足其余公理的模型，然后對這個(gè)新系統(tǒng)證明其相容性．希爾伯特用這樣的方法論證了那些最令人關(guān)心的公理的獨(dú)立性，其中一項(xiàng)重大成果是對連續(xù)公理(亦叫阿基米德公理)獨(dú)立性的研究．在這里，希爾伯特建造了不用連續(xù)公理的幾何學(xué)——非阿基米德幾何學(xué)模型．《幾何基礎(chǔ)》用了整整五章篇幅來實(shí)際展開這種新幾何學(xué)，顯示出希爾伯特卓越的創(chuàng)造才能． 如果說獨(dú)立性不允許公理系統(tǒng)出現(xiàn)多余的公理，那么完備性則意味著不可能在公理系統(tǒng)中再增添任何新的公理，使與原來的公理集相獨(dú)立而又與之相容．《幾何基礎(chǔ)》中的公理系統(tǒng)是完備的，但完備性概念的精確陳述則是由其他學(xué)者如E．亨廷頓(Hun－tington，1902)、O．維布倫(Veblen，1904)等給出的． 《幾何基礎(chǔ)》最初發(fā)表于1899年6月格丁根慶祝高斯-韋伯塑像落成的紀(jì)念文集上，它激起了對幾何基礎(chǔ)的大量關(guān)注，通過這部著作，希爾伯特不僅使幾何學(xué)本身具備了空前嚴(yán)密的公理化基礎(chǔ)，同時(shí)使自己成為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)公理化傾向的引路人．其后，公理化方法逐步滲透到幾乎所有的純數(shù)學(xué)領(lǐng)域．正因?yàn)槿绱?，人們對《幾何基礎(chǔ)》的興趣歷久不衰，該書在希爾伯特生前即已六次再版，1977年紀(jì)念高斯誕生200周年時(shí)發(fā)行了第十二版． 變分法與積分方程(1899—1912)．希爾伯特在代數(shù)和幾何中留下了深刻印記后，接著便跨入數(shù)學(xué)的又一大領(lǐng)域——分析．他以挽救狄利克雷原理(1899)的驚人之舉，作為其分析時(shí)期的開端． 狄利克雷原理斷言：存在著一個(gè)在邊界上取給定值的函數(shù)u0，使重積分 達(dá)極小值，這個(gè)極小化函數(shù)u0同時(shí)是拉普拉斯方程△u=0的滿足同一邊界條件的解．該原理最早出現(xiàn)在G．格林(Green，1835)的位勢論著作中，稍后又為高斯和狄利克雷獨(dú)立提出．G．F．B．黎曼(Riemann)首先以狄利克雷的名字命名這一原理并將其應(yīng)用于復(fù)變函數(shù)．然而，K．T．W．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)1870年以其特有的嚴(yán)格化精神批評了狄利克雷原理在邏輯上的缺陷．他指出：連續(xù)函數(shù)下界存在并可達(dá)，此性質(zhì)不能隨意推廣到自變元本身為函數(shù)的情形，也就是說在給定邊界條件下使積分F(u)極小化的函數(shù)未必存在．他的批判迫使數(shù)學(xué)家們閑置狄利克雷原理，但另一方面數(shù)學(xué)物理中許多重要結(jié)果都依賴于此原理而建立． 希爾伯特采取完全不同的思路來處理這一難題．他通過邊界條件的光滑化來保證極小化函數(shù)的存在，從而恢復(fù)狄利克雷原理的功效．具體 un本身不恒收斂，但可用對角線法獲得一處處收斂的子序列，其極限必使積分達(dá)極小值．希爾伯特的工作不僅“復(fù)活”了具有廣泛應(yīng)用價(jià)值的狄利克雷原理，同時(shí)大大豐富了變分法的經(jīng)典理論． 希爾伯特對現(xiàn)代分析影響最為深遠(yuǎn)的工作是在積分方程方面．積分方程與微分方程一樣起源于力學(xué)與物理問題，但在發(fā)展上卻比后者遲緩．它的一般理論到19世紀(jì)末才由意大利數(shù)學(xué)家V·沃爾泰拉(Volterra)等開始建立．在希爾伯特之前，最重要的推進(jìn)是瑞典數(shù)學(xué)家E．I．弗雷德霍姆(Fredh lm)作出的．弗雷德霍姆處理了后以他的名字命名的積分方程： 他將積分方程看作是有限線性代數(shù)方程組當(dāng)未知數(shù)數(shù)目趨于無限時(shí)的極限情形，從而建立了積分方程與線性代數(shù)方程之間的相似性．希伯爾特于1900—1901年冬從正在格丁根訪問的瑞典學(xué)者E．霍爾姆格倫(Holmgren)那里獲悉弗雷德霍姆的工作，便立即把注意力轉(zhuǎn)向積分方程領(lǐng)域． 一如以往的風(fēng)格，希爾伯特從完善和簡化前人工作入手．他首先嚴(yán)格地實(shí)現(xiàn)了從代數(shù)方程過渡到積分方程的極限過程，而這正是弗雷德霍姆工作的缺陷．如果希爾伯特停留于此，那他就不可能成為本世紀(jì)領(lǐng)頭的分析學(xué)家之一了．希爾伯特隨后便越出了弗雷德霍姆的線性代數(shù)方程理論，而開辟了一條獨(dú)創(chuàng)的道路．他研究帶參數(shù)的弗雷德霍姆方程 參數(shù)λ在希爾伯特的理論中具有本質(zhì)意義．他將重點(diǎn)轉(zhuǎn)到與方程(1)相應(yīng)的齊次方程的特征值和特征函數(shù)問題上，以敏銳的目光看出了該問 x(s)y(t)dsdt建立了廣義主軸定理：設(shè)K(s，t)是s，t的 數(shù)，則對任意連續(xù)的x(s)和y(t)如下關(guān)系成立： ＜∞的所有x(s)， y(t)絕對一致收斂． 利用上述結(jié)果，希爾伯特證明了著名的展開定理(后稱希爾伯特-施 式的傅里葉系數(shù)． 希爾伯特接著又將通常的代數(shù)主軸定理推廣到無限多個(gè)變量的二次型，這是他全部理論的關(guān)鍵之處．他證明：存在一個(gè)正交變換T，使得 “有界”性都是希爾伯特為保證主軸定理在無限情形的推廣而特意引進(jìn)的重要概念． 正是在這里，希爾伯特創(chuàng)造了極其重要的具有平方收斂和的數(shù)列空 列(x1，x2，…)看作可數(shù)無限維空間中的一個(gè)向量x，考慮具有有限 間，它具有發(fā)展積分方程論所必需的完備性． 希爾伯特應(yīng)用上述無限多個(gè)變量的二次型理論而獲得了積分方程論 證明了齊次方程除特征值λp以外沒有非平凡解．這就重建了弗雷德霍姆的“擇一定理”．雖然希爾伯特的結(jié)果有許多并不是新的，但正如我們已經(jīng)看到的那樣，他徹底改造了弗雷德霍姆的理論，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了積分方程論本身．他所引進(jìn)的概念與方法，啟發(fā)了后人大量的工作．其中特別值得提出的是：匈牙利數(shù)學(xué)家F．里斯(Riesz)等借完備標(biāo)準(zhǔn)正交系確立了勒貝格平方可積函數(shù)空間與平方可和數(shù)列空間之間的一一對應(yīng)關(guān)系，制定了抽象希爾伯特空間理論，從而使積分方程理論成為現(xiàn)代泛函分析的主要來源之一．希爾伯特關(guān)于積分方程的一般理論同時(shí)滲透到微分方程、解析函數(shù)、調(diào)和分析和群論等研究中，有力地推動(dòng)了這些領(lǐng)域的發(fā)展． 希爾伯特關(guān)于積分方程的成果還在現(xiàn)代物理中獲得了意想不到的應(yīng)用．希爾伯特在討論特征值問題時(shí)曾創(chuàng)造了“譜”(spec－trum)這個(gè)術(shù)語，他將譜分析理論從全連續(xù)二次型推廣至有界二次型時(shí)發(fā)現(xiàn)了連續(xù)譜的存在．到20年代，當(dāng)量子力學(xué)蓬勃興起之時(shí)，物理學(xué)家們發(fā)現(xiàn)希爾伯特的譜分析理論原來是量子力學(xué)的非常合適的數(shù)學(xué)工具．希爾伯特本人對此感觸頗深，他指出：“無窮多個(gè)變量的理論研究，當(dāng)初完全是出于純粹數(shù)學(xué)的興趣，我甚至管這理論叫‘譜分析’，并沒有預(yù)料到它后來會(huì)在實(shí)際的物理光譜理論中獲得應(yīng)用”． 希爾伯特關(guān)于積分方程的研究，被總結(jié)成專著《線性積分方程一般理論基礎(chǔ)》(Grundz ge einer allgemeiner Theorie der linea－ren Integralgleichungen)于1912年正式出版，其中收進(jìn)了他1904—1910年間發(fā)表的一系列有關(guān)論文． 物理學(xué)(1912—1922)．希爾伯特對物理學(xué)的興趣起初是受其摯友閔可夫斯基的影響．閔可夫斯基去世后，1910—1918年，希爾伯特一直在格丁根堅(jiān)持定期講授物理學(xué)．從1912年開始，他更將其主要的科學(xué)興趣集中到物理學(xué)方面，并為自己配備了物理學(xué)助手． 與物理學(xué)家不同的是，希爾伯特研究物理學(xué)的基本途徑是“借助公理來研究那些在其中數(shù)學(xué)起重要作用的物理科學(xué)”．遵循這一路線，希爾伯特先是成功地將積分方程論應(yīng)用于氣體分子運(yùn)動(dòng)學(xué)，隨后又相繼處理了初等輻射論與物質(zhì)結(jié)構(gòu)論；受狹義相對論應(yīng)用數(shù)學(xué)的鼓舞，他于1914—1915年間大膽地將公理化方法引向當(dāng)時(shí)物理學(xué)的前沿——廣義相對論并作出了特殊貢獻(xiàn)；1927年，他與馮·諾依曼(von Neumann)和 L．諾德海姆(Nordheim)合作的文章“論量子力學(xué)基礎(chǔ)”( ber die Grundlagen der Quanten－mechanik)則推動(dòng)了量子力學(xué)的公理化． 希爾伯特所提倡的公理化物理學(xué)的一般意義，至今仍是需要探討的問題．值得強(qiáng)調(diào)的是他在廣義相對論方面的工作，確實(shí)提供了物理學(xué)中運(yùn)用公理化方法的成功范例．希爾伯特在1914年底被A．愛因斯坦(Einstein)關(guān)于相對性引力理論的設(shè)想和另一位物理學(xué)家G．米(Mie)試圖綜合電磁與引力現(xiàn)象的純粹場論計(jì)劃所吸引，看到了將二者聯(lián)系起來建立統(tǒng)一物質(zhì)場論的希望，并立即投入這方面的探討．他運(yùn)用變分法、不變式論等數(shù)學(xué)工具，按公理化方法直接進(jìn)行研究．1915年11月20日，希爾伯特在向格丁根科學(xué)會(huì)遞交的論文《物理學(xué)基礎(chǔ)，第一份報(bào)告》(Die Grundla－gen der physik， erste Mitteilung)中公布了基本結(jié)果．他在這份報(bào)告中這樣概括自己的貢獻(xiàn)： “遵循公理化方法，事實(shí)上是從兩條簡單的公理出發(fā)，我要提出一組新的物理學(xué)基本方程，這組方程具有漂亮的理想形式，并且我相信它們同時(shí)包含了愛因斯坦與米所提出的問題的解答?！? 希爾伯特所說的兩條簡單公理是： 公理Ⅰ(世界函數(shù)公理)．物理定律由世界函數(shù)H所決定，使積分 公理Ⅱ(廣義協(xié)變公理)．世界函數(shù)H對一般坐標(biāo)變換皆保持不變． 由公理Ⅰ，Ⅱ，希爾伯特首先通過取世界函數(shù)H對引力勢的變分并經(jīng)適當(dāng)變換后獲得10個(gè)引力方程： 可以證明，方程組(2)與愛因斯坦的廣義協(xié)變引力場方程等價(jià)．愛因斯坦是在同年11月25日發(fā)表其結(jié)果的，比希爾伯特晚了5天．希爾伯特引力場方程的推導(dǎo)是完全獨(dú)立地進(jìn)行的．不過兩位學(xué)者之間并沒有發(fā)生任何優(yōu)先權(quán)的爭論，希爾伯特把建立廣義相對論的全部榮譽(yù)歸于愛因斯坦，并在1915年頒發(fā)第三次鮑耶獎(jiǎng)時(shí)主動(dòng)推薦了愛因斯坦． 除了引力場方程，希爾伯特還同時(shí)導(dǎo)出了另一組電磁學(xué)方程(廣義麥克思韋方程)： 特別重要的是，在希爾伯特的推導(dǎo)中，電磁現(xiàn)象與引力現(xiàn)象被相互關(guān)聯(lián)起來，前者是后者的自然結(jié)果，而在愛因斯坦的理論中，電磁方程與引力方程在邏輯上是完全獨(dú)立的．這樣，希爾伯特以數(shù)學(xué)的抽象推理而預(yù)示了統(tǒng)一場論的發(fā)展．他后來在《物理學(xué)基礎(chǔ)，第二份報(bào)告》中進(jìn)一步闡述了統(tǒng)一場論的設(shè)想．沿著希爾伯特的路線前進(jìn)而建立起第一個(gè)系統(tǒng)的統(tǒng)一場理論的是他的學(xué)生韋爾(規(guī)范不變幾何學(xué)，1918)．而包括愛因斯坦在內(nèi)的物理學(xué)家們對希爾伯特的思想最初卻并不理解．愛因斯坦1928年在反駁量子力學(xué)相容性的企圖失敗后轉(zhuǎn)而寄厚望于統(tǒng)一場論，并為此而付出了后半生的精力．統(tǒng)一場論至今仍是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們熱烈追求的目標(biāo)． 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(1917年以后)．希爾伯特對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究是他早期關(guān)于幾何基礎(chǔ)工作的自然延伸．他在幾何基礎(chǔ)的研究中已將幾何學(xué)的相容性歸結(jié)為算術(shù)的相容性，這就使算術(shù)的相容性成為注意的中心．1904年，希爾伯特在海德堡召開的數(shù)學(xué)家大會(huì)上所作“論邏輯與算術(shù)的基礎(chǔ)”( ber die Grundlagen der Logik undArithmetik)的講演，表明了他從幾何基礎(chǔ)向一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的轉(zhuǎn)移．這篇講演勾畫了后來被稱為“證明論”(Beweistheorie)的輪廓，但這一思想當(dāng)時(shí)并未得到進(jìn)一步貫徹，在隨后十余年間，希爾伯特主要潛心于積分方程和物理學(xué)研究而把海德堡計(jì)劃暫擱一邊．直到1917年左右，由于集合論誖和直覺主義的發(fā)展日益緊迫地危及古典數(shù)學(xué)的已有成就，他又被迫回到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究上來，這年9月，希爾伯特向蘇黎世數(shù)學(xué)會(huì)作了題為“公理化思想”(Axiomatisches Denken)的講演，再次公布了證明論的構(gòu)想．此后他又在一系列講演和論文中明確展開了以證明論為核心的關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的所謂形式主義綱領(lǐng)． 按照希爾伯特的綱領(lǐng)，數(shù)學(xué)被形式化為一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)形式系統(tǒng)的對象包含了數(shù)學(xué)的與邏輯的兩個(gè)方面，人們必須通過符號邏輯的方法來進(jìn)行數(shù)學(xué)語句的公式表述，并用形式的程序表示推理：確定一個(gè)公式—確定這公式蘊(yùn)涵另一個(gè)公式一再確定這第二個(gè)公式，依此類推，數(shù)學(xué)證明便由這樣一條公式的鏈所構(gòu)成．在這里，從公式到公式的演繹過程不涉及公式的任何意義．正如希爾伯特本人所說的那樣，數(shù)學(xué)思維的對象就是符號自身．一個(gè)命題是否真實(shí)，必須也只須看它是否是這樣一串命題的最后一個(gè)，其中每一條命題或者是形式系統(tǒng)的一條公理，或者是根據(jù)推理法則而導(dǎo)出的命題．同時(shí)，希爾伯特的形式化方法重點(diǎn)不在個(gè)別命題的真實(shí)性，而是整個(gè)系統(tǒng)的相容性．這種把整個(gè)系統(tǒng)作為研究對象，著眼于整個(gè)系統(tǒng)相容性證明的研究，就叫做證明論或“元數(shù)學(xué)”(meta－mathematics)的研究． 形式化推理的進(jìn)行要求保留排中律．為此希爾伯特引進(jìn)了所謂“超限公理”： A(τA)→ A(a)， 其意思是：若謂詞A適合于標(biāo)準(zhǔn)對象τA，它就適合于每一個(gè)對象a．例如阿里斯提得斯(Aristides，古希臘政治家)是正直的代表，若此人被證明墮落，那就可以證明所有的人都墮落．此處τ稱為超限函子．超限公理的應(yīng)用保證了公式可以按三段論法則來進(jìn)行演繹． 超限公理還使形式系統(tǒng)的相容性證明得到實(shí)質(zhì)性縮減．為要證明形式系統(tǒng)無矛盾，只要證明在該系統(tǒng)中不可能導(dǎo)出公式0≠0即可．對此，希爾伯特方法的基本思想是：只使用普遍承認(rèn)的有限性的證明方法，不能使用有爭議的原則諸如超限歸納、選擇公理等等，不能涉及公式的無限多個(gè)結(jié)構(gòu)性質(zhì)或無限多個(gè)公式操作．希爾伯特這種所謂的有限方法亦由超限公理加以保障：借助超限公理，可將形式系統(tǒng)的一切超限工具(包括全稱量詞、存在量詞以及選擇公理等)都?xì)w約為一個(gè)超限函子τ，然后系統(tǒng)地消去包含τ的所有環(huán)節(jié)，就不難回到有限觀點(diǎn)． 希爾伯特的形式化觀點(diǎn)是在同以L．布勞威爾(Brouwer)為代表的直覺主義針鋒相對的爭論中發(fā)展的．對直覺主義者來說，數(shù)學(xué)中重要的是真實(shí)性而不是相容性．他們認(rèn)為“一般人所接受的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了可以判斷其真實(shí)意義的范圍”，因而主張通過放棄一切真實(shí)性受到懷疑的概念和方法(包括無理數(shù)、超限數(shù)、排中律等)來擺脫數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)危機(jī)．希爾伯特堅(jiān)決反對這種“殘缺不全”的數(shù)學(xué)．他說：“禁止數(shù)學(xué)家使用排中律就等于禁止天文學(xué)家使用望遠(yuǎn)鏡和禁止拳擊家使用拳頭一樣．”與直覺主義為了保全真實(shí)性而犧牲部分?jǐn)?shù)學(xué)財(cái)富的做法相反，希爾伯特則通過完全抽掉對象的真實(shí)意義、進(jìn)而建立形式系統(tǒng)的相容性來挽救古典數(shù)學(xué)的整個(gè)體系．希爾伯特對自己的綱領(lǐng)抱著十分樂觀的態(tài)度，希望“一勞永逸地解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題”．然而，1931年奧地利數(shù)學(xué)家K．哥德爾(G del)證明了：任何一個(gè)足以包含實(shí)數(shù)算術(shù)的形式系統(tǒng)，必定存在一個(gè)不可判定的命題S(即S與～S皆成立)．這使形式主義的計(jì)劃受到挫拆．一些數(shù)學(xué)家試圖通過放寬對形式化的要求來確立形式系統(tǒng)的相容性，例如 1936年，希爾伯特的學(xué)生 G．根岑(Gentzen)在允許使用超限歸納法的情況下證明了算術(shù)公理的相容性．但希爾伯特原先的目標(biāo)依然未能實(shí)現(xiàn)．盡管如此，恰如哥德爾所說：希爾伯特的形式主義計(jì)劃仍不失其重要性，它促進(jìn)了本世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的深化．特別是，希爾伯特通過形式化第一次使數(shù)學(xué)證明本身成為數(shù)學(xué)研究的對象．證明論已發(fā)展成標(biāo)征著數(shù)理邏輯新面貌的富有成果的研究領(lǐng)域． 希爾伯特的形式主義觀點(diǎn)，在他分別與其邏輯助手W．阿克曼(Ackermann)和P．貝爾奈斯(Bernays)合作的兩部專著《數(shù)理輯邏基礎(chǔ)》(Gtundz ge der Theoretischen Logik， 1928)和《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(Grundlagen der Mathematik， 1934， 1939)中得到了系統(tǒng)的陳述． 數(shù)學(xué)問題．C．卡拉西奧多里(Caratheodory)曾引用過他直接聽到的一位當(dāng)代大數(shù)學(xué)家對希爾伯特說過的話：“你使得我們所有的人，都僅僅在思考你想讓我們思考的問題”，這里指的是希爾伯特1900年在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的著名講演“數(shù)學(xué)問題”(Mathematische Probleme)．這篇講演也許比希爾伯特任何單項(xiàng)的成果都更加激起了普遍而熱烈的關(guān)注．希爾伯特在其中對各類數(shù)學(xué)問題的意義、源泉及研究方法發(fā)表了精辟見解，而整個(gè)講演的核心部分則是他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢而提出的23個(gè)問題，數(shù)學(xué)史上亦稱之為“希爾伯特問題”．這些問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大部分領(lǐng)域，它們的解決，對20世紀(jì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了持久的影響． 1．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)． 1963年， P．科恩(Cohen)在下述意義下證明了第一問題不可解：即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉诓呙妨_(Zermelo)-弗倫克爾(Fraenkel)公理系統(tǒng)內(nèi)判明． 2．算術(shù)公理的相容性．1931年哥德爾“不完備定理”指出了用元數(shù)學(xué)證明算術(shù)公理相容性之不可行．算術(shù)相容性問題至今尚未解決． 3．兩等底等高的四面體體積之相等．這問題1900年即由希爾伯特的學(xué)生M．德恩(Dehn)給出肯定解答，是希爾伯特諸問題最早獲得解決者． 4．直線作為兩點(diǎn)間最短距離問題．在構(gòu)造各種特殊度量幾何方面已有許多進(jìn)展，但問題過于一般，未完全解決． 5．不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)的李群概念．1952年由A．格里森(Gleason)、D．蒙哥馬利(Montgomery)、L．齊賓(Zippin)等人解決，答案是肯定的． 6．物理公理的數(shù)學(xué)處理．在量子力學(xué)、熱力學(xué)等部門，公理化方法已獲得很大成功．概率論的公理化則由A．H．柯爾莫哥洛夫(KoлMoгopoB，1933)等完成． 7．某些數(shù)的無理性與超越性．1934年，A．O．蓋爾范德(Гe-льфaHд)和Т．施奈德(Schneider)各自獨(dú)立地解決了問題的后一半，即對任意代數(shù)數(shù)。α≠0，1和任意代數(shù)無理數(shù)β≠0證明了αβ的超越性．此結(jié)果1966年又被?。惪?Baker)等大大推廣． 8．素?cái)?shù)問題．一般情形的黎曼猜想仍待解決．哥德巴赫猜想目前最佳結(jié)果屬于陳景潤，但尚未最后解決． 9．任意數(shù)域中最一般的互反律之證明．已由高木貞治(Takagi Teiji)(1921)和阿廷(1927)解決． 10．丟番圖方程可解性的判別．1970年，Ю．Н．馬蒂雅謝維奇(MaTияceBич)證明了希爾伯特所期望的一般算法是不存在的． 11．系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型．H．哈塞(Hasse，1929)和C．L．西格爾(Siegel，1951)在這問題上獲得了重要結(jié)果． 12．阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意代數(shù)有理域．尚未解決． 13．不可能用兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般七次方程．連續(xù)函數(shù)情形1957年由B．阿諾爾德(ApHOлbд)否定解決，如要求解析函數(shù)則問題尚未解決． 14．證明某類完全函數(shù)系的有限性．1958年永田雅宜(NagataMasayosi)給出了否定解答． 15．舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)．舒伯特演算的合理性尚待解決．至于代數(shù)幾何基礎(chǔ)已由范德瓦爾登(van der Waerden，1940)與A．韋伊(Weil，1950)建立． 16．代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)洌畣栴}前半部分近年來不斷有重要結(jié)果，至于后半部分，И．Т．彼得羅夫斯基(ПEtPObCkий)曾聲明他證明了n=2時(shí)極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過3．這一結(jié)論是錯(cuò)誤的，已由中國數(shù)學(xué)家指出(1979)． 17．正定形式的平方表示．已由阿廷解決(1926)． 18．由全等多面體構(gòu)造空間．帶有基本域的群的個(gè)數(shù)的有限性已由L．比貝爾巴赫(Bieberbach，1910)證明；問題第二部分(是否存在不是運(yùn)動(dòng)群的基本域但經(jīng)適當(dāng)毗連可充滿全空間的多面體)已由賴因哈特(Reinhardt，1928)和黑施(Heesch，1935)分別給出三維和二維情形的例子． 19．正則變分問題的解是否一定解析．問題在下述意義下已解決： C．伯恩斯坦(БepHщTeйH，1904)證明了一個(gè)變元的解析非線性橢圓方程其解必定解析．此結(jié)果后又被推廣到多變元和橢圓組的情形． 20．一般邊值問題．偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發(fā)展． 21．具有給定單值群的線性微分方程的存在性，已由希爾伯特本人(1905)和Н．勒爾(R hrl， 1957)解決． 22．解析關(guān)系的單值比．一個(gè)變數(shù)情形已由P．克貝(Koebe，1907)解決． 23．變分法的進(jìn)一步發(fā)展． 希爾伯特?zé)o疑是屬于20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之列．他生前即已享有很高聲譽(yù)．1910年獲匈牙利科學(xué)院第二次波爾約獎(jiǎng)(該獎(jiǎng)第一次得主是龐加萊)；從1902年起一直擔(dān)任有影響的德國《數(shù)學(xué)年刊》(Mathematische Annalen)主編；他是許多國家科學(xué)院的榮譽(yù)院士．德國政府授予他“樞密顧問”稱號． 希爾伯特同時(shí)是一位杰出的教師，他在這方面與不喜歡教書的高斯有很大的不同．希爾伯特講課簡練、自然，向?qū)W生展示“活”的數(shù)學(xué)．他樂于同學(xué)生交往，常常帶著他們在課余長時(shí)間散步，在融洽的氣氛中切磋數(shù)學(xué)．希爾伯特并不特別看重學(xué)生的天賦，而強(qiáng)調(diào)李希登堡(Lichtenberg)的名言“天才就是勤奮”．對學(xué)生們來說，希爾伯特不像克萊因那樣是“遠(yuǎn)在云端的神”，在他們的心目中，“希爾伯特就像一位穿雜色衣服的風(fēng)笛手，用甜蜜的笛聲引誘一大群老鼠跟著他走進(jìn)數(shù)學(xué)的深河”．(見研究文獻(xiàn)[8]．)這位平易近人的教授周圍，聚集起一批有才華的青年．僅在希爾伯特直接指導(dǎo)下獲博士學(xué)位的學(xué)生就有69位，他們不少人后來成為卓有貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，其中包括H．外爾(Weyl，1908)、R．柯朗(Courant，1910)、Е．施密特(Schmidt，1905)和O.布魯門薩爾(Blumenthal， 1898)等(詳細(xì)名單及學(xué)位論文目錄參見[1])．曾在希爾伯特身邊學(xué)習(xí)、工作或訪問而受到他的教誨的數(shù)學(xué)家更是不計(jì)其數(shù)，最著名的有埃米·諾特(Emmy Noether)、馮·諾依曼(von Neumann)、高木貞治、C．卡拉西奧多里(Caratheo-dory)、E．策梅羅(Zermelo)等等． 希爾伯特的學(xué)術(shù)成就、教學(xué)活動(dòng)以及其個(gè)性風(fēng)格，使他成為一個(gè)強(qiáng)大的學(xué)派的領(lǐng)頭人．本世紀(jì)初的30年間，格丁根成為名符其實(shí)的國際數(shù)學(xué)中心．韋爾后來回憶當(dāng)年格丁根盛況時(shí)指出：希爾伯特“對整整一代學(xué)生所產(chǎn)生的如此強(qiáng)大和神奇的影響，在數(shù)學(xué)史上是罕見的”．“在像格丁根那樣的小城鎮(zhèn)中的大學(xué)，特別是在1914年前平靜美好的日子里，是發(fā)展科學(xué)學(xué)派的有利場所，……一旦一幫學(xué)生圍繞著希爾伯特，不被雜務(wù)所打擾而專門從事研究，他們怎能不相互激勵(lì)……．在形成科學(xué)研究這種凝聚點(diǎn)時(shí)，有著一種雪球效應(yīng)．”(見研究文獻(xiàn)[8]，[9]．) 然而，在第二次世界大戰(zhàn)中，希爾伯特的學(xué)派不幸遭到打擊．他的大部分學(xué)生在法西斯政治迫害下紛紛逃離德國．希爾伯特本人因年邁未能離去，在極其孤寂的氣氛下度過了生命的最后歲月．1943年希爾伯特因摔傷引起的各種并發(fā)癥而與世長辭．葬禮極為簡單，他的云散異國的學(xué)生都未能參加，他們很晚才獲悉噩耗．戰(zhàn)爭阻礙了對這位當(dāng)代數(shù)學(xué)大師的及時(shí)悼念． 希爾伯特學(xué)派的成員后來紛紛發(fā)表文章和演說，論述希爾伯特的影響．外爾認(rèn)為：“我們這一代數(shù)學(xué)家還沒有能達(dá)到與他相比的崇高形象．”除了具體的學(xué)術(shù)成就，希爾伯特培育、提倡的格丁根數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，也已成為全世界數(shù)學(xué)家的共同財(cái)富：希爾伯特尋求“精通單個(gè)具體問題與形成一般抽象概念之間的平衡”．他指出數(shù)學(xué)研究中問題的重要性，認(rèn)為“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止”．這正是他在巴黎提出前述23個(gè)問題的主要?jiǎng)訖C(jī)；希爾伯特強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性——“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系．……數(shù)學(xué)理論越是向前發(fā)展，它的結(jié)構(gòu)就變得越加調(diào)和一致，并且這門科學(xué)一向相互隔絕的分支之間也會(huì)顯露出原先意想不到的關(guān)系”，“數(shù)學(xué)的有機(jī)的統(tǒng)一，是這門科學(xué)固有的特點(diǎn)”；希爾伯特將思維與經(jīng)驗(yàn)之間“反復(fù)出現(xiàn)的相互作用”看作數(shù)學(xué)進(jìn)步的動(dòng)力．因此，誠如柯朗所說：“希爾伯特以他感人的榜樣向我們證明：……在純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)之間不存在鴻溝，數(shù)學(xué)和科學(xué)總體之間，能夠建立起果實(shí)豐滿的結(jié)合體．” 卡拉西奧多里指出：“指導(dǎo)希爾伯特一生的最高準(zhǔn)則是絕對的正直和誠實(shí)．”這種正直、誠實(shí)，不僅表現(xiàn)在科學(xué)活動(dòng)上，而且表現(xiàn)在對待社會(huì)和政治問題的態(tài)度上．希爾伯特憎惡一切政治的、種族的和傳統(tǒng)的偏見，并敢于挺身抗?fàn)帲谝淮问澜绱髴?zhàn)初，他冒著極大的風(fēng)險(xiǎn)，拒絕在德國政府起草的為帝國主義戰(zhàn)爭辯護(hù)的“宣言”上簽名，并表示不相信其中編造的事實(shí)是“真的”；戰(zhàn)爭期間，他又勇敢地發(fā)表悼詞，悼念交戰(zhàn)國法國的數(shù)學(xué)家G．達(dá)布(Darboux)的逝世；他曾力排眾議，為女?dāng)?shù)學(xué)家埃米·諾特爭取當(dāng)講師的權(quán)利，而不顧當(dāng)局不讓女性任職的慣例；他對希特勒的排猶運(yùn)動(dòng)也表示了極大的憤慨． 希爾伯特出生于康德之城，是在康德哲學(xué)的熏陶下成長的．他對這位同鄉(xiāng)懷有敬慕之情，卻沒有讓自己變成其不可知論的殉道者．相反，希爾伯特對于人類的理性，無論在認(rèn)識自然還是社會(huì)方面，都抱著一種樂觀主義．在巴黎講演中，希爾伯特表述了任何數(shù)學(xué)問題都可以得到解決的信念，認(rèn)為“在數(shù)學(xué)中沒有ignorabimus(不可知)”．1930年，在柯尼斯堡自然科學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特被他出生的城市授予榮譽(yù)市民稱號．在題為“自然的認(rèn)識與邏輯”的致詞中，他批判了“墮入倒退與不毛的懷疑主義”，并在演說結(jié)尾堅(jiān)定地宣稱：“Wir mǖssen wlssn． Wir werden wissn！”(我們必須知道，我們必將知道！)柯朗在格丁根紀(jì)念希爾伯特誕生100周年的演說中指出：“希爾伯特那有感染力的樂觀主義，即使到今天也在數(shù)學(xué)中保持著他的生命力．唯有希爾伯特的精神，才會(huì)引導(dǎo)數(shù)學(xué)繼往開來，不斷成功．” |
|
|
