作者：袁向東，李文林

來源：《自然科學(xué)史研究》第1卷第4期（1982年）

（一）克萊茵的理想

1886年，克萊茵受聘來到格廷根大學(xué)。當(dāng)時，他曾同時收到美國霍普金斯大學(xué)的聘書。克萊茵因神往高斯、黎曼的偉大傳統(tǒng)，毅然選擇了格廷根大學(xué)，并決心按照這一傳統(tǒng)把格廷根建設(shè)成歐洲的學(xué)術(shù)中心。

克萊茵的科學(xué)成就使他具備了擔(dān)當(dāng)這一重任的資格。他二十三歲就任埃爾蘭根大學(xué)數(shù)學(xué)教授，并發(fā)表了著名的“埃爾蘭根綱領(lǐng)”，首次提出將各種幾何看作是各種群的不變量的理論，揭示了似乎極不相同的幾何之間的統(tǒng)一形式，引起了數(shù)學(xué)觀念的深刻變革。他還和法國數(shù)學(xué)家龐加萊（H. Poincard）各自獨立地創(chuàng)立了自守函數(shù)理論。單是這兩項工作已足以使他在科學(xué)界享有殊榮，何況他的工作廣泛涉及數(shù)論、代數(shù)、幾何、函數(shù)論、不變量理論以及應(yīng)用數(shù)學(xué)等廣闊領(lǐng)域。

圖1 克萊因

如果克萊茵像高斯一樣只關(guān)注個人的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，那他就不可能從根本上改變格廷根的面貌。幸好，克萊茵的創(chuàng)造天才同組織能力完美地融為一體，他洞察到了時代賦于數(shù)學(xué)的重任，在格廷根進行了一系列科學(xué)組織活動，這對格廷根數(shù)學(xué)的繁榮有特殊的意義：

1、羅致和提拔人材，建立實力雄厚的數(shù)學(xué)教授班子。最早被克萊茵選中，也是最重要的年輕數(shù)學(xué)家是希爾伯特。1888年，二十六歲的希爾伯特用非構(gòu)造的存在性證明，解決了困擾代數(shù)學(xué)家達(dá)二十年之久的“果爾丹問題”。當(dāng)時有人稱他的方法是“神學(xué)’而不予接受；目光敏銳的克萊茵一眼看出了這個青年的不同尋常的數(shù)學(xué)才華，熱情地稱道他的方法 “非常簡明，在邏輯上是不可抗拒的”?？巳R茵還親自把希爾伯特的論文帶到國際會議中去推薦。1895年，正好是高斯到達(dá)格廷根大學(xué)后的第一百年，希爾伯特被克萊茵請到了高斯的大學(xué)。后來的事實證明，此舉對格廷根有不可估量的意義。

在德國，大學(xué)教授數(shù)目是固定的。克萊茵為了廣攬人材，利用個人影響，使教育部同意在格廷根釆取增設(shè)數(shù)學(xué)教授席位的非常措施。于是，閔可夫斯基（H. Minkowski）調(diào)來了。他使格廷根繼高斯之后又取得了世界數(shù)論研究中心的地位。閔可夫斯基還為相對論的數(shù)學(xué)表述奠定了基礎(chǔ)，愛因斯坦說“閔可夫斯基第一個認(rèn)識到空間和時間坐標(biāo)形式的等價性，并使它們可以用來發(fā)展相對論。”1904年，也是經(jīng)克萊茵的努力，格廷根又設(shè)立了德國大學(xué)中第一個應(yīng)用數(shù)學(xué)教授席位，以譜線測量聞名的物理學(xué)家尤格（Carl Runge）應(yīng)邀就任，他后來在解析函數(shù)多項式逼近論方面著稱于世。

2、創(chuàng)立數(shù)學(xué)研究所。1922年前，德國大學(xué)中的數(shù)學(xué)和自然科學(xué)教授均隸屬于哲學(xué)系教授會，這不利于數(shù)學(xué)研究的發(fā)展。從1914年起，克萊茵就向教育部提出申請，要求籌建專門的數(shù)學(xué)研究所，并獲得批準(zhǔn)。由于第一次世界大戰(zhàn)的影響，這項計劃直到1929年才最終完成。

3、創(chuàng)立格廷根應(yīng)用數(shù)學(xué)和技術(shù)促進協(xié)會。該協(xié)會由科學(xué)家和經(jīng)濟界領(lǐng)導(dǎo)人（包括經(jīng)濟學(xué)家和工業(yè)家）聯(lián)合組成，這是科學(xué)史上第一個把科學(xué)界同經(jīng)濟界聯(lián)系起來的組織。普魯士教育部主管人阿爾道夫、斯密特·奧托是協(xié)會的支持者。在協(xié)會協(xié)助下，格廷根大學(xué)成立了一系列科學(xué)技術(shù)研究所，如航空和流體力學(xué)研究所，應(yīng)用電學(xué)研究所，地球物理研究所等，它們成了后來美國在大學(xué)周圍建立科學(xué)技術(shù)復(fù)合體的楷模。

4、組織科學(xué)教育改革和普及數(shù)學(xué)知識。克萊茵親自參與制定改進和擴大德國中學(xué)科學(xué)教育的計劃；提倡第一流數(shù)學(xué)家向非數(shù)學(xué)專家作通俗講演;組織編纂三十巻的數(shù)學(xué)辭典。以提高全社會的科學(xué)與數(shù)學(xué)水平。

克萊茵的工作促成了格廷根的學(xué)術(shù)繁榮，但他也存在某些弱點。學(xué)術(shù)上，他的綜合能力有余，分析能力不足；他善于居高臨下發(fā)現(xiàn)新大陸，但缺少深入開發(fā)的耐心。作風(fēng)上，他往往使人感到過于威嚴(yán)而難于無拘束地交往，特別到晚年，學(xué)生們甚至把他比作“遠(yuǎn)在云端的神”。因此，如果沒有希爾伯特的工作，克萊茵將格廷根建成歐洲數(shù)學(xué)研究中心的理想，也許不會那樣成功。

（二）希爾伯特的貢獻(xiàn)

希爾伯特具有與克萊茵不同的風(fēng)格。希爾伯特典型的研究方式是直接攻克數(shù)學(xué)中的具體問題，從中尋找?guī)毡樾缘姆椒?、開辟新的研究領(lǐng)域。為了理解他對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響和他給格廷根帶來的科學(xué)魅力，我們需要簡單列舉他在數(shù)學(xué)方面所做的工作。

圖2 希爾伯特

1、徹底解決代數(shù)不變量問題。（1888-1893）希爾伯特采用直接的、非算法的方法，證明了不變量系有限整基的存在定理（即果爾丹問題）。這一革命性方法“預(yù)示并孕育 了二十世紀(jì)那門叫抽象代數(shù)的學(xué)科。”正是在希爾伯特的影響下，愛米·諾德（A. E. Noether， 1882-1935）二十年代在格廷根組織起強大的抽象代數(shù)學(xué)派。

2、代數(shù)數(shù)域論。（1894-1899）這方面的代表作是1897年向德國數(shù)學(xué)會提交的《數(shù)論報告》。希爾伯特用新的統(tǒng)一的觀點，總結(jié)了以往代數(shù)數(shù)論的全部知識，并抓住互反律這個中心問題，從特殊上升到一般，為同調(diào)代數(shù)和類域論奠定了基礎(chǔ)。類域論后經(jīng)漢塞爾、高木貞治等青年數(shù)學(xué)家推進而成一門完美的學(xué)科。

3、幾何基礎(chǔ)。（1899-1903）希爾伯特精確地提出了公理系統(tǒng)的無矛盾性、獨立性和完備性問題，發(fā)展了現(xiàn)代公理化方法。公理化方法作為一種強有力的研究手段在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中被廣泛釆用，對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響。

4、狄里克萊原理和變分法。1940年，希爾伯特用對角線法證明了狄里克萊原理，解決了它的適用范圍問題。而在此之前，該原理因魏斯特拉斯的批判而被數(shù)學(xué)家閑置不用。希爾伯特的工作豐富了變分法的經(jīng)典理論，對變分法的發(fā)展作出了重大貢獻(xiàn)。

5、積分方程論和無窮維空間理論。（1904—1912）希爾伯特發(fā)展了弗雷德霍姆的積分方程論，在這一理論與二次型主軸化的代數(shù)理論之間確立了它們的相似性，并綜合運用分析、幾何和代數(shù)方法，發(fā)展了特征函數(shù)和特征值理論。正是在這里，希爾伯特開辟了把函數(shù)空間按連續(xù)函數(shù)的正交基坐標(biāo)化的途徑，并提出具有平方收斂和的數(shù)列空間的概念，即著名的希爾伯特空間。希爾伯特還發(fā)現(xiàn)并巧妙地處理了算子的“譜”理論。上述工作經(jīng)費希爾、呂茲、馮·諾伊曼（J. V. Neumann 1903—1957）和斯通等人發(fā)展成為現(xiàn)代泛函分析的系統(tǒng)的線性空間方法。

同一時期，希爾伯特還證明了數(shù)論中的華林猜想。

6、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。（1918年后）這方面的研究是他早期關(guān)于幾何基礎(chǔ)工作的自然發(fā)展，其主要思想被概括為所謂的“形式主義計劃”。按照這一計劃，數(shù)學(xué)理論被表現(xiàn)為僅由符號、公式和公理組成的無矛盾形式系統(tǒng)，希爾伯特提出“證明論”（metamathematics，或稱“元數(shù)學(xué)”）作為證明形式系統(tǒng)無矛盾性的途徑。1931年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾（Kurt GSdel）證明希爾伯特這條路是行不通的。但正如哥德爾本人所指出的，希爾伯特關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的計劃仍不失其重要性，并將繼續(xù)引起人們高度的興趣。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，后來超出了希爾伯特的方案，并發(fā)展成內(nèi)容豐富的一個專業(yè)。

由于希爾伯特的業(yè)績，他作為德國數(shù)學(xué)界的領(lǐng)頭人是當(dāng)之無愧的，另一方面，他的個人素質(zhì)和學(xué)術(shù)作風(fēng)，也象磁石一樣吸引著青年數(shù)學(xué)家。首先，他不特別看重學(xué)生的天賦，而強調(diào)李希登堡的名言“天才就是勤奮”，他本人就是證明。他的講課體現(xiàn)了重視基礎(chǔ)知識和技巧的特點。其次，同克萊茵不同，他十分平易近人，跟學(xué)生、助手和同事之間有相當(dāng)融洽的關(guān)系。尤其難得的是他憎惡一切政治的、種族的和傳統(tǒng)的偏見，堅持以學(xué)術(shù)標(biāo)準(zhǔn)衡量科研成果。在第一次世界大戰(zhàn)初，他冒著極大的風(fēng)險，拒絕在德國政府為帝國主義戰(zhàn)爭辯護的“宣言”上簽字；戰(zhàn)爭期間，他又勇敢地發(fā)表悼詞，悼念交戰(zhàn)國法國的數(shù)學(xué)家達(dá)布的逝世;他曾力排眾議，為愛米·諾德女士爭取當(dāng)教師的權(quán)利，而不顧當(dāng)時格廷根沒有女性擔(dān)任講師的先例；他對希特勒的排猶運動也表示了極大的憤慨，如此等等，都使他作為一位主張正義的科學(xué)家而受到普遍的尊敬。

在克萊茵和希爾伯特的影響和努力下，本世紀(jì)初的三十年間，格廷根終于成為名符其實的數(shù)學(xué)研究和教育的國際中心。在涌向格廷根的優(yōu)秀青年中，有赫爾曼·魏依爾 （Hermann Weyl）、艾哈德·史密特（Erhard Schmidt）、卡拉泰渥篤利（Constantin CaratMo- dory）、庫朗（Richard Courant）、策墨羅（Ernst Zermelo）、高木貞治、麥克思·玻恩（Max Born）、馮·勞厄（Max von Laue），等等，他們后來都成了第一流的數(shù)學(xué)家或物理學(xué)家。格廷根對美國數(shù)學(xué)影響尤深，據(jù)統(tǒng)計，1862至1934年間獲外國學(xué)位的美國數(shù)學(xué)家114人中，有34人是在格廷根獲博士學(xué)位的；后來有五位擔(dān)任美國數(shù)學(xué)會的會長，他們是克萊茵的學(xué)生。“格廷根數(shù)學(xué)俱樂部”經(jīng)常舉行學(xué)術(shù)交流活動，凡國內(nèi)外作出最新重要成就的數(shù)學(xué)家（甚至包括物理學(xué)家），都被邀請來作學(xué)術(shù)報告。對于從事數(shù)學(xué)研究的人們來說，格廷根當(dāng)時確是一個值得向往的地方。

圖3 1911年的格廷根圈子