VMD概念及原理

變分模態(tài)分解由Konstantin Dragomiretskiy于2014年提出的一種新的時頻分析的方法，能夠?qū)⒍喾至啃盘栆淮涡苑纸獬啥鄠€單分量調(diào)幅調(diào)頻信號[1]。

具體原理是假設(shè)任何的信號都是由一系列具有特定中心頻率、有限帶寬的子信號組成（即IMF）。由于每個模態(tài)都是具有不同中心頻率的有限帶寬，因此 VMD 算法的實質(zhì)是采用交替方向乘子法對各模態(tài)不斷更新其中心頻率和帶寬，自適應(yīng)地分解信號頻帶，最終得到各個模態(tài)以及相應(yīng)的中心頻率[2]。

VMD 的分解過程就是變分問題的求解過程，其算法主要包括變分問題的構(gòu)造和變分問題的求解。

• 本征模態(tài)分量

VMD算法重新定義了約束條件更為嚴(yán)格的有限帶寬的本征模態(tài)函數(shù)，該內(nèi)涵模態(tài)分量被定義為調(diào)幅調(diào)頻的分量模態(tài)函數(shù)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中為信號的包絡(luò)幅值，為瞬時相位。

• 變分問題構(gòu)造

變分問題的約束有兩點：①要求每個模態(tài)分量中心頻率的帶寬之和最小；②所有的模態(tài)分量之和等于原始信號。

上式為變分模態(tài)分解受約束的變分模型。為了使VMD分解得到各個模態(tài)之間的帶寬最小并且之和等于原始信號，因此對每個模態(tài)函數(shù)，通過希爾伯特(Hilbert)變換求單邊頻譜，然后與預(yù)估中心頻率相乘，將各個模態(tài)的單邊頻譜移動到估算的中心頻率上，最后，通過梯度的平方范數(shù)，計算每個模態(tài)信號的帶寬。式中，為模態(tài)函數(shù)集，為中心頻率集，為函數(shù)對時間t求的偏導(dǎo)，為脈沖函數(shù)。

• 變分問題求解

引入 Lagrange 算子和二次懲罰因子α，將不等式約束變換為等式約束，相應(yīng)的增廣Lagrange表達(dá)式如下式所示。

其中，α降低了高斯噪聲的影響，保證了約束問題的嚴(yán)格性。

VMD實現(xiàn)步驟

VMD分解的具體步驟流程如下：

（1）初始化；

（2）設(shè)置迭代次數(shù)b=b+1；

（3）滿足時，更新每個模態(tài)的頻譜：

更新中心頻率：

（4）更新拉格朗日乘子λ：

其中，ε為噪聲容限參數(shù)，對于含有強噪聲的信號，可設(shè)ε=0；

（5）重復(fù)步驟(2)-(4)，直到滿足終止條件：

其中，σ為判別精度且σ>0。

圖1 VMD算法流程圖

VMD顯著特點

（1）可以指定想要得到的模態(tài)數(shù)；

（2）通過VMD方法分解出來的IMF都具有獨立的中心頻率，并且在頻域上表現(xiàn)出稀疏性的特征，具備稀疏研究的特質(zhì)；

（3）在對IMF求解過程中，通過鏡像延拓的方式避免了類似EMD分解中出現(xiàn)的端點效應(yīng)；

（4）有效避免模態(tài)混疊（K值選取合適的情況下）。

• 重要參數(shù)

1. 模態(tài)數(shù)K：若設(shè)定的K小于待分解信號中有用成分的個數(shù)（欠分解），會造成分解不充分，導(dǎo)致模態(tài)混疊；若設(shè)定的K值大于待分解信號中有用成分的個數(shù)（過分解），就導(dǎo)致產(chǎn)生一些沒有用的虛假分量。因此，K值的確定對于VMD就非常重要。常用的確定K的方法有：觀察法（通過對中心頻率的比對從而確定K值）、峭度最大原理[3]、能量差值原則[4]等或者結(jié)合一些尋優(yōu)算法對K值（也可以同時對α）尋優(yōu)。

2. 懲罰系數(shù)α：VMD分解的過程中，預(yù)設(shè)的K值決定著IMF分量的個數(shù)，懲罰系數(shù)α決定著IMF分量的帶寬。懲罰系數(shù)越小，各IMF分量的帶寬越大，過大的帶寬會使得某些分量包含其他分量信號；α值越大，各IMF分量的帶寬越小，過小的帶寬是使得被分解的信號中某些信號丟失。該系數(shù)常見取值范圍為1000~3000。

3. 收斂容差tol：是優(yōu)化的停止準(zhǔn)則之一，即在連續(xù)兩次迭代中，當(dāng)向IMF收斂的絕對平均平方改進(jìn)小于tol時，優(yōu)化停止。通?？梢匀?e-6~5e-6。

總結(jié)