EMD
經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，簡(jiǎn)稱EMD))方法被認(rèn)為是2000年來(lái)以傅立葉變換為基礎(chǔ)的線性和穩(wěn)態(tài)頻譜分析的一個(gè)重大突破，該方法是依據(jù)數(shù)據(jù)自身的時(shí)間尺度特征來(lái)進(jìn)行信號(hào)分解，無(wú)須預(yù)先設(shè)定任何基函數(shù)。這一點(diǎn)與建立在先驗(yàn)性的諧波基函數(shù)和小波基函數(shù)上的傅里葉分解與小波分解方法具有本質(zhì)性的差別。正是由于這樣的特點(diǎn)，EMD 方法在理論上可以應(yīng)用于任何類型的信號(hào)的分解， 因而在處理非平穩(wěn)及非線性數(shù)據(jù)上，具有非常明顯的優(yōu)勢(shì),適合于分析非線性、非平穩(wěn)信號(hào)序列，具有很高的信噪比。所以，EMD方法一經(jīng)提出就在不同的工程領(lǐng)域得到了迅速有效的應(yīng)用，例如用在海洋、大氣、天體觀測(cè)資料與地震記錄分析、機(jī)械故障診斷、密頻動(dòng)力系統(tǒng)的阻尼識(shí)別以及大型土木工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方面。
該方法的關(guān)鍵是經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?，它能使?fù)雜信號(hào)分解為有限個(gè)本征模函數(shù)（Intrinsic Mode Function，簡(jiǎn)稱IMF），所分解出來(lái)的各IMF分量包含了原信號(hào)的不同時(shí)間尺度的局部特征信號(hào)。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法能使非平穩(wěn)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，然后進(jìn)行希爾伯特變換獲得時(shí)頻譜圖，得到有物理意義的頻率。與短時(shí)傅立葉變換、小波分解等方法相比，這種方法是直觀的、直接的、后驗(yàn)的和自適應(yīng)的，因?yàn)榛瘮?shù)是由數(shù)據(jù)本身所分解得到。由于分解是基于信號(hào)序列時(shí)間尺度的局部特性，因此具有自適應(yīng)性。
2基本原理
對(duì)數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行EMD分解就是為了獲得本征模函數(shù)，因此，在介紹EMD分析方法的具體過(guò)程之前，有必要先介紹EMD分解過(guò)程中所涉及的基本概念的定義：本征模函數(shù)，這是掌握EMD方法的基礎(chǔ)。
本征模函數(shù)
在物理上，如果瞬時(shí)頻率有意義，那么函數(shù)必須是對(duì)稱的，局部均值為零，并且具有相同的過(guò)零點(diǎn)和極值點(diǎn)數(shù)目。在此基礎(chǔ)上，NordneE.Huang等人提出了本征模函數(shù)（Intrinsic Mode Function，簡(jiǎn)稱IMF）的概念。本征模函數(shù)任意一點(diǎn)的瞬時(shí)頻率都是有意義的。Huang等人認(rèn)為任何信號(hào)都是由若干本征莫函數(shù)組成，任何時(shí)候，一個(gè)信號(hào)都可以包含若干個(gè)本征模函數(shù)，如果本征模函數(shù)之間相互重疊，便形成復(fù)合信號(hào)。EMD分解的目的就是為了獲取本征模函數(shù)，然后再對(duì)各本征模函數(shù)進(jìn)行希爾伯特變換，得到希爾伯特譜。
Huang認(rèn)為，一個(gè)本征模函數(shù)必須滿足以下兩個(gè)條件：
⑴l函數(shù)在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)，局部極值點(diǎn)和過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目必須相等，或最多相差一個(gè)；
⑵在任意時(shí)刻點(diǎn)，局部最大值的包絡(luò)（上包絡(luò)線）和局部最小值的包絡(luò)（下包絡(luò)線） 平均必須為零。
第一個(gè)條件是很明顯的，它與傳統(tǒng)的平穩(wěn)高斯信號(hào)的窄帶要求類似。對(duì)于第二個(gè)條件，是一個(gè)新的概念，它把經(jīng)典的全局性要求修改為局部性要求，使瞬時(shí)頻率不再受不對(duì)稱波形所形成的不必要的波動(dòng)所影響。實(shí)際上，這個(gè)條件應(yīng)為“數(shù)據(jù)的局部均值是零”。但是對(duì)于非平穩(wěn)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，計(jì)算局部均值涉及到“局部時(shí)間尺度”的概念，而這是很難定義的。因此，在第二個(gè)條件中使用了局部極大值包絡(luò)和局部極小值包絡(luò)的平均為零來(lái)代替，使信號(hào)的波形局部對(duì)稱。Huang等人研究表明，在一般情況下，使用這種代替，瞬時(shí)頻率還是符合所研究系統(tǒng)的物理意義。本征模函數(shù)表征了數(shù)據(jù)的內(nèi)在的振動(dòng)模式。由本征模函數(shù)的定義可知，由過(guò)零點(diǎn)所定義的本征模函數(shù)的每一個(gè)振動(dòng)周期，只有一個(gè)振動(dòng)模式，沒有其他復(fù)雜的奇波；一個(gè)本征模函數(shù)沒有約束為是一個(gè)窄帶信號(hào)，并且可以是頻率和幅值的調(diào)制，還可以是非穩(wěn)態(tài)的；單由頻率或單由幅值調(diào)制的信號(hào)也可成為本征模函數(shù)。
EMD方法的分解過(guò)程
由于大多數(shù)所有要分析的數(shù)據(jù)都不是本征模函數(shù)，在任意時(shí)間點(diǎn)上，數(shù)據(jù)可能包含多個(gè)波動(dòng)模式，這就是簡(jiǎn)單的希爾伯特變換不能完全表征一般數(shù)據(jù)的頻率特性的原因。于是需要對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解來(lái)獲得本征模函數(shù)。
EMD分解方法是基于以下假設(shè)條件：⑴數(shù)據(jù)至少有兩個(gè)極值，一個(gè)最大值和一個(gè)最小值；⑵數(shù)據(jù)的局部時(shí)域特性是由極值點(diǎn)間的時(shí)間尺度唯一確定；⑶如果數(shù)據(jù)沒有極值點(diǎn)但有拐點(diǎn)，則可以通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)微分一次或多次求得極值，然后再通過(guò)積分來(lái)獲得分解結(jié)果。這種方法的本質(zhì)是通過(guò)數(shù)據(jù)的特征時(shí)間尺度來(lái)獲得本征波動(dòng)模式，然后分解數(shù)據(jù)。這種分解過(guò)程可以形象地稱之為“篩選（sifting）”過(guò)程。
分解過(guò)程是：找出原數(shù)據(jù)序列X(t）所有的極大值點(diǎn)并用三次樣條插值函數(shù)擬合形成原數(shù)據(jù)的上包絡(luò)線；同樣，找出所有的極小值點(diǎn)，并將所有的極小值點(diǎn)通過(guò)三次樣條插值函數(shù)擬合形成數(shù)據(jù)的下包絡(luò)線，上包絡(luò)線和下包絡(luò)線的均值記作ml，將原數(shù)據(jù)序列X(t）減去該平均包絡(luò)ml，得到一個(gè)新的數(shù)據(jù)序列h，：
X(t)-ml=hl
由原數(shù)據(jù)減去包絡(luò)平均后的新數(shù)據(jù)，若還存在負(fù)的局部極大值和正的局部極小值，說(shuō)明這還不是一個(gè)本征模函數(shù)，需要繼續(xù)進(jìn)行篩選。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解
近來(lái)，一種被稱為EMD的新的非線性方法被黃等人提出，這種方法能夠自適應(yīng)的把非平穩(wěn)信號(hào)分解成一系列零均值的AMFM信號(hào)(調(diào)頻調(diào)幅) 的總和。盡管這種方法經(jīng)常有著顯著的效果，但是這個(gè)方法在算法方面的定義是困難的，因此這種方法沒有作為一種分析方法得到承認(rèn)，一般一種分析方法是需要有理論分析和性能評(píng)估。因此本文的目的是用實(shí)驗(yàn)的方式使得該算法更容易理解，并且提出了基于原算法的各種各樣的改進(jìn)的算法。設(shè)置實(shí)驗(yàn)性能評(píng)估的許多初始條件是為了獲取一種有效的分解并且使得該算法更容易理解。
1． EMD基礎(chǔ)
EMD的出發(fā)點(diǎn)是把信號(hào)內(nèi)的震蕩看作是局部的。實(shí)際上，如果我們要看評(píng)估信號(hào)x(t)的2個(gè)相鄰極值點(diǎn)之間的變化（2個(gè)極小值，分別在t-和t+處），我們需要定義一個(gè)（局部）高頻成分{d(t),t-<=t<=t+}(局部細(xì)節(jié)),這個(gè)高頻成分與震蕩相對(duì)應(yīng)，震蕩在2個(gè)極小值之間并且通過(guò)了極大值（肯定出現(xiàn)在2極小值之間）。為了完整這個(gè)圖形，我們還需要定義一個(gè)（局部）低頻成分m(t)（局部趨勢(shì)），這樣x(t)=m(t)+d(t),(t-<=t<=t+)。對(duì)于整個(gè)信號(hào)的所有震動(dòng)成分，如果我們能夠找到合適的方法進(jìn)行此類分解，這個(gè)過(guò)程可以應(yīng)用于所有的局部趨勢(shì)的殘余成分，因此一個(gè)信號(hào)的構(gòu)成成分能夠通過(guò)迭代的方式被抽離出來(lái)。
對(duì)于一個(gè)給定的信號(hào)x(t),進(jìn)行有效的EMD分解步驟如下：
1） 找出想x(t)的所有極值點(diǎn)
2） 用插值法對(duì)極小值點(diǎn)形成下包絡(luò)emint(t)，對(duì)極大值形成上包絡(luò)emax(t)
3） 計(jì)算均值m(t)=(emint(t)+emax(t))/2
4） 抽離細(xì)節(jié)d(t)=x(t)-m(t)
5） 對(duì)殘余的m(t)重復(fù)上訴步驟
在實(shí)際中，上述過(guò)程需要通過(guò)一個(gè)篩選過(guò)程進(jìn)行重定義，篩選過(guò)程的第一個(gè)迭代步驟是對(duì)細(xì)節(jié)信號(hào)d(t)重復(fù)從1-4步，直到d(t)的均值是0，或者滿足某種停止準(zhǔn)則才停止迭代。
一旦滿足停止準(zhǔn)則，此時(shí)的細(xì)節(jié)信號(hào)d(t)就被稱為IMF，d(t)對(duì)應(yīng)殘量信號(hào)用第5步計(jì)算。通過(guò)以上過(guò)程，極值點(diǎn)的數(shù)量伴隨著殘量信號(hào)的產(chǎn)生而越來(lái)越少，整個(gè)分解過(guò)程會(huì)產(chǎn)生有限個(gè)模函數(shù)（IMF）。
模函數(shù)和殘量信號(hào)可以進(jìn)行譜分析，但是這個(gè)譜分析不能從狹隘的角度來(lái)看。首先,需要強(qiáng)調(diào)一下，即使是諧振蕩，應(yīng)用上述方法產(chǎn)生的高頻和低頻也只是局部的，沒辦法產(chǎn)生一個(gè)預(yù)設(shè)的頻帶過(guò)濾（例如小波變換）進(jìn)行辨識(shí)。選擇的模函數(shù)對(duì)應(yīng)了一個(gè)自適應(yīng)（依賴于信號(hào)自身的）的時(shí)變?yōu)V波器。一個(gè)這方面的例子：一個(gè)信號(hào)由3個(gè)部分組成（這3個(gè)部分是時(shí)間頻率上都明顯疊加的信號(hào)），用上述方法成功的分解了。分解如圖1所示。這個(gè)例子的程序是emd_fmsin2.m
另外一個(gè)例子（emd_sawtooth.m）強(qiáng)調(diào)了EMD潛在的非諧振性質(zhì)如圖2所示。在這些例子中，線性的非線性的震蕩都能被有效的識(shí)別和分離。因而，任何諧振分析（傅里葉，小波，…）可能結(jié)束在同類文章中，更少的緊湊和更少的實(shí)際意義的分解。
2． 算法的改進(jìn)
正如第二部分所定義的，EMD算法依賴于一系列的選項(xiàng)，這些選項(xiàng)需要用戶控制，并且需要專業(yè)的知識(shí)。在此我們的目的找出更準(zhǔn)確的選項(xiàng)，并且給予原來(lái)的算法進(jìn)行改進(jìn)。
3.1采樣率，插值方法和邊緣效應(yīng)
EMD的基礎(chǔ)操作是估計(jì)出上包絡(luò)和下包絡(luò)作為極值點(diǎn)之間的插值曲線。選擇的插值法的性能是非常重要的參數(shù)。我們的實(shí)驗(yàn)是要確定三次樣條插值法作為首選。其他的插值法（線性的或者多項(xiàng)式的）會(huì)增加篩選的迭代次數(shù)，并且會(huì)產(chǎn)生過(guò)分解信號(hào)，這些過(guò)分解信號(hào)散布在臨近的模函數(shù)內(nèi)。
其次，自從這個(gè)算法運(yùn)用到實(shí)際的離散時(shí)間信號(hào)中，需要注意的是極值點(diǎn)必須能夠正確的找出，其必要條件是要求大量的過(guò)采樣（關(guān)于這點(diǎn)將會(huì)在第4段進(jìn)行進(jìn)一步的研究）
最后，邊界狀態(tài)也要進(jìn)行考慮，因?yàn)闃O小的的誤差會(huì)擴(kuò)散到有限的測(cè)量數(shù)據(jù)長(zhǎng)度內(nèi)。作為這方面的考量，通過(guò)鏡像沿拓加入極值點(diǎn)到邊界附近能夠得到較好的結(jié)果。
3.2篩選的停止準(zhǔn)則
當(dāng)篩選過(guò)程結(jié)束時(shí)，抽取的模函數(shù)會(huì)是滿意的。在這方面有2個(gè)必備的條件：第一個(gè)是極值點(diǎn)數(shù)和過(guò)零點(diǎn)數(shù)最多相差1個(gè)，第二個(gè)是上包絡(luò)和下包絡(luò)的均值必須近似等于零或者滿足某種準(zhǔn)則。
均值的幅度有多小需要通過(guò)計(jì)算與對(duì)應(yīng)的模函數(shù)的幅值，但是用一個(gè)過(guò)低的閾值來(lái)終止迭代過(guò)程會(huì)導(dǎo)致如前面提到的問(wèn)題（過(guò)迭代產(chǎn)生過(guò)分解）。作為一個(gè)改進(jìn)的準(zhǔn)則，我們目前所認(rèn)識(shí)的，我們提出（在emd.m）一個(gè)新的準(zhǔn)備建立在2個(gè)閾值上的。目的是保證整體的小的波動(dòng)在整體大的過(guò)程中有意義。這個(gè)總量引進(jìn)了模幅值a(t)=(emax(t)-emin(t))/2，和估計(jì)函數(shù)o(t)=|m(t)/a(t)|，為了讓篩選迭代停止，當(dāng)滿足o(t)< θ1對(duì)于規(guī)定的部分（1-α）在整個(gè)段，當(dāng)o(t)< θ2對(duì)于剩余的部分。一旦設(shè)定α≈0.05，θ1≈0.05，θ2≈0.5（這些在emd.m是默認(rèn)值）
3.3局部EMD
經(jīng)典EMD應(yīng)用中，篩選迭代適合于整個(gè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，并且追求只要有局部區(qū)域存在（出現(xiàn)在包絡(luò)均值處），就不認(rèn)為足夠小。然而，正如文中已經(jīng)提到的，因?yàn)楹玫木植勘平鼤?huì)有對(duì)其他部分信號(hào)進(jìn)行數(shù)據(jù)污染的缺點(diǎn)，所以整個(gè)信號(hào)會(huì)出現(xiàn)過(guò)迭代。這種情況特別容易發(fā)生在在一樣的幅值和在過(guò)分解通過(guò)擴(kuò)散到其他臨近的模函數(shù)。原始算法的分層的和非線性的并不能保證序列信號(hào)的EMD會(huì)是每個(gè)EMD的序列。
因此，本文提出的第一個(gè)改進(jìn)算法是基于原始的EMD基礎(chǔ)上的。這個(gè)新的算法稱其為局部EMD(local_emd.m)，這個(gè)新算法在賽選過(guò)程中引入了一個(gè)中間步驟：對(duì)有異常的較大的數(shù)據(jù)的局部區(qū)域進(jìn)行識(shí)別和隔離，這個(gè)附加的步驟只適合處理這些異常區(qū)域。通過(guò)引進(jìn)一個(gè)重量函數(shù)w(t)來(lái)實(shí)現(xiàn)上述功能。當(dāng)滿足o(t)> θ1，的時(shí)間范圍時(shí)，w(t)=1,否則w(t)緩慢的衰減至0。第二部分所描述的原EMD算法的第4步就改成了d(t)=x(t)-w(t)m(t)。
3.4在線EMD
第二個(gè)改進(jìn)算法是基于這樣一種事實(shí)提出的：篩選過(guò)程依賴于對(duì)極值點(diǎn)的插值，因此對(duì)給定的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)點(diǎn)只需要使用有限個(gè)極值點(diǎn)（三次樣條插值5個(gè)極小值和5個(gè)極大值）。因此模函數(shù)的抽取不需要了解整個(gè)信號(hào)（或者前一次殘余信號(hào)）。這就為在線運(yùn)行，并且將之應(yīng)用于數(shù)據(jù)流（emd_online.m）的改進(jìn)的EMD算法鋪平了道路。
模函數(shù)的抽取的必要條件同樣適用于篩選過(guò)程，這樣做能夠防止出現(xiàn)可能的不連續(xù)的點(diǎn)，這樣就需要了解整個(gè)信號(hào)了，篩選運(yùn)行次數(shù)是與先驗(yàn)知識(shí)相符的，并且少量的迭代次數(shù)（少于10次，特別是是4次）能夠產(chǎn)生足量的有意義IMF。為了更有效應(yīng)用在線EMD算法，我們建議對(duì)局部算法上再加一個(gè)平滑窗。新的有效數(shù)據(jù)進(jìn)入窗的前邊沿，當(dāng)滿足停止準(zhǔn)則時(shí)，整塊數(shù)據(jù)進(jìn)入后邊沿。基于這樣一種遠(yuǎn)離，從而IMF和其相應(yīng)的殘量成分可以計(jì)算出來(lái)。因此整個(gè)算法能夠應(yīng)用于殘量成分，繼而從剩余的模函數(shù)中抽離有效成分。
這個(gè)新的算法怎樣工作例子的可以通過(guò)運(yùn)行ex_omline.m這個(gè)程序觀看到，這個(gè)例子中的解析信號(hào)是由圖1中的3個(gè)周期信號(hào)組成的。運(yùn)用在線EMD算法，對(duì)2000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)組成的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)塊進(jìn)行分解，最終分解得到16000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。
除了將在線算法的基本使用在數(shù)據(jù)流的分解中，在計(jì)算負(fù)擔(dān)上(處理較長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，計(jì)算負(fù)擔(dān)會(huì)變的更重)，有人指出它較標(biāo)準(zhǔn)算法有更好的優(yōu)越性。

3． 性能基礎(chǔ)
自從EMD本質(zhì)上定義為一種算法，但是并沒有作為一種分析方法所承認(rèn)，它的性能估計(jì)是困難的，并且需要大量的模擬實(shí)驗(yàn)。我們將從兩方面報(bào)告他的原理，一方面是從先前將EMD應(yīng)用到實(shí)數(shù)信號(hào)所表現(xiàn)出的非凡性，另一方面是從對(duì)分解的理解。
4.1分量和采樣率
當(dāng)我們分析一個(gè)單分量信號(hào)，EMD作為分辨單元理想狀態(tài)下只分離出1個(gè)模函數(shù)（這個(gè)模函數(shù)正好識(shí)別這個(gè)單分量）且不包含殘余分量。然而，即時(shí)出去邊緣效應(yīng)的影響，也很難得到這樣理想化的分解結(jié)果，這是因?yàn)闊o(wú)法避免采樣率對(duì)EMD分解的影響。如果一個(gè)周期內(nèi)采樣的點(diǎn)很少，那么在這樣一個(gè)采樣率下，采樣得到的極值點(diǎn)也就不準(zhǔn)確了。
圖3（emd_sam;ling.m）通過(guò)固定頻率f的方程產(chǎn)生了一個(gè)信號(hào)進(jìn)行EMD分解驗(yàn)證以上由于采樣率造成的錯(cuò)誤。代表了從頻率為f的分量抽離出來(lái)的第一個(gè)EMD模函數(shù)。結(jié)果是，即時(shí)是這樣一個(gè)分量估計(jì)，也完全取決于頻率f：當(dāng)分量的周期是采樣率的倍數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤發(fā)生在極小值時(shí)，我們會(huì)觀察到。
4.2分量的分離
在由2個(gè)分量構(gòu)成的信號(hào)中，其中,理想狀態(tài)下EMD抽離出2個(gè)模函數(shù)，盡管采用了適當(dāng)?shù)牟蓸勇剩堑谝粋€(gè)模函數(shù)要求采樣率為,采樣率為時(shí)對(duì)模函數(shù)1的影響比或函數(shù)2要大。發(fā)生在抽離過(guò)程中的錯(cuò)誤可以通過(guò)準(zhǔn)則（1）的擴(kuò)展重量得到量化。對(duì)應(yīng)于模函數(shù)1，對(duì)應(yīng)于模函數(shù)2（會(huì)出現(xiàn)較少的錯(cuò)誤點(diǎn)）（emd_separation.m）。
上面的結(jié)果用圖4描述的，結(jié)果表明對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的信號(hào)，對(duì)整個(gè)區(qū)域進(jìn)行分量分離是困難的，特別是當(dāng)>1/4時(shí)。觀察模型依賴于賦值比，但是在第一個(gè)逼近出都顯示了同樣一個(gè)特性：許多錯(cuò)誤都包含在三角區(qū)域內(nèi)，這些三角區(qū)域被2條通過(guò)這個(gè)區(qū)域的直線所限制。換句話說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的頻率，對(duì)于每一個(gè)幅值比必然存在一個(gè)適當(dāng)?shù)氖沟茫ǎ┎荒鼙环蛛x。這個(gè)發(fā)現(xiàn)認(rèn)為EMD可以作為是一組常數(shù)Q的濾波器組來(lái)理解，這個(gè)結(jié)論與文獻(xiàn)[1,4,7]提到的包含寬帶噪聲的隨機(jī)過(guò)程的結(jié)論是一致的
4． 小結(jié)
EMD是新的有前景的非平穩(wěn)非線性處理方法，但是仍需要更好的解釋。這篇文章討論了算法現(xiàn)存的問(wèn)題，目的是使該算法能夠得到更有效的應(yīng)用，并且提出了許多具有初始的性能估計(jì)。
這篇文章在使用EMD方面提供了一個(gè)新的視角和做了一些改進(jìn)的算法，但這些工作都是經(jīng)驗(yàn)性的，需要對(duì)該算法做進(jìn)一步的理論研究。