20世紀(jì)是數(shù)學(xué)飛速發(fā)展的世紀(jì)。特別是在20世紀(jì)的后50年里，數(shù)學(xué)知識出現(xiàn)了前所未有的爆炸性增長，大量的重要問題得到了解決或取得了突破性的進(jìn)展。如今的數(shù)學(xué)真正成為了人類知識范疇中最深奧難懂和最博大精深的一個領(lǐng)域，其抽象與艱深的程度登峰造極，這種狀況對于學(xué)習(xí)和運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的人們來說造成了巨大的困難。

國內(nèi)外數(shù)學(xué)界歷來十分重視數(shù)學(xué)百科全書的寫作，這是因為通過全面總結(jié)和展示現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本知識和主要成就，可以幫助人們更好地學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)，并推動數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。與其他的學(xué)科完全不同，數(shù)學(xué)作為一門在本質(zhì)上只研究抽象模式(Pattern)的理論科學(xué)，其發(fā)展更多地是依靠之前歷史上所獲得數(shù)學(xué)知識的積累和發(fā)展，所以百科全書這類著作對于數(shù)學(xué)的重要性要遠(yuǎn)超過其他學(xué)科。

早在一百多年前的1898年，人們就開始編寫全面總結(jié)19世紀(jì)數(shù)學(xué)成就的德文版數(shù)學(xué)百科全書(Enzyklop?die der mathematischen Wissenschaften)，歷時二十多年才告完成。

而到了上世紀(jì)的1977年至1986年間，前蘇聯(lián)的幾百位數(shù)學(xué)家共同編撰了一部篇幅巨大的《數(shù)學(xué)百科全書》(Математическая энциклопедия)，它比較全面地總結(jié)了20世紀(jì)70年代以前的現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本成就，它的出版頗受好評。不久，荷蘭的萊德爾出版公司出版了由180位西方數(shù)學(xué)家參加翻譯的英文版《數(shù)學(xué)百科全書》(Encyclopaedia of mathematics)。中國數(shù)學(xué)會在上世紀(jì)90年代組織翻譯了這部長達(dá)5卷的《數(shù)學(xué)百科全書》(科學(xué)出版社，1994-2000年)。此外，國內(nèi)還陸續(xù)出版過根據(jù)日本《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第2版)翻譯而成的《數(shù)學(xué)百科辭典》(科學(xué)出版社，1984年)、《中國大百科全書數(shù)學(xué)卷》(中國大百科全書出版社，1988年)、《數(shù)學(xué)大辭典》(科學(xué)出版社，2010年)等大型百科全書類的著作，它們的出版有力地促進(jìn)了我國數(shù)學(xué)事業(yè)的進(jìn)步和發(fā)展。

然而以今天的21世紀(jì)眼光看，盡管所有這些數(shù)學(xué)百科全書著作都有各自的優(yōu)點(diǎn)，但是卻有一個共同的不足之處，那就是它們基本上只反映了20世紀(jì)70年代以前的數(shù)學(xué)發(fā)展?fàn)顩r，所以還遠(yuǎn)不能滿足人們在當(dāng)下全面了解和學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的迫切需求。陳省身先生曾經(jīng)在中文版《數(shù)學(xué)百科全書》的序言中說：

“

“數(shù)學(xué)是一種'活’的學(xué)問：它的內(nèi)容，不斷在變化，在進(jìn)展。我們現(xiàn)在大學(xué)研究院數(shù)學(xué)活動的內(nèi)容，大部分在五十年前是不存在的，其他一部分則是昔賢偉大思想的精華，將歷久彌新”，“面對著這座巨大的建筑，令人惶惑。百科全書原不為有涯之身所能控制的。數(shù)學(xué)工作者的使命在對某些選定的項目，增加了解和探索?！?/p>”

隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支快速地交叉發(fā)展和日趨統(tǒng)一化，出版一部比較緊湊的、并且能夠基本上覆蓋全部20世紀(jì)數(shù)學(xué)的包羅萬象的百科全書，變得比以往更為迫切了。令人感到十分高興和振奮的是：現(xiàn)在居然已經(jīng)有了這樣的一部數(shù)學(xué)百科全書，它就是由日本數(shù)學(xué)會在2007年重新編撰出版的《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)，這部高質(zhì)量的著作可以說是全世界范圍內(nèi)第一部能夠比較完整地反映在整個20世紀(jì)里所取得的現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本成就的百科全書。

圖1：《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)

《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第1版)最早出版于1954年，共有591頁。它試圖按照布爾巴基的精神來全面總結(jié)20世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)發(fā)展的主要成就，即“自覺運(yùn)用所謂抽象化方法，在不同分支中如果相同理論成立，那么就可由相同的公理對它們加以演繹，從集合、對應(yīng)等一般概念出發(fā)，可以把全部數(shù)學(xué)在拓?fù)浜痛鷶?shù)的基礎(chǔ)上重新進(jìn)行組織?！睆亩鴮ⅰ叭繑?shù)學(xué)盡可能透徹地納入一個體系”，作為一部辭典，它“試圖對數(shù)學(xué)及其各應(yīng)用領(lǐng)域的重要術(shù)語都分別給出明確的定義，在介紹歷史發(fā)展背景的基礎(chǔ)上，敘述各分支研究的現(xiàn)狀，并指出未來的展望”（見《巖波數(shù)學(xué)辭典》第1版序言）。

布爾巴基的高觀點(diǎn)決定了這部數(shù)學(xué)百科全書從一開始就必定采用不同于其他同類書籍的寫法?！稁r波數(shù)學(xué)辭典》(第1版)最突出的優(yōu)點(diǎn)是首創(chuàng)了中等詞條的做法，并且在以后的各版中都延續(xù)了這一重要的做法，這為該書在以后的巨大成功奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。所謂“中等詞條”，是相對于大的領(lǐng)域詞條和小詞條來說的，例如在寫大的領(lǐng)域 “拓?fù)鋵W(xué)”時，《巖波數(shù)學(xué)辭典》只寫它所包含的“拓?fù)鋵W(xué)(歷史概述)”、“基本群”、“覆蓋空間”、“映射度”和“復(fù)形”等二十幾個中等詞條。每個中等詞條(可以大致看成代表了一個分支)實(shí)際上都是一篇有相當(dāng)長度的簡明扼要的綜述性文章，里面又各自包含了該分支至少十幾條或者幾十條小詞條（每個小詞條對應(yīng)了一個小分支）。這樣，就不用再另外單獨(dú)地寫小詞條了。中等詞條的作用是將大量分散的小詞條整合成了一個整體，從而可以讓人們看到各個小詞條之間內(nèi)在的有機(jī)聯(lián)系。

《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第1版)的主編彌永昌吉這樣解釋為什么要使用中等詞條：“為了很快查到各術(shù)語的定義，小詞條是比較方便的，但是數(shù)學(xué)已成為系統(tǒng)的學(xué)科，把相互關(guān)系密切的概念納入一個（中等）詞條下進(jìn)行說明，可以在和整體的聯(lián)系中正確掌握各個概念，同時能省去冗長的說明，也是有利的?！倍c此相反，一般的數(shù)學(xué)百科全書基本上采用的都是小詞條的寫法，這樣就容易導(dǎo)致出現(xiàn)內(nèi)容龐雜、主次不分和理論的整體條理不清晰等缺點(diǎn)，這種寫法對于像現(xiàn)代數(shù)學(xué)這樣的高度抽象和復(fù)雜的理論學(xué)科來說，很可能會讓人不得要領(lǐng)，甚至感覺像是陷入了定義和定理的汪洋大海而迷失了方向。

1968年，日本數(shù)學(xué)會根據(jù)當(dāng)時數(shù)學(xué)新的發(fā)展?fàn)顩r，繼續(xù)出版了《巖波數(shù)學(xué)辭典》的第2版，該版增加了不少像“范疇與函子”、“K理論”、“Abel簇”、“層論”和“同調(diào)代數(shù)”這樣的新中等詞條，同時還大幅度修訂了許多原有的中等詞條，使第2版的篇幅增加到了1140頁，幾乎是第1版的兩倍。在5年以后的1972年，美國麻省理工學(xué)院出版社出版了《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第2版)的英文第1版，書名為Encyclopedic Dictionary of Mathematics，它立即獲得了歐美數(shù)學(xué)界的高度關(guān)注，例如布爾巴基學(xué)派的著名數(shù)學(xué)家J.Dieudonné就在第一時間專門寫了書評，登載在《美國數(shù)學(xué)月刊》1979年第3期上。

在1985年，日本數(shù)學(xué)會緊接著又推出了《巖波數(shù)學(xué)辭典》的第3版。在第3版的前言中，主編伊藤清說，在第2版出版后的17年里，數(shù)學(xué)內(nèi)部進(jìn)一步的交叉融合發(fā)展與數(shù)學(xué)對外部科學(xué)世界的大量應(yīng)用，使得有必要出版第3版，以及在此基礎(chǔ)上的英文第2版(它在1987年出版)。該版中等詞條的數(shù)量從原來的436條增加到450條，其中原有的許多中等詞條得到了大幅度的改寫與合并，總頁數(shù)也增加了50%。

接下來，時光又過去了20年。在進(jìn)入到了21世紀(jì)的2007年，人們終于等來了《巖波數(shù)學(xué)辭典》的第4版。在這重要的20年里，現(xiàn)代數(shù)學(xué)更富有戲劇性地向前發(fā)展，達(dá)到了輝煌的頂峰，費(fèi)馬大定理和龐加萊猜想等一系列重大問題最終獲得了圓滿的解決，并且在幾乎所有的數(shù)學(xué)分支學(xué)科里都發(fā)生了更顯著的變化，不僅各分支之間的聯(lián)系不斷加深，而且數(shù)學(xué)對自然科學(xué)和社會科學(xué)的應(yīng)用也進(jìn)一步擴(kuò)大。日本數(shù)學(xué)會認(rèn)為：《巖波數(shù)學(xué)辭典》的第3版已經(jīng)完全不合時宜了，這20年的數(shù)學(xué)發(fā)展都必須反映在《巖波數(shù)學(xué)辭典》的第4版中，從中可以看到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各分支比以往更加融合，現(xiàn)代數(shù)學(xué)統(tǒng)一化的趨勢應(yīng)該更加明顯。與前面的第2版和第3版相比，第4版的變動最大，所增加的新的中等詞條幾乎占到了總數(shù)的三分之一，達(dá)到了515個中等詞條，并且對原有的大部分中等詞條也都進(jìn)行了大規(guī)模的改寫與擴(kuò)充。所有的參考文獻(xiàn)也作了全新的調(diào)整，盡量提供最新的以及更容易找得到的基本文獻(xiàn)。第4版的總頁數(shù)比第3版增加了20%，達(dá)到了1976頁。

與第2版相比，《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)可以說幾乎就是一部全新的著作。特別是在數(shù)論、群論與表示論、代數(shù)幾何、微分幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、復(fù)分析、泛函分析等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，涌現(xiàn)了大量的新分支學(xué)科。其中尤其以數(shù)論、代數(shù)幾何、微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域表現(xiàn)得最為明顯，它們在《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)中所新增加的相關(guān)內(nèi)容的篇幅是原來篇幅的兩倍以上，顯示了這些分支學(xué)科在20世紀(jì)最后30年里所取得的巨大進(jìn)步。許多表現(xiàn)前沿分支的新中等詞條由于內(nèi)容極其豐富，所以寫得特別長，例如“自守形式”和“志村簇”等詞條就是這樣。此外為適應(yīng)應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算數(shù)學(xué)眾多分支的迅速增加，《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)還專門增加了“應(yīng)用分析”、“離散數(shù)學(xué)與組合論”和“信息科學(xué)中的數(shù)學(xué)”這三個領(lǐng)域。

除了大量吸收現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新成果外，《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)還特別注重提高各詞條文章的可讀性，它盡量采用最現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)記號和術(shù)語來清楚簡明地給出數(shù)學(xué)概念和定理，用平易的語言盡量深入淺出地解釋其所包含的意義和內(nèi)涵，其中不乏真知灼見。此外為了讓讀者更好地了解高深復(fù)雜的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的來龍去脈，《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)還對幾乎所有的各主要領(lǐng)域或分支的歷史概述詞條都作了一定程度的擴(kuò)充和介紹。

下面按照數(shù)學(xué)領(lǐng)域的劃分，詳細(xì)列出了《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)中全部的中等詞條，并且對各個領(lǐng)域的發(fā)展歷史作了一點(diǎn)非常簡單的介紹。

一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯領(lǐng)域

數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(歷史概述)，形式體系的語義學(xué)，形式體系與證明，可計算的函數(shù)，模型論，穩(wěn)定性理論，非標(biāo)準(zhǔn)分析，順序極小(o-minimal)理論，公理集合論，力迫法，大基數(shù)，描述集合論，遞歸理論，判定問題，不可解度，可構(gòu)造序數(shù)，證明理論，G?del不完全性定理，算術(shù)的非標(biāo)準(zhǔn)模型，類型論與λ-計算，Herbrand定理與分解原理，非標(biāo)準(zhǔn)邏輯，悖論。

二、集合與點(diǎn)集拓?fù)漕I(lǐng)域

集合，關(guān)系，等價關(guān)系，函數(shù)，選擇公理，基數(shù)，結(jié)構(gòu)，排列與組合，數(shù)，實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，序，序數(shù)，格，Boole代數(shù)，拓?fù)淇臻g，度量空間，平面區(qū)域，收斂，連通，維數(shù)，一致空間，一致收斂，范疇與函子，歸納極限和射影極限，層論。

三、代數(shù)學(xué)領(lǐng)域

代數(shù)學(xué)(歷史概述)，矩陣與行列式、多項式與代數(shù)方程、域與伽羅瓦理論、線性空間、張量積與外積、群論、有限群、有限單群、結(jié)晶體群、典型群、拓?fù)淙?、緊群、李群、李代數(shù)、代數(shù)群、環(huán)論、代數(shù)、模論、群表示論、代數(shù)表示論、同調(diào)代數(shù)、Hopf代數(shù)、交換環(huán)與諾特環(huán)、范疇與函子、不變量理論、冪級數(shù)環(huán)、唯一分解整環(huán)、交換環(huán)的同調(diào)理論、優(yōu)秀（excellent）環(huán)、Hensel環(huán)與逼近定理、理想的胎緊閉包（tight closure）、二次型、Clifford代數(shù)、微分環(huán)、Witt向量、賦值論、阿代爾與伊代爾、Cayley代數(shù)、Jordan代數(shù)、格論、Boole代數(shù)、對稱空間、齊性空間上的群作用、不連續(xù)群、模表示、酉表示、無限維表示、群作用與不變量、D-模、量子群、無限維李代數(shù)。

抽象代數(shù)起源于19世紀(jì)伽羅瓦等數(shù)學(xué)家在群論方面的工作，在20世紀(jì)初數(shù)學(xué)公理化的思潮中，又出現(xiàn)了環(huán)與域的抽象理論。

線性代數(shù)的基本理論也產(chǎn)生于20世紀(jì)初，后來又進(jìn)一步發(fā)展成了關(guān)于環(huán)上的模的理論。與此同時，表示論也發(fā)展了起來，群表示論是其中最基本的內(nèi)容。簡單地來說，群表示論是把一個抽象的群與比較具體的矩陣聯(lián)系起來，使得群中的運(yùn)算對應(yīng)到矩陣的乘法（此時稱這種聯(lián)系為群在有限維線性空間上的表示），這樣就能夠?qū)⑷赫撝械膯栴}轉(zhuǎn)化為容易解決的線性代數(shù)問題。此外，群還可以表示在無限維線性空間上，這時就可以運(yùn)用分析學(xué)的方法來解決群論的問題。

從1930年代開始，隨著范德瓦爾登的兩卷名著《代數(shù)學(xué)》的發(fā)表，抽象代數(shù)得到了進(jìn)一步的發(fā)展，抽象代數(shù)方法被運(yùn)用到了數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域中，特別是數(shù)論領(lǐng)域和代數(shù)幾何學(xué)領(lǐng)域。

李群和李代數(shù)理論的研究在20世紀(jì)有了很大的發(fā)展，例如人們發(fā)現(xiàn)，李群的齊性空間的拓?fù)洳蛔兞坑蓪?yīng)的李代數(shù)的權(quán)、根和外爾房來決定。古典的調(diào)和分析與緊李群的表示論密切相關(guān)，由此形成了非交換調(diào)和分析的理論。從半單李群理論中，還發(fā)展出了代數(shù)群和謝瓦萊（Chevalley）群的理論。

在1950年代，由于受拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的影響，同調(diào)代數(shù)誕生了，由此促進(jìn)了同調(diào)方法在數(shù)學(xué)的其他分支學(xué)科中的運(yùn)用。例如在代數(shù)幾何中就用到了關(guān)于交換環(huán)的同調(diào)代數(shù)理論。

在20世紀(jì)的下半葉，對代數(shù)的結(jié)構(gòu)和代數(shù)表示論的研究取得了很大的進(jìn)步。

四、數(shù)論領(lǐng)域

數(shù)論(歷史概述)，初等數(shù)論，連分?jǐn)?shù)，數(shù)論函數(shù)，堆壘數(shù)論，素數(shù)的分布，數(shù)的幾何與數(shù)論中的逼近，超越數(shù)，丟番圖方程，二次域的數(shù)論，代數(shù)數(shù)域的數(shù)論，局部域，類域論，巖澤理論，代數(shù)K理論，算術(shù)幾何，費(fèi)馬大定理，數(shù)域上的代數(shù)群，自守形式，志村簇，Dirichlet級數(shù)，函數(shù)，準(zhǔn)齊性向量空間。

例如對屬于數(shù)論領(lǐng)域的“算術(shù)幾何”這個中等詞條，《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版) 又將算術(shù)幾何這個分支進(jìn)一步分成了“ 進(jìn)上同調(diào)”、“同余zeta函數(shù)和Weil猜想”、“Hasse-Weil 函數(shù)”、“BSD猜想”、“Hasse-Weil 函數(shù)的特殊值”、“主題（motive）”、“混合主題與主題上同調(diào)”、“局部域上的代數(shù)簇”、“ 進(jìn)上同調(diào)”、“代數(shù)的基本群”和“Arakelov幾何”這11個小分支來分別加以論述。對每個小分支，《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)都詳盡地給出了相關(guān)理論的思想和歷史背景、最基本概念的含義及其性質(zhì)、最主要的定理結(jié)論和研究進(jìn)展?fàn)顩r、以及最新的參考文獻(xiàn)等。

在20世紀(jì)初，希爾伯特的《數(shù)論報告》深入研究了代數(shù)數(shù)域的伽羅瓦擴(kuò)張與素理想分解之間的關(guān)系，并由此開啟了代數(shù)數(shù)論進(jìn)一步發(fā)展的大門，后來導(dǎo)致出現(xiàn)了1920年代的類域論、1930年代的局部域與局部整體原則、1940年代的有限域上函數(shù)域的算術(shù)和函數(shù)域上的黎曼猜想（即Weil定理）的證明等重要成果。

20世紀(jì)的下半葉數(shù)論領(lǐng)域所取得的最主要成就是：代數(shù)簇的算術(shù)理論、分圓域理論、朗蘭茲猜想、Weil猜想的證明、莫德爾（Mordell）猜想的證明、費(fèi)馬大定理的證明。由于數(shù)論領(lǐng)域中所使用的方法不斷翻新，因此涌現(xiàn)了數(shù)論領(lǐng)域中一系列新分支學(xué)科。數(shù)論領(lǐng)域成為了大量數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用場所，用以檢驗這些數(shù)學(xué)理論的有效性，例如算術(shù)幾何就是將代數(shù)幾何的方法運(yùn)用到數(shù)論里而產(chǎn)生的一個新分支學(xué)科，其中的Weil是通過運(yùn)用了格羅滕迪克的平展（étale）上同調(diào)理論而得到證明的。

五、代數(shù)幾何學(xué)領(lǐng)域

代數(shù)幾何(歷史概述)，代數(shù)曲線，代數(shù)曲面與復(fù)解析曲面，代數(shù)簇，層及其上同調(diào)理論，有理映射與奇點(diǎn)，除子與Abel簇，閉鏈與周環(huán)，代數(shù)空間與形式概形，極化簇，代數(shù)簇的拓?fù)渑c比較定理，代數(shù)向量叢，Hodge理論，Abel簇，有理簇與Fano簇，雙有理幾何，環(huán)面簇，相交理論，奇點(diǎn)理論，?？臻g問題。

19世紀(jì)代數(shù)幾何主要的研究對象是代數(shù)曲線。在20世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們轉(zhuǎn)向代數(shù)曲面和高維代數(shù)簇的研究。人們開始運(yùn)用抽象代數(shù)、整體微分幾何和拓?fù)鋵W(xué)的方法來精確地描述代數(shù)簇的各種幾何性質(zhì)，在1960年代，格羅滕迪克通過創(chuàng)立概形理論，為代數(shù)幾何建立了一個牢固的邏輯基礎(chǔ)，并且由此促進(jìn)了代數(shù)幾何的大發(fā)展。

另一方面在20世紀(jì)中，復(fù)數(shù)域上代數(shù)幾何的超越方法也有了重大的進(jìn)展，例如有Hodge的調(diào)和積分理論的應(yīng)用、小平邦彥等人的變形理論等成果。在20世紀(jì)的下半葉，?？臻g理論的研究取得了很大的成就，人們對代數(shù)簇的分類有了更多的了解。大量的代數(shù)幾何經(jīng)典問題得到了解決，并且在解決的過程中形成了不少代數(shù)幾何領(lǐng)域新的分支學(xué)科。

六、幾何學(xué)領(lǐng)域

幾何學(xué)(歷史概述)，歐氏幾何，歐氏空間，非歐幾何，射影幾何，仿射幾何，共形幾何，埃爾蘭根綱領(lǐng)，幾何基礎(chǔ)，幾何作圖問題，正多面體，圓周率，三角學(xué)，二次曲線與二次曲面，凸集，坐標(biāo)，向量分析，曲線，曲面，四色問題，組合幾何。

幾何學(xué)領(lǐng)域相對來說比較經(jīng)典，因此其中包含的新分支學(xué)科很少，在這里只列出了一個：組合幾何。

組合幾何（又稱為幾何組合學(xué)）是對歐氏幾何內(nèi)有限個幾何對象的配置分類、組合計數(shù)進(jìn)行研究所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)理論，它與計數(shù)幾何、圖論、離散幾何等分支學(xué)科都有些交叉。組合幾何也屬于組合數(shù)學(xué)的范疇。

七、微分幾何學(xué)領(lǐng)域

微分幾何(歷史概述)，流形，Riemann流形，聯(lián)絡(luò)，張量與旋量，整體Riemann幾何，齊性空間的微分幾何，G-結(jié)構(gòu)與等價問題，復(fù)流形，調(diào)和積分，曲線與曲面的微分幾何，子流形的微分幾何，極小子流形，幾何測度論，調(diào)和映射，Morse理論，仿射微分幾何，F(xiàn)insler空間，積分幾何，譜幾何，剛性與幾何群論，辛幾何與切觸幾何，?？臻g與偏微分方程，一些新的幾何分支介紹（如Twistor空間、Calabi-Yau流形等）。

在19世紀(jì)，微分幾何學(xué)主要還是研究流形的局部性質(zhì)，而到了20世紀(jì)，幾何學(xué)家們開始研究流形的整體（或大范圍）性質(zhì)。De Rham在1931年證明了流形的上同調(diào)不變量可以通過微分形式的計算來得到，接著霍奇證明了一個十分重要的定理：在緊黎曼流形上，每個上同調(diào)類中都有唯一的調(diào)和微分形式，這樣，人們就能夠用微分幾何和分析的手段來獲取流形的上同調(diào)不變量。

在1930年左右，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了一類重要的復(fù)流形，稱為凱勒（K?hler）流形，它具有和黎曼度量相類似的凱勒度量。在凱勒流形上，可以建立起關(guān)于調(diào)和積分的極其有效的Hodge理論。由于射影代數(shù)簇也屬于凱勒流形，因此人們研究代數(shù)幾何又多了一種微分幾何的方法。

在1940年代，聯(lián)系流形的局部與整體性質(zhì)的高斯-博內(nèi)定理被陳省身先生推廣到了高維，然后他由此發(fā)展了陳（省身）示性類的理論。陳類理論后來被用來表達(dá)高維的黎曼-羅赫定理，后者又進(jìn)一步發(fā)展成了阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理。

在20世紀(jì)的下半葉，微分幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)、微分方程、復(fù)分析、代數(shù)幾何和數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域進(jìn)一步加強(qiáng)了聯(lián)系，從而獲得了迅速的發(fā)展。

在講解整體微分幾何的起源時，《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)扼要地敘述了H. Hopf在1920年代開始研究黎曼空間的局部微分幾何結(jié)構(gòu)與整體拓?fù)湫再|(zhì)的聯(lián)系、微分流形概念的產(chǎn)生促進(jìn)了李群整體理論的誕生、de Rham和Hodge用微分形式來表示拓?fù)洳蛔兞俊?hler流形理論的產(chǎn)生、流形上高斯-博內(nèi)定理的證明和示性類的發(fā)現(xiàn)、Bochner用調(diào)和形式刻畫K?hler流形、C. Ehresman建立主叢上的聯(lián)絡(luò)理論，以及所有這一系列發(fā)展與Yang-Mills聯(lián)絡(luò)及4維流形等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論之間的關(guān)系等。通過這樣的簡單歷史介紹，就能夠使讀者大致明白整體微分幾何的宗旨就是建立起微分流形的局部微分性質(zhì)與整體拓?fù)湫再|(zhì)的緊密聯(lián)系。

八、拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域

拓?fù)鋵W(xué)(歷史概述)，基本群，覆蓋空間，映射度，復(fù)形，同調(diào)論，不動點(diǎn)定理，同倫論，纖維叢，障礙理論，示性類，拓?fù)銴理論，紐結(jié)理論，變換群，可微映射的奇點(diǎn)，葉狀結(jié)構(gòu)，動力系統(tǒng)，低維動力系統(tǒng)，雙曲動力系統(tǒng)，保守動力系統(tǒng)，動力系統(tǒng)中的分歧，流形的拓?fù)?，指?biāo)定理，3維流形，4維流形，幾何拓?fù)洹?/p>

早期不用抽象代數(shù)的拓?fù)鋵W(xué)也被稱為組合拓?fù)鋵W(xué)。在20世紀(jì)的上半葉，引入了同調(diào)群的基本概念，這標(biāo)志著代數(shù)拓?fù)涞恼Q生，然后數(shù)學(xué)家們建立了系統(tǒng)的同調(diào)論和同倫論。

微分流形的整體理論起源于從代數(shù)拓?fù)涞慕嵌?，對纖維叢與示性類的深入研究，而托姆（Thom）的協(xié)邊理論、米爾諾（Milnor）關(guān)于7維球面 上不同微分結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)，都導(dǎo)致了微分拓?fù)涞漠a(chǎn)生。

1960年代形成的拓?fù)銴理論是一種廣義的上同調(diào)理論，它充分運(yùn)用了向量叢的穩(wěn)定類。

從阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理出發(fā)，人們系統(tǒng)地發(fā)展了指標(biāo)定理理論，它在刻畫流形的拓?fù)湫再|(zhì)方面具有很重要的作用。

對3維流形和4維流形的研究也非常重要，這方面的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展。動力系統(tǒng)理論最早起源于常微分方程的定性理論，后來數(shù)學(xué)家們運(yùn)用了微分拓?fù)涞姆椒▉硌芯课⒎至餍紊系某Ｎ⒎窒到y(tǒng)，建立了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論，由此促進(jìn)了動力系統(tǒng)的發(fā)展。

紐結(jié)理論是拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域中很重要的一個分支學(xué)科，它與低維流形的拓?fù)湫再|(zhì)的研究密切相關(guān)。

九、分析學(xué)領(lǐng)域

分析學(xué)(歷史概述)，連續(xù)函數(shù)，不等式，凸分析，有界變差函數(shù)，微分學(xué)，算子演算，隱函數(shù)，初等函數(shù)，-函數(shù)、超可微函數(shù)和擬解析函數(shù)，積分學(xué)，線積分和面積分，測度論，積分理論，不變測度，長度和面積，分形，級數(shù)，漸近級數(shù)，多項式逼近，正交函數(shù)系，F(xiàn)ourier級數(shù)，F(xiàn)ourier變換，小波，調(diào)和分析與實(shí)分析，殆周期函數(shù)，Laplace變換，積分變換，位勢論，調(diào)和函數(shù)與上(下)調(diào)和函數(shù)，Dirichlet問題，容量，變分法，Plateau問題，等周問題。特殊函數(shù)，母函數(shù)，橢圓函數(shù)，Γ函數(shù)，超幾何函數(shù)，球函數(shù)，合流型函數(shù)，Bessel函數(shù)，橢球調(diào)和函數(shù)，Mathieu函數(shù)，q級數(shù)，多重對數(shù)函數(shù)，特殊正交多項式。

分析學(xué)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)理論也比較經(jīng)典，它們大多在19世紀(jì)和20世紀(jì)初就已經(jīng)形成，其中就包括了數(shù)學(xué)分析（高等微積分）、實(shí)變函數(shù)論、經(jīng)典的調(diào)和分析、變分法等理論。當(dāng)然在20世紀(jì)，分析學(xué)領(lǐng)域中的許多研究也有不少的進(jìn)展。

十、復(fù)分析領(lǐng)域

復(fù)分析(歷史概述)，全純函數(shù)，冪級數(shù)，全純函數(shù)族，全純函數(shù)最大值原理，解析函數(shù)邊界性質(zhì)，單葉函數(shù)，值分布理論，復(fù)逼近論，Riemann面，Riemann面上的分析，復(fù)動力系統(tǒng)，共形映射(即保角映射)，擬共形映射(即擬保角映射)，Teichmüller空間，Klein群，多變量解析函數(shù)，解析空間， 方程，全純映射，多重下調(diào)和函數(shù)，CR-流形，核函數(shù)，Siegel區(qū)域，周期積分。

復(fù)分析領(lǐng)域的主要研究對象是全純函數(shù)（或解析函數(shù)），這個領(lǐng)域可以分成一元的復(fù)變函數(shù)論與多元的多復(fù)變函數(shù)論這兩大部分。

數(shù)學(xué)家們在19世紀(jì)就已經(jīng)建立了復(fù)變函數(shù)論的初步理論，其中就包括了黎曼面（或黎曼曲面）理論和橢圓函數(shù)理論，這些理論對后世的影響很大。在20世紀(jì)，值分布理論、擬共形映射、Teichmüller空間等重要理論的研究取得了很大的進(jìn)展。

在20世紀(jì)初，人們開始研究多復(fù)變函數(shù)論。由于多復(fù)變函數(shù)非常復(fù)雜，所以就用到了微分幾何、代數(shù)幾何、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程等領(lǐng)域中的許多理論與方法。

十一、泛函分析領(lǐng)域

泛函分析(歷史概述)，Hilbert空間，Banach空間，有序線性空間，拓?fù)渚€性空間，函數(shù)空間，廣義函數(shù)與超函數(shù)，向量值積分，線性算子，緊算子與核型算子，插值空間，算子的譜分析，算子不等式，線性算子的攝動，算子半群和發(fā)展方程，Banach代數(shù)，-代數(shù)，函數(shù)代數(shù)，von Neumann代數(shù)，非線性泛函分析。

泛函分析的起源可以追溯到Volterra在1887年的重要工作，那時他就提出了算子這個重要概念，算子將函數(shù)變成函數(shù)。如果算子的值域是數(shù)域，那么算子就成為了泛函。Volterra與Fredholm在研究積分方程時，提煉出了泛函分析的基本思想，然后在此基礎(chǔ)上，希爾伯特研究了從希爾伯特空間上的連續(xù)算子，他的一個重要發(fā)現(xiàn)是連續(xù)譜。

在1929年，馮·諾伊曼（von Neumann）證明了一個十分重要的定理：希爾伯特空間中的閉線性算子T有實(shí)譜分解的充要條件是T是自共軛算子，這個結(jié)果為量子力學(xué)奠定了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

在1932年，數(shù)學(xué)家巴拿赫（Banach）引進(jìn)了比希爾伯特空間范圍更廣的巴拿赫空間的概念，他證明了一系列關(guān)于巴拿赫空間中閉線性算子的基本定理，其中包括開映射定理、閉圖象定理和一致有界定理等，這些定理以后又被布爾巴基學(xué)派推廣到了局部凸拓?fù)渚€性空間中。

巴拿赫代數(shù)在1936年被引進(jìn)，蓋爾范德（Gel’fand）在這方面的基礎(chǔ)工作，使得巴拿赫代數(shù)后來成為在研究局部緊群的線性表示理論時的重要工具。

同樣在1936年，索伯列夫（Sobolev）通過運(yùn)用微積分中的分部積分公式，給出了函數(shù)概念和導(dǎo)數(shù)概念的一種推廣，這個推廣在1945年被施瓦茲（L. Schwartz）進(jìn)一步發(fā)展成了廣義函數(shù)的理論。廣義函數(shù)是定義在函數(shù)空間上的連續(xù)線性泛函，它給出了物理學(xué)家狄拉克的 -函數(shù)的一個合理的解釋。

十二、微分方程領(lǐng)域

微分方程論，常微分方程的初值問題，常微分方程的邊值問題，線性常微分方程，線性常微分方程的局部理論，線性常微分方程的大范圍理論，非線性常微分方程的局部理論，非線性常微分方程的大范圍理論，Painlevé方程，非線性振動，非線性問題，穩(wěn)定性，積分不變量(即積分不變式)，差分方程，泛函微分方程，全微分方程，偏微分方程的解法，亞橢圓性與可解性，偏微分方程的初值問題，復(fù)數(shù)域中的偏微分方程，一階偏微分方程，Monge-Ampère方程，橢圓型偏微分方程，雙曲型偏微分方程，拋物型偏微分方程，混合型偏微分方程，偏微分方程理論中的不等式，Green函數(shù)與Green算子，積分方程，積分微分方程，特殊微分方程，微局部分析與擬微分算子。

20世紀(jì)的常微分方程理論的研究主要有三個方面：解析理論（例如用常微分方程來描寫自守函數(shù)），定性理論（后來發(fā)展成為動力系統(tǒng)理論）、各種常微分方程應(yīng)用的研究。

偏微分方程理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中具有很重要的作用，它是聯(lián)系一些數(shù)學(xué)分支學(xué)科和自然科學(xué)各個學(xué)科之間的一個橋梁。在20世紀(jì)30年代前，偏微分方程主要研究部分?jǐn)?shù)學(xué)物理方程經(jīng)典解的求法。從30年代起，各種泛函分析的方法被用于偏微分方程的研究，人們致力于尋求偏微分方程的廣義解。到了60年代，數(shù)學(xué)家們又將微分算子發(fā)展成了擬微分算子，后來進(jìn)一步發(fā)展成微局部分析方法。

在線性偏微分方程理論發(fā)展的同時，對各種非線性偏微分方程的研究也獲得了許多進(jìn)展，為此人們不斷發(fā)展出各種各樣的方法來解決大量復(fù)雜的非線性問題。

十三、計算數(shù)學(xué)領(lǐng)域

數(shù)值分析(歷史概述)，線性方程組的數(shù)值解法，非線性方程組的數(shù)值解法，特征值的數(shù)值計算法，數(shù)值積分法，常微分方程的數(shù)值解法，偏微分方程的數(shù)值解法，有限差分法，有限元方法，函數(shù)值計算法，自我校正(self-validating)方法。

計算數(shù)學(xué)也稱為數(shù)值分析。在20世紀(jì)40年代計算機(jī)出現(xiàn)后，科學(xué)技術(shù)對數(shù)值計算方法的需求大幅度增加，為此人們發(fā)展出了計算函數(shù)值、求積分值、求代數(shù)方程和線性方程組的解、求微分方程的數(shù)值解的實(shí)用方法，特別是可以用很有效的有限元方法來求偏微分方程的近似解。在各種算法的理論研究中，不僅要研究算法的穩(wěn)定性，以便能夠很好地控制不可避免的計算誤差，還要盡量提高算法的收斂速度。

十四、應(yīng)用分析領(lǐng)域

數(shù)學(xué)模型， 反應(yīng)擴(kuò)散方程，自由邊界問題，變分分析，流體力學(xué)方程，守恒定律，非線性波動方程與非線性色散方程，散射理論，反問題，黏性解。

最近幾十年來，微分方程領(lǐng)域與數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域交叉發(fā)展，迅速形成了一系列新的分支學(xué)科。應(yīng)用分析領(lǐng)域就是由這些新的分支學(xué)科組成的一個新領(lǐng)域。

十五、概率論領(lǐng)域

概率論，概率測度，隨機(jī)過程，極限定理，Markov過程，Markov鏈，Brown運(yùn)動，Lévy過程，鞅，擴(kuò)散過程，隨機(jī)微分方程，Malliavin隨機(jī)分析，測度值過程，Gauss過程，平穩(wěn)過程，遍歷理論，隨機(jī)控制與隨機(jī)濾波，統(tǒng)計物理中的概率方法。

在20世紀(jì)30年代，概率論被建立在了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)公理化基礎(chǔ)之上。人們用概率測度空間 來描寫隨機(jī)現(xiàn)象，其中的是所有可能結(jié)果的樣本空間， 是事件 -代數(shù)， 代表各個事件的概率。這樣，數(shù)學(xué)家們就可以運(yùn)用測度論來研究概率論。

在概率論的測度論基礎(chǔ)建立之后，概率論便獲得了快速的發(fā)展。例如對隨著時間而變化的隨機(jī)過程的研究就是這樣，這方面的研究包括了馬爾可夫（Markov）過程和馬爾可夫鏈、鞅、平穩(wěn)過程、高斯過程等內(nèi)容。就像過去用微分方程的解來定義新的函數(shù)一樣，人們也用隨機(jī)微分方程的解來定義新的隨機(jī)過程。

遍歷理論最早起源于統(tǒng)計力學(xué)，后來它發(fā)展成為一門與平穩(wěn)過程理論密切相關(guān)的重要分支學(xué)科。

十六、數(shù)理統(tǒng)計領(lǐng)域

數(shù)理統(tǒng)計學(xué)(歷史概述)，統(tǒng)計模型與統(tǒng)計推斷，統(tǒng)計量與樣本分布，統(tǒng)計估計，假設(shè)檢驗，多元分析，魯棒與非參數(shù)方法，試驗設(shè)計，抽樣方法，保險數(shù)學(xué)，時間序列分析，隨機(jī)過程的統(tǒng)計推斷，統(tǒng)計計算，信息幾何。

數(shù)理統(tǒng)計是和概率論一起發(fā)展起來的，數(shù)理統(tǒng)計的方法可以應(yīng)用在自然科學(xué)和社會科學(xué)的各種專門領(lǐng)域中。

在20世紀(jì)初，著名的“學(xué)生” 分布的發(fā)現(xiàn)開啟了對于小樣本統(tǒng)計推斷的研究，隨后費(fèi)希爾（Fisher）創(chuàng)立了關(guān)于假設(shè)檢驗、估計量、置信區(qū)間的基本理論。

從20世紀(jì)的中期開始，數(shù)理統(tǒng)計有了多方面的發(fā)展，其中就包括了多元統(tǒng)計分析、大樣本統(tǒng)計、貝葉斯統(tǒng)計、非參數(shù)統(tǒng)計、信息幾何等。

十七、離散數(shù)學(xué)與組合論領(lǐng)域

離散數(shù)學(xué)與組合論，圖論，計數(shù)組合學(xué)，擬陣，設(shè)計理論，離散幾何，極值集合論，代數(shù)組合學(xué)。

離散數(shù)學(xué)與組合論領(lǐng)域是一個專門研究離散結(jié)構(gòu)性質(zhì)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它的研究內(nèi)容十分廣泛，包括了排列、整數(shù)分拆、集合劃分、偏序集、圖論、擬陣、區(qū)組設(shè)計、編碼、凸多胞形、計數(shù)組合學(xué)、Ramsey（拉姆齊）理論、組合最優(yōu)化、幾何組合學(xué)等多方面內(nèi)容。

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，往往對應(yīng)著不少研究連續(xù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象的分支學(xué)科，都有相應(yīng)的離散（或組合）數(shù)學(xué)對象的分支學(xué)科，例如有許多像“離散代數(shù)拓?fù)洹焙汀敖M合交換代數(shù)”這樣的交叉分支學(xué)科。

十八、信息科學(xué)中的數(shù)學(xué)

信息科學(xué)中的數(shù)學(xué)(歷史概述)，形式語言與自動機(jī)，計算復(fù)雜性理論，信息論，編碼理論，密碼學(xué)，計算機(jī)代數(shù)，計算幾何，隨機(jī)數(shù)與Monte Carlo方法。

信息科學(xué)主要研究的范圍是：在自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個學(xué)科領(lǐng)域中，不同信息的取得、度量、存儲、傳遞、分析、處理、利用和控制的普遍規(guī)律。信息科學(xué)中的數(shù)學(xué)理論主要包括了編碼理論、信息傳輸理論、信息處理理論、計算機(jī)代數(shù)、密碼理論等。

十九、最優(yōu)化理論領(lǐng)域

數(shù)學(xué)規(guī)劃，線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，半定規(guī)劃與整體最優(yōu)化，網(wǎng)絡(luò)流，離散凸分析，整數(shù)規(guī)劃，組合最優(yōu)化，動態(tài)規(guī)劃，隨機(jī)規(guī)劃，對策論，互補(bǔ)性問題，控制論，運(yùn)籌學(xué)，證券投資(portfolio)理論，Markov決策過程。

最優(yōu)化理論的目標(biāo)是：怎樣在運(yùn)用和籌劃各種有限的資源時，達(dá)到最大的效益。對于各種最優(yōu)化的理論，一般都要研究最優(yōu)解的條件、具體算法的設(shè)計、算法的收斂性與收斂速度、計算復(fù)雜性分析等。

二十、數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域

單位制，量綱分析，變分原理，力學(xué)，天體力學(xué)，宇宙物理學(xué)，三體問題，流體力學(xué)，等離子物理學(xué)，湍流，復(fù)雜系統(tǒng)，相變，振動與波動，幾何光學(xué)，電磁學(xué)，網(wǎng)絡(luò)與回路，熱力學(xué)，統(tǒng)計力學(xué)，相對論，統(tǒng)一場論，量子力學(xué)，Lorentz群，Racah代數(shù)，二次量子化，場論，S矩陣，F(xiàn)eynman積分，基本粒子論，重正化群，可解模型，孤立子，共形場論，物理學(xué)中的逼近方法。

數(shù)學(xué)物理主要研究以物理問題為目標(biāo)的數(shù)學(xué)理論與方法。在20世紀(jì)初期，數(shù)學(xué)物理方程是數(shù)學(xué)物理的主要研究內(nèi)容，這些數(shù)學(xué)物理方程來自于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、熱學(xué)和電磁場理論。從那時以后，在等離子體物理、固體物理、非線性光學(xué)、空間技術(shù)和核技術(shù)等領(lǐng)域又提出了不少新的偏微分方程，其中就涉及到了孤立子波、間斷解、分歧解和反問題等方面的研究。

20世紀(jì)蓬勃發(fā)展的物理學(xué)也對數(shù)學(xué)理論的需求越來越大。例如相對論要用到整體微分幾何，量子力學(xué)與量子場論則建立在了泛函分析的基礎(chǔ)之上，正交群和洛倫茲（Lorentz）群的各種表示理論，對討論具有時空對稱性的許多物理現(xiàn)象有很重要的作用，對基本粒子的內(nèi)在對稱性的研究更導(dǎo)致了楊-米爾斯理論（其中用到了纖維叢上的聯(lián)絡(luò)理論）的誕生。此外，由于物理現(xiàn)象具有某種隨機(jī)性，所以在像統(tǒng)計力學(xué)這樣的物理學(xué)科中，還需要用到隨機(jī)過程的理論。

二十一、數(shù)學(xué)史領(lǐng)域

埃及與巴比倫數(shù)學(xué)、希臘與羅馬數(shù)學(xué)，中世紀(jì)西歐數(shù)學(xué)，阿拉伯的數(shù)學(xué)，印度的數(shù)學(xué)，中國的數(shù)學(xué)，日本的數(shù)學(xué)，文藝復(fù)興時期的數(shù)學(xué)，十七世紀(jì)的數(shù)學(xué)，十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)，十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)，Abel，Artin，Bernoulli，Cantor，Cartan，Cauchy，Dedekind，Descartes，Dirichlet，Einstein，Euler，F(xiàn)ermat，F(xiàn)ourier，F(xiàn)rege，Galois，Gauss，G?del，Hilbert，Jacobi，Klein，Kronecker，Lagrange，Laplace，Lebesgue，Leibniz，Lie，Newton，Pascal，Poincaré，Ramanujan，Riemann，Siegel，Turing，Viète，von Neumann，Weierstrass，Weyl，Weil，關(guān)孝和，高木貞治，岡潔。

關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史方面，值得注意的是《巖波數(shù)學(xué)辭典》(第4版)還增加了對20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生過重大影響的數(shù)學(xué)家Weil、Siegel以及Emil Artin等人的介紹。