計(jì)算共形幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)交叉的新興學(xué)科，一方面將共形幾何的基本概念和定理轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)算法，應(yīng)用于工程和醫(yī)療領(lǐng)域；另一方面，建立離散的共形幾何理論，通過(guò)無(wú)限細(xì)分、求取極限來(lái)推導(dǎo)連續(xù)幾何的相應(yīng)理論，從而推動(dòng)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展。

在純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域，共形幾何是很多領(lǐng)域交叉的區(qū)域，例如復(fù)變函數(shù)理論（Complex Analysis），代數(shù)拓?fù)洌ˋlgebraic Topology），代數(shù)幾何（Algebraic Geometry）特別是代數(shù)曲線（Algebraic Curves）理論，黎曼面（Riemann Surface）理論，微分幾何（Differential Geometry），偏微分方程（Partial Differential Geometry）等等；在計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域，計(jì)算共形幾何和計(jì)算復(fù)變函數(shù)理論（Computational Complex Analysis），有限元方法（Finite Element Method）和優(yōu)化理論（Optimization）都有很深的淵源；在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，計(jì)算共形幾何和經(jīng)典的計(jì)算幾何（Computational Geometry），數(shù)字幾何處理（Digital Geometry Processing），幾何建模（Geometric Modeling）等學(xué)科領(lǐng)域具有密切聯(lián)系。

經(jīng)典的有限元法主要計(jì)算歐氏空間中的偏微分方程，計(jì)算共形幾何需要在黎曼流形上求解偏微分方程；有限元法經(jīng)常計(jì)算未知函數(shù)，計(jì)算共形幾何需要未知的張量（tensor），例如微分形式和黎曼度量。經(jīng)典的計(jì)算復(fù)變函數(shù)致力于計(jì)算平面區(qū)域之間的保角變換（conformal mapping），強(qiáng)烈依賴(lài)于復(fù)變函數(shù)方法；計(jì)算共形幾何則極大地?cái)U(kuò)充了計(jì)算范圍，致力于計(jì)算曲面間的保角變換，因此依賴(lài)微分幾何，黎曼面和Teichmuller空間理論等。經(jīng)典的計(jì)算幾何基本上是應(yīng)用歐氏幾何，計(jì)算共形幾何則處理任意帶度量的曲面，因此植根于曲面微分幾何和黎曼幾何。

根據(jù)Klein的Erlangen綱領(lǐng)，不同的幾何研究不同變換量。在工程科學(xué)中常用的幾何包括拓?fù)?、黎曼幾何以及曲面的微分幾何。拓?fù)鋵W(xué)的范疇過(guò)于寬泛，對(duì)于幾何形狀和變換的描述過(guò)于粗糙而簡(jiǎn)略；黎曼幾何只限于等距變換，雖然對(duì)于幾何和變換的描述精密而詳盡，但是研究范圍過(guò)于狹窄，無(wú)法涵蓋一般的變換。例如等距變換保持高斯曲率，黎曼幾何方法無(wú)法將彎曲的曲面映到平面上來(lái)。共形幾何恰好介于拓?fù)浜屠杪鼛缀沃g，共形結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)豐富多彩，同時(shí)共形變換遠(yuǎn)比等距變換復(fù)雜而靈活。因此，共形幾何理論非常適用于處理復(fù)雜的幾何計(jì)算問(wèn)題。

計(jì)算共形幾何方法比較適用于如下的幾何計(jì)算問(wèn)題：

1. 曲面映射：給定兩張拓?fù)涞葍r(jià)的曲面，如何構(gòu)造曲面間具有特定性質(zhì)的映射。例如使得曲面彈性形變能量最小的映射，即所謂調(diào)和映照；使得曲面角度畸變最小的映射，即共形映射或者極值擬共形映射；使得曲面的面積畸變最小的映射，即所謂的最優(yōu)傳輸映射等等。在計(jì)算機(jī)視覺(jué)應(yīng)用中，曲面映射可以直接用于形狀配準(zhǔn)。

   
   

2. 形狀分類(lèi)：我們考慮所有拓?fù)渫叩膸Ю杪攘康那鏄?gòu)成的形狀空間，在這個(gè)空間中設(shè)計(jì)黎曼度量，計(jì)算每個(gè)具體曲面的坐標(biāo)，從而定量衡量形狀的異同，從而實(shí)現(xiàn)形狀的分類(lèi)。在計(jì)算機(jī)視覺(jué)中，幾何分類(lèi)經(jīng)常被使用，例如人臉表情分類(lèi)等等。

   
   

3. 形狀分析：從曲面提取幾何特征來(lái)進(jìn)行分析判斷。例如在醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域，通過(guò)對(duì)大腦皮層幾何的分析進(jìn)行某些神經(jīng)疾病的診斷，通過(guò)對(duì)直腸表面進(jìn)行幾何分析，來(lái)判斷腫瘤等應(yīng)用。

   
   

共形幾何的研究途徑非常豐富，既可以用代數(shù)幾何的方法進(jìn)行，也可以用微分幾何的方法。例如，在代數(shù)曲線理論中，每一個(gè)黎曼面上都可以被表示成一條代數(shù)曲線，曲面上的全純微分形式具有顯式表達(dá)；每一個(gè)黎曼面上的所有半純函數(shù)構(gòu)成一個(gè)域（Field），兩個(gè)黎曼面共形等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)相應(yīng)的域同構(gòu)。因此，共形幾何問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化為數(shù)值代數(shù)問(wèn)題，特別是理想的生成元表示問(wèn)題。在微分幾何中，曲面的共形不變量往往由某種特殊的幾何偏微分方程來(lái)描述，例如曲面的單值化度量由所謂的Yamabe方程來(lái)控制。我們這門(mén)課程主要是采用微分幾何和偏微分方程的途徑。主要有如下原因：

1. 因?yàn)槲覀冊(cè)O(shè)計(jì)的算法為工程實(shí)踐服務(wù)，處理的都是三維歐氏中的嵌入曲面，具有黎曼獨(dú)立。因此相對(duì)于抽象的代數(shù)幾何方法，微分幾何的計(jì)算方案更加直觀，可以直接應(yīng)用于工程和醫(yī)療領(lǐng)域。

2. 代數(shù)幾何方法往往給出絕對(duì)精確的解，算法復(fù)雜度非常高。例如有關(guān)理想生成元表示的最為常見(jiàn)算法-Groebner基方法，其計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)超指數(shù)級(jí)。幾何偏微分方程方法可以在可控制的范圍內(nèi)近似，很多時(shí)候歸結(jié)為凸優(yōu)化問(wèn)題，因此計(jì)算復(fù)雜度較低，穩(wěn)定性、魯棒性較好，切實(shí)可行。

3. 關(guān)于幾何偏微分方程方法，已經(jīng)有大量的現(xiàn)成數(shù)值計(jì)算、優(yōu)化、可視化工具，容易開(kāi)發(fā)和推廣新型的算法。

但是，代數(shù)曲線方法具有自身巨大的優(yōu)勢(shì)，例如判定全局對(duì)稱(chēng)性、計(jì)算全純二次微分等問(wèn)題，代數(shù)方法更為簡(jiǎn)潔優(yōu)雅。我們相信代數(shù)幾何方法具有巨大的潛力，這一方向非常值得進(jìn)一步探索。

在課程中，我們主要強(qiáng)調(diào)三種幾何偏微分方程方法：

1. 調(diào)和映照（Harmonic Map）：我們用非線性熱流的方法計(jì)算調(diào)和映照，這給出了虧格為0封閉曲面的單值化映射，也用于計(jì)算曲面的全純二次微分。

2. 霍奇分解（Hodge Decomposition）：我們用霍奇分解方法計(jì)算曲面的調(diào)和微分形式，進(jìn)而計(jì)算曲面的全純微分，由此可以計(jì)算具有復(fù)雜拓?fù)淝娴墓残尾蛔兞俊?/p>

3. 里奇流（Ricci Flow）：我們建立完備的離散曲面里奇流理論，證明了存在性、唯一性和離散解到連續(xù)解的收斂性。這種方法可以用于計(jì)算任意拓?fù)淝鎲沃祷ɡ怼?br>

這些方法足以應(yīng)對(duì)帶有各種拓?fù)淝娴墓残螏缀斡?jì)算問(wèn)題，理論上完備嚴(yán)密，工程中實(shí)用高效。

計(jì)算共形幾何的基本理論計(jì)算問(wèn)題如下：

給頂一個(gè)帶有黎曼度量的曲面，計(jì)算由黎曼度量所決定的共形結(jié)構(gòu)，例如計(jì)算局部的等溫坐標(biāo)；計(jì)算曲面的共形不變量，例如共形模，周期矩陣，F(xiàn)enchel-Nilson Teichmuller坐標(biāo)；固定曲面的共形結(jié)構(gòu)，尋找最為簡(jiǎn)單的黎曼度量，例如單值化度量，簡(jiǎn)化拓?fù)鋯?wèn)題；給定目標(biāo)高斯曲率，計(jì)算一個(gè)黎曼度量實(shí)現(xiàn)目標(biāo)度量；給定角度畸變，通過(guò)求解Beltrami方程來(lái)計(jì)算相應(yīng)的擬共形變換；給定曲面映射的同倫類(lèi)，計(jì)算角度畸變最小的極值擬共形映射，如Teichmuller映射等。

雖然這些問(wèn)題的提法比較理論化，但是它們都有非常堅(jiān)實(shí)的應(yīng)用背景。

計(jì)算共形幾何的理論和算法在工程和醫(yī)療領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，在非常多的工程和醫(yī)療領(lǐng)域都有其直接應(yīng)用。

圖1. 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)：曲面全局參數(shù)化。

圖1顯式了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域中的全局參數(shù)化問(wèn)題。在計(jì)算機(jī)游戲、CG影視技術(shù)中，曲面由多面體網(wǎng)格表示，其顏色紋理由二維平面圖像表示。將紋理圖像貼附到曲面上面，這需要求解曲面到平面的微分同胚，即所謂的曲面參數(shù)化。我們希望這種曲面參數(shù)化盡量保持局部形狀，減小角度畸變，因此共形映射提供了自然的解決方案。同時(shí)我們希望盡量保持曲面映射的整體性，曲面整體的單值化定理給出了理論基礎(chǔ)。

圖2. 計(jì)算機(jī)視覺(jué)：動(dòng)態(tài)曲面跟蹤。

圖2顯示了在計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的曲面配準(zhǔn)，動(dòng)態(tài)形狀追蹤問(wèn)題。給定兩張曲面，建立曲面間的微分同胚，這被稱(chēng)為是曲面配準(zhǔn)問(wèn)題（shape registration）；給定一系列動(dòng)態(tài)曲面，建立曲面間的微分同胚。例如圖2中顯示的一系列三維動(dòng)態(tài)人臉曲面，帶有不同的表情變化。我們希望算法自動(dòng)建立人臉曲面的微分同胚，得到皮膚表面的逐點(diǎn)對(duì)應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)曲面追蹤，表情提取和分析。人臉曲面的幾何變換是非等距的，卻是擬共形的，可以用共形幾何的方法加以解決。

圖3. 幾何建模：流形樣條理論。

圖3顯示了幾何建模領(lǐng)域中流形樣條的例子。在計(jì)算機(jī)游戲和影視制作中，曲面可以是連續(xù)不可微曲面。在數(shù)字制造領(lǐng)域中，數(shù)控機(jī)床的刀具的軌跡控制需要計(jì)算速度和加速度（力量），這要求曲面是二階光滑的。因此，構(gòu)造全局二階光滑的曲面是幾何建模領(lǐng)域的中心問(wèn)題之一。我們可以證明，傳統(tǒng)的樣條構(gòu)造是基于仿射幾何，拓?fù)鋸?fù)雜曲面上的全局樣條需要曲面具有仿射結(jié)構(gòu)。因?yàn)橥負(fù)湔系K的存在，一般情形下全局仿射結(jié)構(gòu)并不存在。因此，奇異點(diǎn)無(wú)法避免。如何選取奇異點(diǎn)的位置，控制奇異點(diǎn)的指標(biāo)，構(gòu)造其余部分的仿射結(jié)構(gòu)，這些都需要用到計(jì)算共形幾何的方法。

圖4. 計(jì)算力學(xué)：六面體網(wǎng)格化。

圖4顯示了計(jì)算力學(xué)中六面體網(wǎng)格化的應(yīng)用。在計(jì)算力學(xué)中，我們需要求解各種物理偏微分方程，這需要計(jì)算實(shí)體的剖分。如何將實(shí)體剖分成六面體網(wǎng)格，同時(shí)具有最少的奇異點(diǎn)和奇異線，這被稱(chēng)為是網(wǎng)格生成領(lǐng)域的圣杯問(wèn)題。應(yīng)用共形幾何中的曲面葉狀結(jié)構(gòu)理論和全純微分理論，我們可以自動(dòng)構(gòu)造神圣網(wǎng)格。

圖5. 醫(yī)學(xué)圖像：共形腦圖。

在醫(yī)學(xué)圖像中，如何配準(zhǔn)人體器官曲面，如何精準(zhǔn)測(cè)量幾何形狀的相異程度都是基本問(wèn)題。如圖5所示，人的大腦皮層曲面具有復(fù)雜的溝回結(jié)構(gòu)，并且這種結(jié)構(gòu)因人而異。我們用共形映射將大腦皮層曲面映射到單位球面，為皮層上的每點(diǎn)建立經(jīng)緯坐標(biāo)，這樣就容易配準(zhǔn)大腦皮層曲面，進(jìn)行精確測(cè)量。這為診斷腦神經(jīng)方面的疾病診斷提供了精準(zhǔn)的方法。

圖6. 傳感器網(wǎng)絡(luò)的幾何路由算法。

如圖6所示，在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)（wireless sensor network）中的幾何路由（routing）算法需要用到每個(gè)傳感器的坐標(biāo)。一般情況下，可以用每個(gè)傳感器的GPS坐標(biāo)。但是，GPS信號(hào)無(wú)法穿越水層，因此水下傳感器網(wǎng)絡(luò)需要設(shè)計(jì)虛擬坐標(biāo)。我們應(yīng)用離散共形映射方法，將抽象的圖映射到單位球面上，在投射到平面上面，得到虛擬坐標(biāo)以利于實(shí)現(xiàn)路由算法。

圖7. 在機(jī)械制造領(lǐng)域中的超材料設(shè)計(jì)和三維編織。

圖7顯示了在數(shù)字制造領(lǐng)域中的新穎應(yīng)用，三維編織。給定復(fù)雜三維曲面，我們可以將其分解成兩族彼此共軛的纖維（葉狀結(jié)構(gòu)），通過(guò)編織這些纖維來(lái)制造這個(gè)曲面。這種葉狀結(jié)構(gòu)的計(jì)算用到全純微分的算法，這種編織方法可以適用于任意拓?fù)浜蛷?fù)雜幾何曲面。

由此可以，計(jì)算共形幾何在工程和醫(yī)療中具有非常廣泛的應(yīng)用。在后繼課程中，我們會(huì)對(duì)這些應(yīng)用案例加以詳細(xì)解釋。