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幾何偏微分方程,曲率流和度量變分

 閑之尋味 2015-11-21



圖1. 拓撲四邊形的共形模,極值長度。


計算共形幾何中的經典方法包括求解橢圓型幾何偏微分方程,曲面Ricci曲率流和黎曼度量的共形變分法。這幾種方法各具特色,相輔相成,無法相互替代,各有千秋。


橢圓型幾何偏微分方程一般是線性方程,可以算出黎曼面上的全純微分,其微分算子取決于黎曼度量,解空間的維數(shù)由拓撲決定,例如黎曼-羅赫定理;曲面Ricci曲率流可以根據(jù)曲率來求出度量,本質上是凸優(yōu)化問題;黎曼度量在共形等價類中的變分可以求出黎曼面上的特殊平直度量和帶測度的葉狀結構,可歸結為凸域上的二次規(guī)劃問題。


奇妙的是,這三種典型方法都可以用來計算拓撲四邊形的共形模。我們今天通過剖析拓撲四邊形的共形模這一最為簡單的例子,來玩味體會這三種方法的內在風格。




圖2. 拓撲四邊形,共形映射。


假設是虧格為0的曲面,帶有一條邊界,是邊界上逆時針排列的四個角點,將邊界分成四段,連接。


幾何偏微分方程

這種方法開門見山,直接了當,因而復雜度最低,但是普適性也較低。共形映射被表示為兩個共軛的調和函數(shù),,這里坐標函數(shù)滿足傳統(tǒng)的拉普拉斯方程,

,


共形映射為, 這里常數(shù)c等于函數(shù)u的調和能量

,

假如我們采用等溫參數(shù),則黎曼度量具有表示形式

則Laplace-Beltrami微分算子的局部表示為

。


圖3. 共軛調和函數(shù)u(右?guī)┖蛌(左幀),全純函數(shù)(中幀)。


我們可以用經典的曲面有限元方法來求解。首先,我們在人臉曲面上采樣,然后構造三角剖分,將每個曲面三角形變形成歐式三角形,從而用多面體網格來逼近初始光滑曲面。這里,我們應該小心地選擇采樣和三角剖分,從而確保離散多面體網格的法向量,度量,曲率等收斂到光滑曲面對應的幾何量,細節(jié)請參看【幾何逼近論-從離散幾何角度談陳省身示性類】。然后,我們用離散曲面上的分片線性函數(shù)來逼近光滑曲面上的光滑函數(shù),分片線性函數(shù)的調和能量直接計算得出:

,                          

這里是邊上的余切權重:若與兩個三角形相鄰,            

                            

則余切權重為

如果在離散曲面的邊界上,則它只和一個三角形相鄰,則

調和能量達到極小時,我們得到離散Laplace方程,

。

我們將問題轉化為解大規(guī)模稀疏線性系統(tǒng)的問題。在適當?shù)娜瞧史窒?,線性系統(tǒng)中的離散Laplace矩陣是對稱正定陣,利用共軛梯度法,我們可以在線性時間內得到解。如果我們增加采樣點,加細三角剖分,并且保證三角剖分的質量,那么我們得到的離散調和函數(shù),在特定范數(shù)的意義下,收斂到光滑的調和函數(shù),


這種方法可以推廣到計算拓撲復雜曲面上的調和微分形式和全純微分形式,其解空間的維數(shù)取決于曲面的拓撲。


Ricci曲率流


曲率流的方法將黎曼度量形變,形變量和曲率成正比,使得曲面的曲率依隨時間而演化,其演化規(guī)律滿足非線性的熱擴散方程。令曲面的黎曼度量張量為,那么曲面Ricci曲率流定義為:



這里是曲面的歐拉示性數(shù),是曲面的初始面積。Hamilton和Chow證明了曲面Ricci曲率流收斂到常值曲率度量,在流的過程中曲率不會發(fā)生爆破??梢钥闯鯮icci曲率流是度量的共形變換,

,

假如是定義在曲面上的目標曲率,那么Ricci曲率流可以被推廣成

。

有多種方法將連續(xù)的曲面Ricci曲率流轉化成離散算法,我們這里介紹最為簡單直觀的方法:瑟斯頓的圓盤填充方法(Thurston's Circle Packing)。共形映射將無窮小圓映成無窮小圓,圓盤填充方法將無窮小圓換成有限圓,變化圓的半徑,但是保持圓和圓之間的相切的組合關系,如此得到的分片線性變換就是離散共形變換。

圖4. Circle Packing 離散黎曼映照。


如圖4所示,假設有一個平面區(qū)域,如左幀所示,我們定義其三角剖分,每一個頂點對應一個圓盤,每條邊上的兩個圓盤彼此相切。我們變化所有圓盤的半徑,保持圓盤間的相切關系,因而保持三角剖分的組合結構,最后得到右?guī)窘Y果,所有邊界圓都和單位圓相切,T成為單位圓盤的三角剖分,從左幀到右?guī)?,每個三角形都是線性變換,我們得到分片線性變換。瑟斯頓猜測,當三角剖分T無限細分下去,將會收斂于經典的黎曼映照。Rodin和Sullivan證明了瑟斯頓猜測。


下面,我們給出離散Ricci流基本框架。離散共形因子被定義成頂點圓半徑的對數(shù),;頂點處的離散曲率定義成角欠,

,

則離散曲率滿足高斯-博內定理,

。

離散Ricci曲率流和連續(xù)情形相一致,

。

離散曲率流是離散熵能量的梯度流,


,

熵能量在空間


上是嚴格凸函數(shù),因此其梯度映射

是單射,這就證明了解的唯一性,即在相差一個相似變換的意義下,離散共形度量由離散曲率唯一決定。但是,存在性證明困難得多,即什么樣的目標曲率存在相應的共形度量。下面,我們給出熵能量的凸性證明。



圖5. 一個帶有圓盤填充的三角形。


如圖5所示,每個邊的邊長由頂點圓盤的半徑之和給出,


每個內角由歐式三角形的余弦定理給出,


存在唯一的圓同時和三個頂點處的圓相互垂直,我們稱之為Power Circle,如圖中紅色圓所示,power circle的半徑為



我們定義離散共形因子,直接計算得到如下的對稱關系



由此,我們得到微分形式

是閉的微分形式,因為等于



由對稱性,右式為0。這意味著微分形式可積,我們可以定義三角形上的熵能量

,

其Hessian矩陣為



在空間中,Hessian矩陣負定,能量為嚴格凹函數(shù)。整個T上的熵能量等于各個面上熵能量之和,


,

因此,全局的熵能量是凸函數(shù)。


離散Ricci曲率流解的存在性證明比較艱深,最近我們給出一個嚴格證明,有興趣的讀者可以研究一下【1】。



圖6. 拓撲四邊形的共形模-由Circle Packing方法得到。


如圖6所示,我們設所有的角點目標曲率為,其他內點處的目標曲率處處為0,邊界點處的目標測地曲率處處為0。離散曲率流直接給出共形模。從計算角度而言,這種方法本質是凸優(yōu)化。



度量變分法


我們考察【共形模-離散,連續(xù)理論的有機統(tǒng)一】所解釋的極值長度方法??疾焖羞B接左右兩側的路徑,

是和初始度量共形等價的任意一個度量,那么從左到右的最短距離為

這里是路徑在度量下的長度。曲面上曲線族的極值長度定義為


這里是曲面在度量下的面積,取遍所有和初始度量共形等價的度量。


在離散情形下,我們三角剖分曲面,在邊界上選取四個頂點,將外邊界分成四段。 在頂點上我們定義離散共形因子,路徑的長度定義為

所有連接左右兩側的路徑構成路徑族。整個圖的總面積為

我們將離散共形因子表示成空間中的向量:,每個分量非負,同時對于曲線族中的所有路徑,要求其長度不小于1,,所有滿足這些線性不等式條件的構成中的凸集,

,

總面積為的二次函數(shù),其水平集為橢球族。橢球和凸集的切觸點存在并唯一,在此點總面積達到最小,離散極值長度被達到。同時離散極值長度誘導一個方塊鑲嵌的模式。



圖7. 拓撲四邊形的共形模,由極值長度法得到。


圖7給出一個計算示例,和圖6中的三角剖分相同,極值長度的度量給出了方塊鑲嵌。從計算角度而言,這種方法本質上是凸域內的二次規(guī)劃。



圖8. 美國各個州之間的連接關系圖。


圖9. 由圖8中的三角網得到的方塊鑲嵌。


圖8顯示了美國地圖,我們根據(jù)各個州(包括大西洋海域,加拿大,密執(zhí)根湖)的地理連接關系構造了一個三角剖分,然后計算這個三角剖分的極值長度,在圖9顯示了相應的方塊鑲嵌,每個州被映成正方形,若兩個州比鄰而居則它們對應的方塊彼此接觸。


總結和展望


我們系統(tǒng)地發(fā)展了幾何偏微分方程法【2】和Ricci曲率流方法【3】,從而我們可以計算各種曲面的共形不變量。在未來的歲月中,我們會詳盡加以解釋。度量共形變分方法的理論和算法相對不成熟,存在許多尚未理解的問題。從目前已知的理論來看,這一方向應該具有很大潛力,它能揭示其他兩種方法無法直接觸及的層面。


【1】Xianfeng Gu, Feng Luo, Jian Sun, Tianqi Wu, "A Discrete Uniformization theorem for polyhedral surface", arXiv:130.4175

【2】

Xianfeng Gu and Shing-Tung Yau. Computational Conformal Geometry, Series: Advanced Lectures in Mathematics, Vol 3, Publisher: International Press and Higher Education Press, ISBN 978-1-57146-171-1, 2007.

【3】Wei Zeng, Xianfeng Gu, Ricci Flow for Shape Analysis and Surface Registration -Theories, Algorithms and Applications, Springer, 2012.


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