簡(jiǎn)介

盡管有點(diǎn)夸張，可以說(shuō)，只有將數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化為線性代數(shù)中的計(jì)算，才能解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，而線性代數(shù)中的計(jì)算最終將簡(jiǎn)化為線性方程組的求解，而線性方程組的求解又歸結(jié)為矩陣的操作。更重要的是，線性代數(shù)是一個(gè)關(guān)鍵工具（或者更準(zhǔn)確地說(shuō)，是一個(gè)交織工具的集合），對(duì)于進(jìn)行計(jì)算至關(guān)重要。

線性代數(shù)的威力不僅在于我們處理矩陣以解線性方程組的能力。將這些具體對(duì)象抽象為向量空間和線性變換的概念，使我們能夠看到許多看似不同的主題之間的共同概念聯(lián)系。（當(dāng)然，這是任何好的抽象的優(yōu)點(diǎn)。）例如，研究線性微分方程的解在某種程度上與試圖用三次多項(xiàng)式建模汽車(chē)引擎蓋的感覺(jué)相同，因?yàn)榫€性微分方程的解空間和建模汽車(chē)引擎蓋的三次多項(xiàng)式空間都形成向量空間。

線性代數(shù)的關(guān)鍵定理，給出了許多等效的方法來(lái)判斷n個(gè)未知量中的n個(gè)線性方程組何時(shí)為解。每個(gè)等效條件都很重要。線性代數(shù)的魅力在于，它們都是相同的。

基本向量空間

最基本的向量空間是，實(shí)數(shù)的所有n元組的集合

這是一個(gè)向量空間，我們可以將兩個(gè)n元組相加，得到另一個(gè)n元組:

可以將每個(gè)n元組乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，得到另一個(gè)n元組:

當(dāng)然，每個(gè)n元組通常被稱為向量，實(shí)數(shù)被稱為標(biāo)量。當(dāng)n=2和n=3時(shí)，可歸結(jié)為平面和空間中的向量，我們大多數(shù)人在高中時(shí)學(xué)過(guò)。

從不同向量空間到的映射，是通過(guò)矩陣乘法實(shí)現(xiàn)的。

列向量表示如下：

類(lèi)似地，可以將中的向量作為具有m個(gè)元素的列向量表示：

則為m-元組：

對(duì)于中的任意兩個(gè)向量x和y，以及任意兩個(gè)標(biāo)量和，有下列等式：

線性方程組

給定了m個(gè)數(shù)字和mn個(gè)數(shù)字，我們的目標(biāo)是找到n個(gè)數(shù)字，滿足下面的線性方程組:

線性代數(shù)計(jì)算通常會(huì)簡(jiǎn)化為求解線性方程組。當(dāng)只有幾個(gè)方程時(shí)，我們可以手工求解。但隨著方程數(shù)量的增加，計(jì)算很快就從令人愉快的代數(shù)運(yùn)算變成了噩夢(mèng)。這些噩夢(mèng)般的復(fù)雜情況并非源于任何單一的理論困難，而是源于試圖跟蹤許多個(gè)小細(xì)節(jié)。換言之，這是簿記的問(wèn)題。

換個(gè)直觀的方式表達(dá)問(wèn)題。記：

，為已知參數(shù)，并記待求解量為

我們可以用更直觀的形式重寫(xiě)我們的線性方程組：

當(dāng)（當(dāng)方程比未知數(shù)多時(shí)）時(shí)，我們預(yù)計(jì)通常不會(huì)有解。例如，當(dāng)m=3和n=2時(shí)，這在幾何上對(duì)應(yīng)于平面上的三條線通常沒(méi)有公共交點(diǎn)的事實(shí)。當(dāng)m<n時(shí)（當(dāng)未知量比方程多時(shí)），我們預(yù)計(jì)會(huì)有很多解。在m=2和n=3的情況下，這在幾何上與空間中的兩個(gè)平面通常在一條直線上相交的事實(shí)相對(duì)應(yīng)。線性代數(shù)的許多機(jī)制處理剩下的情況，即當(dāng)m=n時(shí)。

也就是說(shuō)，我們想找到滿足的列向量，其中A是給定的矩陣，b是給定的列向量。

假設(shè)平方矩陣A有一個(gè)逆矩陣（這意味著也是，更重要的是，是單位矩陣），那么，我們的解將是

解線性方程組的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求解矩陣A是否有一個(gè)逆矩陣。（如果存在逆矩陣，那么就有計(jì)算它的算法）。線性代數(shù)的很多關(guān)鍵定理，就是判斷一個(gè)矩陣是否可逆。