|
前言
線性代數(shù)在各大理工科，乃至經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域的使用之廣泛，毋庸置疑。一直以來，我雖也知道線性代數(shù)的重要，但從內(nèi)心上其實(shí)一直是犯怵的（尤其是學(xué)習(xí)論文、算法中，基本只要看到對(duì)方把算法向量化之后就蒙圈了），當(dāng)年在學(xué)校學(xué)習(xí)過程中很多也是靠著死記硬背過來的，對(duì)它的直觀意義一直都沒能有很好的理解。 最近，這么一本書進(jìn)入了我的視線：《線性代數(shù)及其應(yīng)用》，聽書名感覺平平，但只翻了幾頁就感覺十分過癮，仿佛打通了任督二脈。以往很多死記硬背的知識(shí)點(diǎn)在這本書的解釋下，變成了可以直觀推導(dǎo)出來的結(jié)果。這本書不僅對(duì)線性代數(shù)的基本概念闡述地很直觀形象，而且還有許多現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，特別是經(jīng)濟(jì)、物理、計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，真正讓人領(lǐng)略到線性代數(shù)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的魅力。 我特將自己的讀書總結(jié)和體會(huì)記錄于此，也是希望借此加深自己的理解。 注意，這個(gè)系列假設(shè)你已經(jīng)有了線性代數(shù)基礎(chǔ)，像是行變換、將矩陣轉(zhuǎn)換為行階梯形式這種基本技巧已經(jīng)掌握。本文不再贅述具體操作步驟，主要關(guān)注于概念的直觀理解。 線性方程組、向量方程和矩陣方程一、線性方程組線性代數(shù)，最基本的問題，就是解線性方程組了。線性方程組就是一組形如 a1x1+a2x2+?+anxn=ba1x1+a2x2+?+anxn=b的方程。一個(gè)線性方程組中的變量是相同的，如果第一個(gè)方程是關(guān)于 x1?xnx1?xn 的，那么其他的也都應(yīng)該如此（這些變量不一定都出現(xiàn)，因?yàn)橄禂?shù)可以有 0）。### 1.1 線性方程組的矩陣形式 方程組 
增廣矩陣去掉最后一列，就是該方程組的系數(shù)矩陣。矩陣形式只是線性方程組的一種表示形式。今后的很多關(guān)于線性方程組的計(jì)算，都將在矩陣形式上進(jìn)行操作，然而你也需要知道，在這些操作進(jìn)行的同時(shí)，線性方程組也在進(jìn)行類似的變換。比如，將增廣矩陣的第一、二行對(duì)換，那么同時(shí)，它所代表的線性方程組中，第一、二個(gè)方程也進(jìn)行了對(duì)調(diào)。 1.2 線性方程組的解解一個(gè)線性方程組，就是通過對(duì)其矩陣形式行變換（三種方式：交換方程的先后順序，一個(gè)方程左右同乘以某數(shù)，和兩個(gè)方程相加） 轉(zhuǎn)換為行階梯形式。比如上面最簡形式的矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組是這個(gè)線性方程組和一開始的方程組是等價(jià)的，只是處于不同的狀態(tài)，它們的解也是相同的，而顯然行最簡形式的方程組最容易解，所以我們一般都將線性方程組的増廣矩陣轉(zhuǎn)化為行最簡形式繼而求解。 1.3 解的存在性和唯一性還記得線性代數(shù)時(shí)經(jīng)常討論的“無解““唯一解”“無窮多解”吧？首先來看剛才的方程組，經(jīng)過行變換后，方程組的解已經(jīng)很顯然了： 。這個(gè)方程組的解就只有一個(gè)，是唯一解。 1.3.1 無解變換后的矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組為顯然，第三個(gè)方程  是無解的。對(duì)比這個(gè)方程組和它對(duì)應(yīng)的增廣矩陣，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增廣矩陣的行階梯形式存在形式的行時(shí)，方程組無解。 1.3.2 有解當(dāng)增廣矩陣變換為行階梯形式后，不存在形式的行，則說明方程有解。我們接下來討論下它的解具體會(huì)是怎么樣的。假設(shè)現(xiàn)在有這樣一個(gè)已經(jīng)化為行最簡形式的增廣矩陣：這個(gè)矩陣有 4 列，故而有 3 個(gè)變量。相對(duì)應(yīng)的方程組為：觀察這個(gè)方程組，x1和 x2 只存在于一個(gè)方程中（對(duì)應(yīng)行最簡形式中的主元位置），x3 存在于兩個(gè)方程中。那么我們可以通過 x3來表示 x1和 x2：上面列出來的實(shí)際上就是這個(gè)方程組的解集了。x1 和 x2 被稱為“基本變量”；x3被稱為“自由變量”，因?yàn)樗诮饧锊皇苋魏渭s束，而基本變量需要自由變量來表示；也就是說，自由變量確定了一個(gè)值，基本變量也就隨之確定了一個(gè)值。上面這個(gè)解集形式也被稱為方程組的“通解”，因?yàn)樗o出了方程組所有解的顯示表示。需要注意的是，我們需要先將增廣矩陣變換為行最簡形式，才能知道誰是自由變量，誰是基本變量。因?yàn)樽杂勺兞磕苋∪我庵担?，存在自由變量的線性方程組有無窮多解，而沒有自由變量的線性方程組則只有一個(gè)唯一解（就像本文第一個(gè)方程組那樣）。 - 當(dāng)增廣矩陣的行階梯形式（當(dāng)然行最簡形式也可以）存在形式時(shí)，方程組無解；
- 當(dāng)增廣矩陣的行最簡形式不存在自由變量時(shí)，方程組有唯一解；
- 當(dāng)增廣矩陣的行最簡形式存在自由變量時(shí)，方程組有無窮多解；
二、向量方程n 維空間中的點(diǎn)可用 n 維向量表示。那么，假如有三個(gè)向量：，想要知道 b 是否能通過 a1和 a2 線性表示，實(shí)際上就是求線性方程 x1a1+x2a2=b是否有解的問題。所以這個(gè)問題其實(shí)和一個(gè)線性方程組是等價(jià)的，這個(gè)線性方程組對(duì)應(yīng)的増廣矩陣就是（可以看出，這個(gè)線性方程組的解為和 。繼而我們就知道了 b 和 a1, a2 的關(guān)系：我們反過來回顧這一過程，可以發(fā)現(xiàn)，之前我們線性方程組的的增廣矩陣表示形式，其實(shí)也可以看做是列向量組成的形式，在這個(gè)例子中，增廣矩陣可以表示為
。把增廣矩陣按列拆開看，我們就可以得到線性方程組的向量方程表示形式。向量方程是線性方程組另一種重要的表現(xiàn)形式，它能幫助我們將矩陣、線性方程組的抽象概念同幾何的直觀聯(lián)系起來。在幾何中，n 個(gè)向量 v1,v2,?,vp的所有線性組合 成為一個(gè)空間，稱作由 v1,v2,?,vpv1,v2,?,vp 張成的 的子空間，記作。一個(gè)向量張成的空間是一根直線，兩個(gè)向量張成的空間是一個(gè)平面。 三、矩陣方程向量的線性組合可以看作向量與矩陣的乘積，比如一個(gè) m×n 的矩陣A，各列為 a1,?,an，而 x 為 n 維向量，則有：由矩陣方程的定義，我們可以得出：方程Ax=b有解當(dāng)且僅當(dāng)b為A中列的線性組合。又因?yàn)槲覀冎疤岬?，這些列向量的所有線性組合構(gòu)成了，向量 b 是否存在于這個(gè)空間，就等價(jià)于Ax=b 有解。下面我們來討論下任意 的情況。求方程 Ax=b 是否對(duì) b1,b2,b3 的所有取值都有解？
可以看出，當(dāng)b 取某些值時(shí)，不等于0，于是就會(huì)有無解的情況。只有當(dāng)時(shí)方程才有解。注意，這個(gè)式子在幾何中表示三維中的一個(gè)平面， 結(jié)合Ax=b，這個(gè)平面就是A 中列向量線性組合構(gòu)成的集合。本來 b 是三維的向量，如果沒有限制的話它可以表示整個(gè)三維空間，然而，在這個(gè)空間中，一大部分都不滿足使 Ax=b 有解。這僅剩的一個(gè)平面就是 A 的列向量所能張成的全部空間。這些三維列向量最終張成了一個(gè)二維平面。觀察行最簡形式矩陣，可以知道，之所以 b 的一些取值造成矩陣方程無解，是因?yàn)橄禂?shù)矩陣 A 中最后一行沒有主元，在行最簡形式中變成了形如的行。如果系數(shù)矩陣 A 中每一行都有主元的話，那么就不會(huì)出現(xiàn)無解的情況。反過來看，當(dāng) n 個(gè) m 維列向量能張成時(shí)，就說明對(duì)任意 ，方程 Ax=b 都有解，也就是說，空間中的任意向量，都可以由 A 的列線性表示。總結(jié)一下，就是以下四點(diǎn)相互等價(jià)。 - 對(duì)任意，方程 Ax=b 都有解。
- 任意都是A 中列的一個(gè)線性組合。
- A 的列張成 。
四、三種等價(jià)形式以及下列增廣矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組具有相同的解集 矩陣方程、向量方程和線性方程組是三種不同但卻相互等價(jià)的形式。在現(xiàn)實(shí)生活中構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型時(shí)，我們可以在任何情況下自由選擇其中任何一種最自然、最便利的陳述形式。 以上三種形式就是我們?cè)诮饩€性方程組時(shí)的三個(gè)工具，結(jié)合具體問題，我們可以通過不同角度觀察問題，進(jìn)而求解。另外，這三種形式的求解，都是對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行化簡，因此，増廣矩陣的行變換是一切的基礎(chǔ)。 # 參考資料：- 線性代數(shù)及其應(yīng)用：第3版/（美）萊（Lay, D.C.）著；沈復(fù)興等譯. ——北京：人民郵電出版社，2007.7
|
