一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

設(shè)有齊次線性方程組

          (1)

若記

,

則方程組(1)可寫為向量方程

                                (2)

稱方程(2)的解為方程組(1)的解向量.

1．齊次線性方程組解的性質(zhì):

性質(zhì)1  若為方程組(2)的解, 則也是該方程組的解.

性質(zhì)2  若為方程組(2)的解, 為實數(shù), 則也是(2)的解.

注: 齊次線性方程組若有非零解, 則它就有無窮多個解.

    由上節(jié)知：線性方程組的全體解向量所構(gòu)成的集合對于加法和數(shù)乘是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間. 稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間.

定義1  齊次線性方程組的有限個解滿足:

(1) 線性無關(guān);

(2) 的任意一個解均可由線性表示.

則稱是齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系.

    注：方程組的一個基礎(chǔ)解系即為其解空間的一個基, 易見方程組基礎(chǔ)解系不是唯一的，其解空間也不是唯一的.

按上述定義，若是齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系. 則的通解可表示為

其中為任意常數(shù).

當(dāng)一個齊次線性方程組只有零解時, 該方程組沒有基礎(chǔ)解系; 而當(dāng)一個齊次線性方程組有非零解時, 是否一定有基礎(chǔ)解系呢? 如果有的話,怎樣去求它的基礎(chǔ)解系? 下面的定理1回答了這兩個問題.

定理1  對齊次線性方程組，若,則該方程組的基礎(chǔ)解系一定存在，且每個基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)均等于, 其中是方程組所含未知量的個數(shù).

注：定理1的證明過程實際上已給出了求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的方法. 且

    若已知是線  性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則的全部解可表為

          (4)

其中為任意實數(shù). 稱表達式（4）線性方程組的通解.

二、解空間及其維數(shù)

設(shè)A為矩陣, 則n元齊次線性方程組的全體解構(gòu)成的集合V是一個向量空間, 稱其為該方程組的解空間, 當(dāng)系數(shù)矩陣的秩時, 解空間V的維數(shù)為. 當(dāng)時, 方程組只有零解, 此時解空間V只含有一個零向量, 解空間V的維數(shù)為0;

當(dāng)時, 方程組必含有個向量的基礎(chǔ)解系, 此時方程組的任一解可表示為

其中為任意實數(shù).而解空間V可表示為

二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

設(shè)有非齊次線性方程組

           (5)

它也可寫作向量方程

                                         (6)

性質(zhì)3   設(shè)是非齊次線性方程組的解, 則是對應(yīng)的齊次線性方程組的解.

性質(zhì)4  設(shè)是非齊次線性方程組的解, 為對應(yīng)的齊次線性方程組的解，則非齊次線性方程組的解.

定理2  設(shè)是非齊次線性方程組的一個解, 是對應(yīng)齊次線性方程組的通解, 則是非齊次線性方程組 的通解.

注：設(shè)有非齊次線性方程組，而是系數(shù)矩陣的列向量組，則下列四個命題等價：

    (1) 非齊次線性方程組有解；

    (2) 向量能由向量組線性表示；

    (3) 向量組與向量組，等價；

    (4) .