我們之前已經(jīng)說(shuō)過(guò)，矩陣和矩陣相乘的本質(zhì)是坐標(biāo)系的線性變換，矩陣和向量相乘的本質(zhì)是向量的線性變換。

特征值有什么意義？話不多說(shuō)，讓我們開(kāi)門見(jiàn)山：

我們先看看特征值的定義式：

這個(gè)A是矩陣，α是特征向量（向量），λ是一個(gè)“數(shù)”，這個(gè)等式告訴我們，矩陣乘以特征向量等于一個(gè)數(shù)乘以這個(gè)特征向量。然而你現(xiàn)在一頭霧水，問(wèn)我：“這些文字描述太抽象了，我根本看不懂！”

好了，現(xiàn)在有請(qǐng)我們的老朋友出場(chǎng)：

既然說(shuō)α是特征向量（向量），我們先不管它究竟是干什么的，既然它是一個(gè)向量，那它就有向量的性質(zhì)，對(duì)吧？因此，我們不妨把它設(shè)為（x，y）：

現(xiàn)在看一下上面那個(gè)等式的右半部分，它叫λα，這個(gè)很好理解，一個(gè)向量乘以某個(gè)倍數(shù)，說(shuō)明它是共線的。這個(gè)λ無(wú)非就是一個(gè)倍數(shù)而已。我們不知道λ的大小，也把它設(shè)成是未知的。

向量共線

好了，我們的鋪墊工作已經(jīng)齊全，現(xiàn)在將上面的矩陣，向量和λ聯(lián)立起來(lái)：

把它展開(kāi)，可以得知（如果你還不會(huì)如何運(yùn)算，請(qǐng)?jiān)敿?xì)閱讀本線性代數(shù)系列教程）

于是我們得到兩個(gè)非線性的方程：

解這些方程：

把x看成常數(shù)，用二次求根公式就能得到：

這些結(jié)果說(shuō)明了什么？我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，λ和x，y的取值無(wú)關(guān)，同時(shí)滿足上面方程的y是x的某種線性倍數(shù)關(guān)系。

我們發(fā)現(xiàn)，特征向量就是這個(gè)x倍的（1+根號(hào)一堆），如何理解呢？如果你任取一個(gè)向量（1，2），那么這個(gè)向量就不是特征向量，因?yàn)樗停?+根號(hào)一堆）不成比例。

我們已經(jīng)知道，矩陣乘以向量無(wú)非就是把直角坐標(biāo)系中的向量放進(jìn)了斜角坐標(biāo)系中，它因此被拉扯了，對(duì)于特征向量，它從直角坐標(biāo)系到斜角坐標(biāo)系，方向并沒(méi)有改變（只是擴(kuò)大了整數(shù)特征值λ倍）。和這個(gè)特征向量不成向量的一般向量進(jìn)行線性變換是沒(méi)辦法實(shí)現(xiàn)這種效果的。

這就是特征值的意義，你了解了嗎？

太復(fù)雜了，你的理解也不到位。特征值就是線性方程組的獨(dú)立變量個(gè)數(shù)（扣除偽變量），特征向量就是線性方程組的解。

特征值的理解角度本就不止一種，你可以從線性方程組出發(fā)，也可以從定義出發(fā)，還可以從本征頻率出發(fā)，還可以從微分方程出發(fā)，條條大路通羅馬。[機(jī)智]

從空間向量變換的角度來(lái)理解，對(duì)工科應(yīng)用有幫助得多。

特征值的本質(zhì)應(yīng)該是空間的基向量。

講的好啰嗦。將矩陣看作向量空間的旋轉(zhuǎn)變換算符，特征向量是在此操作下不改變方向的特殊向量，特征值是其拉伸或縮短的幅度。