線性代數(shù)知識體系

Zzyx1988 2016-03-01

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為了解線性方程組，我們引入了線性代數(shù)中兩個重要的研究對象：向量空間和矩陣。

線性方程組的一般形式為：

引入矩陣后，轉(zhuǎn)化為非常簡潔的矩陣方程形式：

而引入向量空間后，線性方程組就變?yōu)?span>向量方程：

其中，

并設矩陣 A 的列向量組為：

下面來討論向量空間和矩陣之間的聯(lián)系！
數(shù)學中最重要的兩個研究對象就是：集合與映射！ n 維向量空間就是一個全體 n 維向量所構(gòu)成的集合，而矩陣就是兩個向量空間之間的一種映射。

這種觀點對理解矩陣的本質(zhì)非常有益！務必加以重視。
為了進一步研究的需要，我們再將向量空間和矩陣分別抽象為線性空間和線性變換，它們之間的關(guān)系就是具體和抽象的關(guān)系！當然，取定一組基之后，這兩者又緊密地聯(lián)系起來了。
線性代數(shù)有兩大基本任務：
尋找矩陣在初等變換下的不變量：秩！一旦找到，矩陣的秩就為我們徹底地解決線性方程組的三大理論問題提供了重要判據(jù)。
解的結(jié)構(gòu)性就是用非齊次的特解 + 齊次的通解表示一般解。
尋找矩陣在各種等價關(guān)系(相抵、相合、相似、正交相似等)下的標準型。

然而，通常的線性空間沒有度量(向量的長度、夾角、垂直等)的概念，這就限制了線性空間的廣泛應用，因此需要引入二次型和雙線性函數(shù)來構(gòu)造內(nèi)積，這樣就導出了內(nèi)積空間，當然相應的線性變換就升華為與內(nèi)積有關(guān)的線性變換：正交變換、對稱變換等。繼續(xù)前行的話，就是各種空間和算子理論。

對線性代數(shù)的框架有了基本的認知后，下面我們分別來討論矩陣和向量空間。我們首先看矩陣。

一、矩陣

矩陣這部分內(nèi)容主要是圍繞著矩陣的運算和性質(zhì)來展開的。

在線性代數(shù)中，矩陣主要有如下類型的運算：

線性運算：加法和數(shù)乘。既然是線性代數(shù)，就應該有這兩類運算。
乘法運算：這是矩陣中最最最重要的運算，沒有之一！??！
一元運算：轉(zhuǎn)置、共軛、伴隨、求逆。
矩陣函數(shù)：行列式，跡、秩，這是三個刻畫矩陣的重要數(shù)量。

像線性運算、轉(zhuǎn)置、共軛、伴隨、跡在這里就不過多討論了。另外矩陣的秩我們放到向量空間中再來討論。下面著重討論矩陣的乘法、求逆(就是初等變換，相當于除法)【我個人喜歡把矩陣的初等變換看作矩陣乘法的逆運算，即求逆】和行列式。大家對初等變換要給予充分的重視，因為幾乎線性代數(shù)中所有的運算都可以用矩陣的初等變換來加以解決。

下面是和初等變換、逆矩陣有關(guān)的一些重要結(jié)論：

關(guān)于矩陣運算的性質(zhì)我們在文末再列出來。下面我們來討論向量空間。

二、向量空間

在數(shù)學物理中，通常把一般復雜的情況轉(zhuǎn)化為特殊簡單的情形。比如：

將曲邊梯形的面積轉(zhuǎn)化為矩形的面積。
將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功。
將一般的矩陣轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣。
將一般行列式化為三角形行列式。

非齊次線性方程組的一般解可表示為其自身的特解再加上齊次線性方程組的通解。因此我們首先來討論齊次線性方程組。

齊次線性方程組

的解只有兩種情況：只有零解、有非零解。

由齊次線性方程組是否有非零解分別引出了線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念。如果一個向量組是線性相關(guān)的，那么其中必有一個向量可以由其余向量線性表示，將其刪除直至剩下的向量組是線性無關(guān)的，這樣我們就得到了向量組的極大線性無關(guān)組，進而有向量組的秩的概念，然后由此定義矩陣的秩。一旦有了矩陣的秩這一深刻的概念，線性方程組的三大理論問題(解的存在性、數(shù)量性、結(jié)構(gòu)性)馬上就迎刃而解了。

接下來我們討論方陣的行列式。

三、行列式

根據(jù)性質(zhì)定義距離.

根據(jù)性質(zhì)定義行列式

行列式按一行展開定理

最后我們來討論矩陣的特征值和特征向量。

四、特征值和特征向量

既然矩陣是一種映射，當這個映射保持某些性質(zhì)不變時，這種性質(zhì)就是該矩陣的某種特征。因此，如果矩陣保持一個向量的方向不變，則這個向量就是矩陣的特征向量。即若

就稱為矩陣 A 的特征向量，而稱為矩陣 A 的特征值。

一個矩陣的性質(zhì)完全由其特征值和特征向量決定。這可以按如下兩種方式理解：

(1)

(2)