《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)提綱

第一部分：基本要求（計(jì)算方面）

四階行列式的計(jì)算；

N階特殊行列式的計(jì)算（如有行和、列和相等）；

矩陣的運(yùn)算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運(yùn)算）；

求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；

含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；

齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無(wú)窮多解）；

討論一個(gè)向量能否用和向量組線性表示；

討論或證明向量組的相關(guān)性；

求向量組的極大無(wú)關(guān)組，并將多余向量用極大無(wú)關(guān)組線性表示；

將無(wú)關(guān)組正交化、單位化；

求方陣的特征值和特征向量；

討論方陣能否對(duì)角化，如能，要能寫(xiě)出相似變換的矩陣及對(duì)角陣；

通過(guò)正交相似變換（正交矩陣）將對(duì)稱矩陣對(duì)角化；

寫(xiě)出二次型的矩陣，并將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，寫(xiě)出變換矩陣；

判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。

第二部分：基本知識(shí)

一、行列式

1．行列式的定義

用n^2個(gè)元素aij組成的記號(hào)稱為n階行列式。

　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和；

?。?span style="FONT-FAMILY: Cambria">2）展開(kāi)式共有n!項(xiàng)，其中符號(hào)正負(fù)各半；

2．行列式的計(jì)算

一階|α|=α行列式，二、三階行列式有對(duì)角線法則；

N階（n>=3）行列式的計(jì)算：降階法

　定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。

　方法：選取比較簡(jiǎn)單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元素化為0，利用定理展開(kāi)降階。

特殊情況

上、下三角形行列式、對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積；

（2）行列式值為0的幾種情況：

?、瘛⌒辛惺侥承校校┰厝珵?；

Ⅱ　行列式某行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同；

Ⅲ　行列式某行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例；

Ⅳ　奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式。

二．矩陣

　1．矩陣的基本概念（表示符號(hào)、一些特殊矩陣――如單位矩陣、對(duì)角、對(duì)稱矩陣等）；

　2．矩陣的運(yùn)算

（1）加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；

（2）關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論：

①矩陣乘法一般不滿足交換律（若AB＝BA，稱A、B是可交換矩陣）；

②矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；

③若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；

④|kA|=k^n|A|

　3．矩陣的秩

（1）定義　非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；

（2）秩的求法　　一般不用定義求，而用下面結(jié)論：

矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)（每行的第一個(gè)非零元所在列，從此元開(kāi)始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。

求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。

　4．逆矩陣

?。?span style="FONT-FAMILY: Cambria">1）定義：A、B為n階方陣，若AB＝BA＝I，稱A可逆，B是A的逆矩陣（滿足半邊也成立）；

?。?span style="FONT-FAMILY: Cambria">2）性質(zhì)：　(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩陣，你懂的)（注意順序）

?。?span style="FONT-FAMILY: Cambria">3）可逆的條件：

　  ①　|A|≠0；?、趓(A)=n;  ③A->I;

（4）逆的求解

伴隨矩陣法　A^-1=(1/|A|)A*；(A*    A的伴隨矩陣~)

②初等變換法（A:I）->(施行初等變換)（I:A^-1）　 

5．用逆矩陣求解矩陣方程：

AX=B，則X=（A^-1）B；

XB=A，則X=B(A^-1)；

AXB=C，則X=(A^-1)C(B^-1)

三、線性方程組

1．線性方程組解的判定

定理：

(1) r(A,b)≠r(A)  無(wú)解；

(2) r(A,b)=r(A)=n  有唯一解；

(3)r(A,b)=r(A)<n   有無(wú)窮多組解；

特別地：對(duì)齊次線性方程組AX=0

(1)  r(A)=n  只有零解；

(2)  r(A)<n  有非零解；

    再特別，若為方陣，

(1)|A|≠0  只有零解

(2)|A|=0   有非零解

2．齊次線性方程組

（1）解的情況：

r(A)=n，（或系數(shù)行列式D≠0）只有零解；

r(A)<n，（或系數(shù)行列式D＝0）有無(wú)窮多組非零解。

（2）解的結(jié)構(gòu)：

　X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）求解的方法和步驟：

?、賹⒃鰪V矩陣通過(guò)行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣；

②寫(xiě)出對(duì)應(yīng)同解方程組；

③移項(xiàng)，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；

④表示出基礎(chǔ)解系；

⑤寫(xiě)出通解。

3．非齊次線性方程組

（1）解的情況：

利用判定定理。

（2）解的結(jié)構(gòu)：

　X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）無(wú)窮多組解的求解方法和步驟：

　與齊次線性方程組相同。

（4）唯一解的解法：

　有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。

四、向量組

1．N維向量的定義

注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣（行矩陣和列矩陣）。

2．向量的運(yùn)算：

?。?span style="FONT-FAMILY: Cambria">1）加減、數(shù)乘運(yùn)算（與矩陣運(yùn)算相同）；

　（2）向量?jī)?nèi)積　α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；

（3）向量長(zhǎng)度　

    |α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)        (√  根號(hào))

（4）向量單位化　(1/|α|)α；

（5）向量組的正交化（施密特方法）

　設(shè)α1，α 2，…，αn線性無(wú)關(guān)，則

　β1=α1，

　β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，

　β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。

3．線性組合

（1）定義　若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，則稱β是向量組α1，α 2，…，αn的一個(gè)線性組合，或稱β可以用向量組α1，α 2，…，αn的一個(gè)線性表示。

（2）判別方法　將向量組合成矩陣，記

　A＝(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)

若　r (A)=r (B)，則β可以用向量組α1，α 2，…，αn的一個(gè)線性表示；

若　r (A)≠r (B)，則β不可以用向量組α1，α 2，…，αn的一個(gè)線性表示。

（3）求線性表示表達(dá)式的方法：

　將矩陣B施行行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。

4．向量組的線性相關(guān)性

（1）線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義

　設(shè) k1α1+k2α2+…+knαn=0，

　若k1,k2,…，kn不全為0，稱線性相關(guān)；

　若k1,k2,…，kn全為0，稱線性無(wú)關(guān)。

（2）判別方法：

① r(α1，α 2，…，αn)<n，線性相關(guān)；

    r(α1，α 2，…，αn)=n，線性無(wú)關(guān)。

②若有n個(gè)n維向量，可用行列式判別：

　n階行列式aij＝0，線性相關(guān)（≠0無(wú)關(guān)） (行列式太不好打了)

5．極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩

（1）定義　極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩

（2）求法　設(shè)A＝(α1，α 2，…，αn)，將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無(wú)關(guān)組。

五、矩陣的特征值和特征向量

1．定義　對(duì)方陣A，若存在非零向量X和數(shù)λ使AX＝λX，則稱λ是矩陣A的特征值，向量X稱為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。

2．特征值和特征向量的求解：

　求出特征方程|λI-A|=0的根即為特征值，將特征值λ代入對(duì)應(yīng)齊次線性方程組(λI-A)X＝0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。

3．重要結(jié)論：

（1）A可逆的充要條件是A的特征值不等于0；

（2）A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同的特征值；

（3）不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。

六、矩陣的相似

1．定義　對(duì)同階方陣A、B，若存在可逆矩陣P，使P^-1AP=B，則稱A與B相似。

2．求A與對(duì)角矩陣∧相似的方法與步驟（求P和∧）：

求出所有特征值；

求出所有特征向量；

若所得線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對(duì)角化（否則不能對(duì)角化），將這n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P，依次將對(duì)應(yīng)特征值構(gòu)成對(duì)角陣即為∧。

3．求通過(guò)正交變換Q與實(shí)對(duì)稱矩陣A相似的對(duì)角陣：

　方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特征向量正交化且單位化。

七、二次型

                                                        n

1．定義　n元二次多項(xiàng)式f(x1,x2,…，xn)=∑  aijxixj稱為二次型,若aij=0(i≠j)，則稱為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型。

                                                         i,j=1

2．二次型標(biāo)準(zhǔn)化：

　配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對(duì)角化完全相同，這是由于對(duì)正交矩陣Q，Q^-1=Q'，即正交變換既是相似變換又是合同變換。

3．二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性：

（1）定義（略）；

（2）正定的充要條件：

①A為正定的充要條件是A的所有特征值都大于0；

②A為正定的充要條件是A的所有順序主子式都大于0；