線性代數(shù)在許多領(lǐng)域都被廣泛應(yīng)用的主要原因是能夠求解給定的線性方程組(Linear System of Equations). 這一次來看如何用矩陣的語言來構(gòu)建簡單的數(shù)學(xué)模型來:

有若干只雞和兔在同個籠子里，從上面數(shù)，有三十五個頭；從下面數(shù)，有九十四只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

題目非常簡單, 由兩個方程和兩個未知數(shù)構(gòu)成的方程組便可以求解出:

或以把方程寫成矩陣向量相乘的形式 - 常系數(shù)矩陣 A , 未知量作為列向量 x, 兩者的乘積得到常數(shù)列向量 v.  

常系數(shù)矩陣可以理解為自變量 x 與 因變量中間存在的某種關(guān)聯(lián), 指定了這個矩陣就能確定了從向量到另外一個向量的映射. 這樣用線性變換來理解的話, 求解 Ax = v 意味著我們要找到一個向量 x , 使得它在變換后與 v 完全重合:

這個方程組有解就是矩陣 A 所代表的變換沒有將空間進(jìn)行扁平化的壓縮, 即 det(A)≠0. 否則方程組無解. 

或者還可以從矩陣的行視圖來理解這個線性方程組, 所要求的解就是求兩條直線的交點(diǎn):

對于兩個方程組未知數(shù)兩個的時候, 線性方程組的解有三種情況:

• 不存在;
  

• 唯一(兩條直線相交);

• 有無窮多個;
  

現(xiàn)在從列視圖和行視圖兩個角度來理解后面兩種情況, 比如下面線性方程組無解:

從列視圖可以看做向量 (2,1) 沒有落在矩陣列所張成的空間內(nèi), 從下面動畫中看到經(jīng)過矩陣變換后, 空間最終被壓縮為一條灰色直線, 而 v 在直線外, 所以不能被變換后的基向量線性表出: 

或者可以從行視圖來理解就是空間中兩條直線為平行關(guān)系: 

再來以下面線性方程組為例看無窮解的情況:

如果從行視圖來看就是兩條直線重合在一起: 

觀察下面的動圖來從列視圖的角度理解無窮解的情況:

觀察要點(diǎn): 

• 這個矩陣的變換將線性空間壓縮到一條灰色直線上;

• 圖形中黑色直線上的所有向量在變換后都被壓縮到原點(diǎn), 成為零向量;

在經(jīng)過線性變換后那些壓縮到原點(diǎn)的向量集合, 稱為零空間(Null space)或稱為核(Kernel). 上面方程組的通解就是由特解和所有零空間解的線性組合, 下面動圖盡管改變中 a 的值, 所有可能 a (-1, 1) 是零空間的解, 所以經(jīng)過變換都會被壓縮到原點(diǎn); 而 (2, 0) 是特解, 經(jīng)過變換后會落腳在 (2, 4) 處. 

類似, 如果有三個方程式, 三個未知數(shù), 那么每一個方程就代表了三維空間中的一個平面, 而方程組的解集就可能是空間中的一部分: 無解, 一個交點(diǎn), 一條直線或一個平面;

在很多問題中都能將數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為 y = Ax . 比如信號處理, 統(tǒng)計分析, 機(jī)器學(xué)習(xí)等, 在工科中會經(jīng)常用到. 在未來的圖解系列中我們會遇到更多這些問題的示例. 

上面就是本次圖解線性代數(shù)所回顧的知識點(diǎn). 好了, 現(xiàn)在讓我們在下一篇的中再見!

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