素數(shù)的音樂：黎曼猜想

如果要求任何一位數(shù)學(xué)家提名數(shù)學(xué)中最重要的未解決問題，回答幾乎肯定是“黎曼猜想”。這個困擾了人們一百多年的難題，是問某個特定方程的所有解是否有一種特殊的形式。

因此，答案肯定是“是”或“否”這兩者之一。雖然這個問題隱藏在現(xiàn)代抽象數(shù)學(xué)那茂盛的森林中，它卻是起源于幾乎同數(shù)學(xué)一樣古老的問題——素數(shù)的分布模式。

素數(shù)的概念就不多做介紹了。根據(jù)歐幾里得的證明，我們知道素數(shù)是無窮無盡的，下面是他的證明的現(xiàn)代形式。

假設(shè)存在一個最大的素數(shù)，稱為P。他把從2到P的所有素數(shù)相乘，

這樣；N=2*3*5*7*…*P

我們看到N+1明顯比P大，如果N+1不是素數(shù)它必然是素數(shù)的乘積。又因為N是P與之前所有素因子的乘積，所以N+1必然不能被任何素數(shù)整除，所以不存在最大的素數(shù)，即素數(shù)是無窮的。

黎曼猜想是什么？

這是它的一般表達式：ζ（z）=1/1^z+1/2^z+1/3^z+…

ζ函數(shù)讀作zeta函數(shù)，它為什么跟素數(shù)有關(guān)呢？這還要從歐拉說起，看完它的來源也就明白了。

我們知道計算無窮和就是將每一項數(shù)相加直至無窮，而它們的結(jié)果也通常是難以計算的。但如果一個無窮級數(shù)有特別簡單的結(jié)構(gòu)時，我們就能找出它的求和公式。

例如，無窮和

S=1+1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/2^n，設(shè)X=1/2

代入上式得

S=1+X+X^2+X^3+X^4+…+X^n。我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)當(dāng)X大于零小于1時，這個幾何級數(shù)具有有限的和。

然后把級數(shù)每一項都乘以X，得到

XS=X+X^2+X^3+X^4+…

兩式相減：我們得到

S-XS=1，簡單化簡S=1/1-X。簡單了解了無窮和，我們來看歐拉是如何發(fā)現(xiàn)ζ函數(shù)的。

了解了調(diào)合級數(shù)具有無窮大的和，歐拉思考“素數(shù)調(diào)和級數(shù)”，他想知道所有的素數(shù)的倒數(shù)相加是有限還是無窮的？

設(shè)所有素數(shù)倒數(shù)的和為H，所有正整數(shù)倒數(shù)的和為M，就有：

H=1+1/2+1/3+1/5+1/7+…

M=1+1/2+1/3+1/4+…

他將M式中每一項加上指數(shù)S（也在之后將此函數(shù)命名為ζ函數(shù)），然后得到

M=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…。他將M分解為兩部分，第一部分是所有素數(shù)項，第二部分是所有非素數(shù)項，就像下面這樣。

M=【1+1/2^s+1/3^s+1/5^s+…】+【1/4^s+1/6^s+1/8^s…】

容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)s大于等于1時，前一部分的和是無窮大，根據(jù)前面的例子建立的幾何級數(shù)公式

1+x^2+x^3+…=1/1-x，其中X大于0小于1

所以當(dāng)s大于1時我們設(shè)X=1/P^s，同前面一樣，M也就是ζ（s）就可以寫成：

ζ（s）=1+1/P^s+1/P^2s+1/P^3s+…=1/1-1/P^s

他發(fā)現(xiàn)上式的無窮和可以寫成另一種表達式，將它改寫為無窮乘積：

ζ（s）=1/1-1/2^s*1/1-1/3^s*1/1-1/5^s*…

其中右邊的乘積是取所有形如1/1-1/P^s的項，其中P是素數(shù)。歐拉發(fā)現(xiàn)當(dāng)他將這個無窮乘積寫成單一的無窮和時，式中的每一項都取如下形式：

1/P1^k1s…Pn^kns。

這里P1到Pn是不同的素數(shù)，k1到kn是正整數(shù)，根據(jù)算術(shù)基本定理，每個正整數(shù)都能被表示成P1^k1…Pn^kn，所以這個無窮乘積恰好可以轉(zhuǎn)化為無窮和1+1/2^s+1/3^s+1/5^s+…

歐拉將無窮乘積與素數(shù)聯(lián)系了起來，可作為實數(shù)到實數(shù)到函數(shù)，它沒有豐富的幾何結(jié)構(gòu)來進一步研究素數(shù)的分布模式?；谶@種考慮，黎曼邁出了關(guān)鍵性的一步。

他用復(fù)數(shù)z代替實數(shù)s，使ζ（z）函數(shù)的值也變成復(fù)數(shù)。

根據(jù)素數(shù)定理，我們知道當(dāng)x取較大的數(shù)時，素數(shù)的密度Dn被1/lnn所逼近，黎曼發(fā)現(xiàn)了密度函數(shù)Dn與方程ζ（z）=0的解有密切的關(guān)系。

他對函數(shù)ζ（z）的零點（方程的解）作出了大膽的猜測。他首先注意到-2，-4，-6…都是零點。也就是說，當(dāng)z是復(fù)偶數(shù)時，ζ（z）=0。又接著證明了除了這些實數(shù)外，ζ（z）還有無窮多個復(fù)數(shù)零點。

他猜測，所有這些其他的零點都可以表示成z=1/2+ib的形式，其中b為實數(shù)，就是說這些所有復(fù)數(shù)零點的實部都是1/2。

黎曼證明了如果ζ（z）的所有復(fù)數(shù)零點都有實部等于1/2，則密度函數(shù)Dn與對數(shù)函數(shù)1/lnn（它是指數(shù)函數(shù)e^n的反函數(shù)）。曲線的差異程度以一種系統(tǒng)的隨機方式變化。這意味著雖然無法準確地預(yù)測下一個素數(shù)會出現(xiàn)在哪里，但總的來說素數(shù)的分布模式還是非常有規(guī)律的。

黎曼猜想與萬維網(wǎng)

對黎曼假設(shè)的證明會讓來我們了解更多素數(shù)模式的信息，這些信息不僅對數(shù)學(xué)而言非常重要，對于現(xiàn)代生活的重要組成部分，即網(wǎng)絡(luò)安全也有極大的影響。

我們每次在銀行使用取款機或在互聯(lián)網(wǎng)上進行商業(yè)交易時，都是依靠素數(shù)的數(shù)學(xué)理論來確保交易安全。下面作一解釋。

如今的加密系統(tǒng)都是由兩部分組成：一個加密程序和一個“密鑰”。前者是一個計算機程序，后者通常是秘密選中的數(shù)字。加密程序?qū)π畔⑦M行加密，使得加密的文檔只有用密鑰才能解開?，F(xiàn)已發(fā)展了好幾種加密方法，其中獲得最多支持的是RSA系統(tǒng)，它是由三個發(fā)明者名字的首字母命名。

RSA系統(tǒng)本質(zhì)上使用的解密密鑰包含兩個很大的素數(shù)（每個100位）由用戶自己挑選。公開的加密密鑰就是這兩個素數(shù)的乘積。系統(tǒng)的安全性也依賴于這樣的事實：至今還沒有對大數(shù)快速進行因子分解的方法。當(dāng)今最強大的計算機在幾天內(nèi)能分解的最大數(shù)不過100位左右。所以用兩個100位素數(shù)的乘積，即一個200位的數(shù)作為密鑰是非常安全的。

由于黎曼猜想告訴了我們?nèi)绱硕嚓P(guān)于素數(shù)的信息，對這一猜想的證明很可能使因子分解方法有一個巨大突破，而并不在假設(shè)它成立，我們需要的是證明過程中發(fā)現(xiàn)的有關(guān)素數(shù)的新理論方法，所以它的含金量也遠比一百萬美元的大獎要高。

黎曼猜想成立嗎？

通過計算機，數(shù)學(xué)家成功的證實了黎曼猜想對于ζ函數(shù)的前15億個零點都成立。生活中能提供這種數(shù)據(jù)足以讓許多人信服了，但數(shù)學(xué)不是這樣。因為數(shù)是無窮的，因此也有大量可能性使不符合黎曼準則的零點存在。或許這樣一個零點是存在的，只是它實在是太大了！大到任何計算機都無法處理。

不過大多數(shù)數(shù)學(xué)家相信黎曼的猜想是正確的。

1972年美國數(shù)學(xué)家蒙哥馬利發(fā)現(xiàn)了一個公式，它描述了臨界線（x=1/2）上ζ函數(shù)零點之間的間距。而后一位法國數(shù)學(xué)家寫出了一組方程，這組方程規(guī)定了一個假設(shè)的量子系統(tǒng)，這個系統(tǒng)把所有素數(shù)都作為它的組成部分。

他還證明了這個系統(tǒng)有著對應(yīng)于臨界線上所有零點的能級。如果能證明除了這個能級對應(yīng)的零點外沒有其他零點，那他就證明了黎曼猜想。這也將是第一次用量子物理學(xué)的方法解決純數(shù)學(xué)問題。